北京和平街一中2024-2025学年 高三10月月考数学（无答案）

北京市和平街第一中学高三数学月考试卷（2024.9.29）
（考试时间 120 分钟，满分 150 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1.设全集 U=R，集合 A {x | x 2},B {x | x 1} 则集合（ CUA）∪B=
A (- ,2) B [2,+ ] C (1,2) D (- ,1)∪[2,+ ]
2.设 x R ，向量a = 1,2 ，b = x,1 ，且a b，则 a b
A． 5 B． 2 5 C． 10 D． 10
3. z 2＋i若复数 ＝ 的实部与虚部相等，则实数 a的值为
a＋i
A．－3 B．－1 C．1 D．3
4.在下列函数中，值域为 R的偶函数是
A. f x x B. f x ln x C. f x 2x 2 x D. f x xcosx
5.《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色
党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 (单位:cm)成等差数列，
对应的宽为b1,b2 ,b3,b4 ,b5 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 a1 288，a5 96， b1 192，
则b3
A．64 B．96 C．128 D．160

6.在△ABC中， AD为BC边上的中线，若E为 AD的中点，则CE （ ）
1 5 1 3
A． AB AC B． AB AC
4 4 4 4
1 AB 5

AC 1

AB 3

C． D． AC
4 4 4 4

7.已知向量 a,b满足 a b 1，且其夹角为 ，则“ a b 1”是“ ( , ]”的
3
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
8.对于定义在R 上的函数 y f (x) ，若存在非零实数 x0，使函数 y f (x) 在 ( , x0 )和
（x0 , ) 上均有零点，则称 x0为函数 y f (x) 的一个“折点”．下列四个函数存在“折点”
的是
A f (x) 3|x 1| 2 B f (x) lg( x 2021)
x3
C f (x) x 1 D f (x) x2 2mx 1
3
9.把液体A 放在冷空气中冷却，如果液体 A 原来的温度是 o1 C ,空气的温度是
o
0 C ，则 t min
后液体A 的温度 oC可由公式 ( )e 0.3t0 1 0 求得.把温度是 62o C 的液体A 放在15o C
的空气中冷却，液体A 的温度冷却到 51o C 和 27o C 所用时间分别为 t1 min ,t2 min ，则 t2 t1 的
值约为 （参考数据 ln 3 1.10 ）
A 2.7 B 3.7 C 4.7 D 5.7
0, x 1
10.已知函数 f (x) ，若不等式 f (x) x k 对任意的 x R恒成立，则实数 k
ln x, x 1
的取值范围是
A.( ,1] B.[1, ) C.[0,1) D.( 1,0]
二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）
11．函数 f x
1
2 x
lg x 1 的定义域为 .
12 9．已知 Sn为递增等比数列 an 的前 n项和，其中 a1， ，a4成等差数列，且a2 a3 8，则
2
S5 .
1
13．边长为 2 的正方形 ABCD中，点 P满足 AP AB AC ，则 PD ；若点 H2
是线段 AP上的动点，则 AH HD 的取值范围是 ．
x3 , x≥a,14.已知函数 f (x) 若 f (x) 在 R 上不具有单调性，则 a 的取值范围
2 x 2a, x a .
是 .
1
15.已知等差数列{an}的前 n项和为 S ，且 S S { }n 2023 2024 S2022 . 数列 的前 na a 项和为Tn .n n 1
给出下列四个结论:
① a2023 0 ； ② a2022a2023 a2024a2025 ；
③使 Sn 0成立的 n的最大值为 4048 ； ④当 n 2023时，Tn 取得最小值.
其中所有正确结论的序号是_______.
三、解答题（共 6小题，共 85 分）
16.（本小题 14 分） 已知函数 f (x) sin x( 3 cos x sin x)
1
．
2
（Ⅰ）求 f (x) 的单调递增区间；
g(x) af (x) b, x , （Ⅱ）令 ，其中 a 0 .若 g(x) 的值域为 2，5 ，求 a和b的值． 4 2
17.（本小题 13 分） 已知等比数列{an}为递增数列，其前 n项和为 Sn ， a2 9 ， S3 39 .
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an bn}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{bn}的通项公式及前 n项
和Tn .
18.（本小题 13 分） 在△ABC中， c 2，C 30 ．再从条件①、条件②、条件③这三
个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
（Ⅰ） a的值；
（Ⅱ）△ABC的面积．
条件①： 2b 3a；
条件②： A 45 ；
条件③： b 2 3 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（本小题 15 分） 某市 A，B两所中学的学生组队参加信息联赛， A中学推荐了3名
男生、 2 名女生。 B中学推荐了3名男生、 4 名女生。两校所推荐的学生一起参加集训.由
于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表
队参赛.
（Ⅰ）求 A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）设 X 表示 A中学参赛的男生人数，求 X 的分布列和数学期望；
（ III）已知 3 名男生的比赛成绩分别为 76,80,84，3 名女生的比赛成绩分别为 77, a
a N （ ）,81，若 3 名男生的比赛成绩的方差大于 3 名女生的比赛成绩的方差，写
出 a的取值范围（不要求过程）.
20（本小题 15 分）
已知函数 f (x) ax2 e x，设 h(x) f (x) .
a e（Ⅰ）若 ，求 h(x) 的单调区间；
2
（Ⅱ）若 f (x) 在区间 (0, )上存在极小值 m，
（ⅰ） 求 a的取值范围；
（ⅱ）证明：m a．
21（本小题 15 分）
已知无穷数列{an}，给出以下定义：
对于任意的 n N* ，都有 an an 2≥2an 1，则称数列{an}为“ 数列”；特别地，对于
任意的 n N* ，都有 an an 2 2an 1，则称数列{an}为“严格 数列”．
Ⅰ {a } {b } n A ,B a 2n 1 b 2n 1（ ）已知数列 n ， n 的前 项和分别为 n n，且 n ， n ，试判
断数列{An}，数列{Bn}是否为“ 数列”，并说明理由；
*
（Ⅱ）证明：数列{an}为“ 数列”的充要条件是“对于任意的 k ,m,n N ，当 k m n
时，有 (n m)ak (m k)an≥(n k)am”；
（ⅡI）已知数列{bn}为“严格 数列”，且任意的n N
*
，bn Z，b1 8 ，b128 8．求
数列{bn}的最小项的最大值．