北京北师大实验中学2024-2025学年高三10月月考数学（含答案）

北师大实验中学 2024-2025 学年第一学期高三统练（一）
高三数学 2024.10
命题人：曹絮 审题人：黎宁
本试卷共 4页，共 150分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作
答无效.
一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
1．已知集合 A={x | x2 3x 10 0}， B ={x |1 x 0}，则 A B = ( )
A．{x |1 x 5} B．{x | 2 x 1} C．{x |1 x 2} D．{x | 5 x 1}
3 4
2．设 a = ( )0.5 ,b = ( )0.5 ,c = log 3 (log3 4) ，则 ( )
4 3
4
A． c b a B． c a b C． a b c D． a c b
3．若实数 、 满足 a2 b2a b 0，则下列不等式中成立的是 ( )
A． a ba b B． 2 2
C． a | b | D． log 22 a log b
2
2
x 1, x 0,

4．若函数 f (x) = 0, x = 0, 则“ x1 + x2 0”是“ f (x1) + f (x2 ) 0”的 ( )

x +1, x 0
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
z
5．已知复数 z 的共轭复数是1+ i ，则复数 在复平面内对应的点在 ( )
2 i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知 f (x)是偶函数，它在[0,+ ) 上是增函数．若 f (lgx) f (1) ，则 x 的取值范围是 ( )
1 1
A． ( ,1) B． (0, ) (10,+ )
10 10
1
C． ( ,10) D． (0 ，1) (10， + )
10
试卷共 4 页（第1页）
7．函数 f (x) = (ex + e x )sin x 2在[ 2,2]上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M + N = ( )
A． 4 B．0 C．2 D．4
8．已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， g(x) 是定义在 R 上的偶函数，且 f (x) + g(x) = ex ，则
2 f (x) + 4g(x) 的最小值是 ( )
A．2 B． 2 3 C．4 D． 2 5
9．某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量 x 要小于m ，留出
适当的空闲量，已知鱼群的年增长量 y（吨）和实际养殖量 x（吨）与空闲率（空闲量与最大养
殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数 k 0），则鱼群年增长量的最大值为 ( )
mk mk m m
A． B． C． D．
2 4 2 4
10．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天
f (x ) 1
中应用广泛．若数列{x 满足 x = x n ，则称数列 为牛顿数列．若n} n+1 n {xn} f (x) = ，数列{xn}
f (xn ) x
为牛顿数列，且 x =1， x 0，数列{x }的前 n 项和为 S ，则满足1 n n n Sn 2024 的最大正整数 n 的
值为 ( )
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11．等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 S1 ， 2S2 ， 3S3 成等差数列，则 an 的公比
为 ．
12．能够说明“设 a，b ，c 是任意实数，若 a b c，则 ac bc”是假命题的一组整数 a，b ，
c 的值依次为 ．
13．已知函数 y = f (x) 是定义域为 R 的奇函数，且 f ( 1) = 0．若对任意的 x 、 x (0,+ ) 且1 2
x f (x ) x f (x )
x x ，都有 1 2 2 1 0成立，则不等式 f (x) 0 的解集是 ． 1 2
x2 x1
14．已知函数 f (x) = lg(x2 + ax +1) 在区间 ( , 2) 上单调递减，则 a的取值范围为 ．
15． 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌的数学定义，由此发展的混沌理论在生
物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定
义如下：设 f (x)是定义在 R 上的函数，对于 x R，令0 xn = f (x ，2，3， )，若存在n 1)(n =1
正整数 k 使得 x = x ，且当0 j k 时， x j x0 ，则称 x 是 f (x) 的一个周期为 k 的周期点，给k 0 0
试卷共 4 页（第2页）
出下列四个结论：
①若 f (x) = 2x 1，则 f (x) 存在唯一一个周期为 1 的周期点；
②若 f (x) = 2(1 x) ，则 f (x)存在周期为 2 的周期点；
1
2x , x
③若 2f (x) = ，则 f (x)存在周期为 3 的周期点；
12(1 x), x
2
1
④若 f (x) = x(1 x) ，则对任意正整数 n， 都不是 f (x) 的周期为 n的周期点．
2
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（本小题 13 分）已知{a 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数列． n} a1 =1 a1 a3 a9
（1）求数列{a 的公差； n}
（2）求数列 a{2 n }的前 n项和 S ． n
17．（本小题 13 分）已知函数 f (x) = a(x2 lnx) + (1 2a2 )x(a 0)．
（Ⅰ）若 x =1是函数 y = f (x) 的极值点，求 a的值；
（Ⅱ）求函数 y = f (x) 的单调区间．
18．（本小题 14 分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某
社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了 40 名学生，记录
他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：
根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等
级：
学习时间 t （分钟 / 天） t 20 20 t 50 t 50
等级 一般 爱好 痴迷
试卷共 4 页（第3页）
（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；
（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出 2 人，记 为选出的两人中甲大学的人数，求 的分
布列和数学期望 E( )；
（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值 X甲与 X乙的大小，及方差 S
2
甲
与 S 2乙的大小．（只需写出结论）
x2 y2 1
19．（本小题 15 分）已知椭圆C : + =1(a b 0) 的离心率为 ，长轴的左端点为 A( 2,0) ．
a2 b2 2
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点的任一直线 l 与椭圆C 分别相交于M ， N 两点，且 AM ， AN 与直线
x = 4分别相交于 D ， E 两点，求证：以DE 为直径的圆恒过 x 轴上定点，并求出定点．
x 2
20.（本小题 15 分）已知函数 f (x) = 2e ax 2x 2
（Ⅰ）求曲线 y = f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）当a 0时，求证：函数 f (x) 有且只有一个零点；
（Ⅲ）当a 0时，写出函数 f (x) 的零点的个数.（只需写出结论）
21.（本小题 15 分）无穷数列 a an 满足： 1 为正整数，且对任意正整数 n， an+1 为前 n 项
a1,a2 , ,an 中等于 an 的项的个数.
（Ⅰ）若a1 = 2，请写出数列 an 的前 7 项；

