北京八一学校高三2024-2025学年10月月考数学（含答案）

北京市八一学校 2025届高三十月月考试卷
制卷人：高凯博 审核人：王明辉 2024.10
注意：本试卷共 4 页，考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A ={ 1,0,1,2}, B ={x | x2 ≤1}，则 A B =
（A）{ 1,0,1} （B）{0,1}
（C）{ 1,1} （D）{0,1,2}
1
（2）已知命题 p : x (0,+ ), ln x≥1 ，则 p为
x
1 1
（A） x0 (0,+ ), ln x0 1 （B） x (0,+ ), ln x 1
x0 x
1 1
（C） x0 (0,+ ), ln x0 ≥1 （D） x (0,+ ), ln x≥1
x0 x
（3）下列函数中，既是偶函数又在区间 (0,+ )上单调递增的是
（A） y = x3 （B） y = ln | x |
（C） y = 2 x （ 2 D） y = x 2x
（4）已知a = ln3，b = log0.3 2，c = 0.3