（Ⅱ）求证：对于任意正整数 M，必存在 k N ，使得ak M ；
a =1 m （Ⅲ）求证：“ 1 ”是“存在 N ，当n m 时，恒有an+2 an 成立”的充要条件.
试卷共 4 页（第4页）
北师大实验中学 2024-2025 学年第一学期高三统练（一）
参考答案
一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．A 8．B 9．B 10．A
二、填空题 5小题，每小题 5分，共 25分．
1
11. 12．如： 2 ， 1，0（答案不唯一）
3
5
13． ( 1， 0) (1，+ ) 14． ( ， ] 15． ①③④
2
注： 15 题不选、错选 0 分，少选 3 分，选全对 5 分
三、解答题共 6小题，共 85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题 13 分）
解：（1）设{a }的公差为 d ，则由题意， (1+ 2d)2 =1+8d ， n
解得 d =1或 d = 0．
（2）由（1）得数列{a }的通项公式为 a =1或n n an = n．
由于 a2 n = 2 或 a2 n = 2n ，
2(1 2n )
由等比数列前 项和公式得 或 S = = 2n+1n S = 2n n 2 ． n
1 2
17．（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）函数 f (x) = a(x2 lnx) + (1 2a2 )x(a 0)的定义域为 (0,+ )，
1 (2ax +1)(x a)
f (x) = a(2x ) +1 2a2 = ，
x x
因为 x =1是函数 y = f (x) 的极值点，
所以 f （1）= 0，即 (2a +1)(1 a) = 0， a 0 ，
解得 a =1，经检验知，当 a =1时， x =1是函数 y = f (x) 的极值点，
所以 a =1．
(2ax +1)(x a)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x) = ， a 0 ，
x
当 a = 0时， f (x) 0，所以函数 f (x)的单调递增区间为 (0,+ )，无减区间；
当 a 0时，当0 x a 时， f (x) 0，当 x a时， f (x) 0，
所以函数 f (x)的递减区间为 (0,a)，增区间为 (a,+ ) ．
综上，当 a = 0时，函数 f (x)的单调递增区间为 (0,+ )，无减区间；
当 a 0时，函数 f (x)的递减区间为 (0,a)，增区间为 (a,+ ) ．
18．（本小题 14 分）
解：（Ⅰ） 由图知，甲大学随机选取的 40 名学生中，
“爱好”中华诗词的频率为 (0.030+ 0.020+ 0.015) 10 = 0.65，
所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为 0.65．
（Ⅱ） 甲大学随机选取的 40 名学生中“痴迷”的学生有 40 0.005 10 = 2 人，
第1页（共5页）
乙大学随机选取的 40 名学生中“痴迷”的学生有 40 0.015 10 = 6人，
所以，随机变量 的取值为 = 0，1，2．
C0C2 C1C1 C2C015 3 1
所以 P( = 0) = 2 6 = ， P( =1) = 2 6 = ， P( = 2) = 2 6 = ．
C28 28 C
2
8 7 C
2
8 28
所以 的分布列为：
0 1 2
P 15 3 1
28 7 28
15 3 1 1
的数学期望为 E( = 0) = 0 +1 + 2 = ．
28 7 28 2
（Ⅲ） X甲 X乙， S
2
甲 S
2
乙．
19．（本小题 15 分）
x2 y2 1
解：（Ⅰ）因为椭圆C : + =1(a b 0) 的离心率为 ，长轴的左端点为 A( 2,0) ，
a2 b2 2
c 1
所以 = ,a = 2 ，得b = 3 ，
a 2
x2 y2
所以椭圆C 的方程： + =1；
4 3
（Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标为 (1,0)，由题直线斜率不为零，设直线 l 方程为 x =my +1，
设M (x ，1 y1)， N(x ， y )， 2 2
x = my +1

由题，联立方程组 x2 y2 ，消去 得 (3m
2
x + 4)y2 + 6my 9 = 0，
+ =1
4 3
6m 9 y 6y
所以 y1 + y = , y y = ，直线 AM : y =
1 (x + 2)，得D(4, 1 )，
2 1 2
3m2 + 4 3m2 + 4 x1 + 2 x1 + 2
y 6y 6y
同理，直线 AN : y = 2 (x + 2)，得 E(4, 2 ) ，设 x 轴上一点P(t,0)，则 PD = (4 t, 1 ) ，同理得：
x2 + 2 x2 + 2 x1 + 2
6y
PE = (4 t, 2 ) ，
x2 + 2
6y 6y
所以 PD PE = (4 t, 1 ) (4 t, 2
36y y
) = (4 t)2 + 1 2 ，
x1 + 2 x2 + 2 (x1 + 2)(x2 + 2)
因为 (x1 + 2)(x2 + 2) = (my1 +3)(my2 +3)，所以
36y y 36 ( 9)
PD PE = (4 t)2 + 1 2 = (4 t)2 + = (4 t)2 9 = 0 ,
(my1 + 3)(my2 + 3) 9m
2 18m2 + 27m2 + 36
解得： t 4 = 3，即 t =1或 t = 7，
所以以DE 为直径的圆恒过 x 轴上定点，定点分别为 (1,0)， (7,0)．
20. （本小题 15 分）
第2页（共5页）
f (x) = 2 x ax2（Ⅰ）因为函数 e 2x 2，所以 f '(x) = 2
x
e 2ax 2 ，
故 f (0) = 0， f '(0) = 0 ，曲线 y = f (x)在 x = 0处的切线方程为 y = 0
（Ⅱ）当a 0时，令 g(x) = f '(x) = 2
x
e 2ax 2，则 g '(x) = 2
x
e 2a 0
故 g(x)是R 上的增函数. 由 g(0) = 0，
故当 x 0 时， g(x) 0，当 x 0时， g(x) 0 .
即当 x 0 时， f '(x) 0，当 x 0时， f '(x) 0 .
故 f (x) 在 ( ,0)单调递减，在 (0,+ )单调递增.
函数 f (x) 的最小值为 f (0) ，由 f (0) = 0，故 f (x) 有且仅有一个零点.
（Ⅲ）当0 a 1时， f (x) 有两个零点.
当a =1时， f (x) 有一个零点；
当a 1时， f (x) 有两个零点.
21. （本小题 15 分）
（Ⅰ）若a1 = 2，则数列{an}的前 7 项为 2，1，1，2，2，3，1
（Ⅱ）证法一
假设存在正整数M ，使得对任意的 k *N ，ak M .
由题意，ak {1, 2,3,..., M}，故数列{an}多有M 个不同的取值
考虑数列{a }的前M 2n +1项： a1， a2 ， a3 ，…，aM 2 +1
其中至少有M +1项的取值相同，不妨设ai = ai = = a 1 2 iM +1
此时有：ai +1 = M +1 M ，矛盾. M +1
故对于任意的正整数M ，必存在 k *N ，使得ak M .
（Ⅱ）证法二
假设存在正整数M ，使得对任意的 k *N ，ak M .
由题意，ak {1, 2,3,..., M}，故数列{an}多有M 个不同的取值
第3页（共5页）
对任意的正整数m ，数列{an}中至多有M 项的值为m ，事实上若数列{an}中至少有M +1项的值
为m ，其M +1项为ai , a ,a , ,a ,a ,a1 i2 i3 iM 1 iM i ，此时有：aM +1 iM +1+1 = M +1 M ，矛盾.
故数列{a 2n}至多有M 项，这与数列{an}有无穷多项矛盾.
故对于任意的正整数M ，必存在 k *N ，使得ak M .
（Ⅲ）充分性：
若 a1 =1，则数列{an}的项依次为
1，1，2，1， 3，1， 4 ，1，…， k 2 ，1， k 1，1， k ，1，…
特别地，数列{an}的通项公式为
n+1
k, n = 2k 1 , n = 2k 1
an = ，即a n = 2
1, n = 2k
1, n = 2k
故对任意的n *N
（1）若n为偶数，则an+2 = an =1
n +3 n +1
（2）若n为奇数，则an+2 = = an
2 2
综上，an+2 an 恒成立，特别地，取m =1有当n m 时，恒有an+2 an 成立
必要性：
方法一
假设存在a1 = k （ k 1），使得

“存在m N ，当n m时，恒有an+2 an 成立”
则数列{a }的前 k2n +1项为
k ， 1,1,2,1,3,1,4,...,1,k 2,1,k 1,1,k ， 2,2,3,2,4,2,5,..., 2, k 2,2, k 1,2, k ，
2k 1项 2k 3项
3,3,4,3,5,3,6,...,3, k 2,3, k 1,3, k ， ， k 2,k 2,k 1,k 2,k ， k 1,k 1,k ， k
2k 5项 5项 3项
后面的项顺次为
k +1,1,k +1,2,k +1,3,...,k +1,k 2,k +1,k 1,k +1,k ，
2k项
k + 2,1,k + 2,2,k + 2,3,...,k + 2, k 2, k + 2, k 1, k + 2, k ，
2k项
第4页（共5页）
k + 3,1,k +3,2,k +3,3,...,k +3, k 2,k +3, k 1, k +3, k ，
2k项
…
k + t,1,k + t, 2,k + t,3,...,k + t,k 2,k + t,k 1,k + t,k ，
2k项
…
故对任意的 s =1,2,3,...,k 2,k 1,k ， t *N
a 2 = k + tk +1+2(t 1)k+2s 1


a
k2
= s
+1+2(t 1)k+ 2s
m
对任意的m ，取 t = +1，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，则2kt m ，令n = k
2 +1+2kt ，
2k
则 n m，此时an = k ， an+2 =1
有 a a ，这与a a n n+2 n n+2 矛盾，故若存在m N ，当n m时，恒有an+2 an 成立，必有a1 =1
方法二 若存在m N ，当n m时，an+2 an 恒成立，记max a1,a2 , ,am = s .
由第（2）问的结论可知：存在 k N ，使得ak s （由 s 的定义知 k m+1）
不妨设 ak 是数列 a 中第．一．个．大于等于 s +1的项，即a1,a2 , ,an k 1均小于等于 s.
则 ak+1 =1.因为 k 1 m，所以ak+1 ak 1 ，即1 ak 1且ak 1为正整数，所以ak 1 =1.
记 ak = t s +1，由数列 an 的定义可知，在 a1,a2 , ,ak 1中恰有 t 项等于 1.
假设a1 1，则可设ai = ai = = a =1，其中1 i1 i2 it = k 1i ， 1 2 t
考虑这 t 个 1 的前一项，即 ai ,a , ,a ， 1 1 i2 1 it 1
因为它们均为不超过 s 的正整数，且 t s+1，所以ai 1,a1 i2 1, ,ai 中一定存在两项相等， t 1
将其记为 a，则数列 an 中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现 2 次，但根据数列 an 的定义可知：
第二个 a 的后一项应该至少为 2，不能为 1，所以矛盾！
故假设a1 1不成立，所以a1 =1，即必要性得证！
综上，“a1 =1”是 存在m N

“ ，当n m时，恒有an+2 an 成立”的充要条件.
第5页（共5页）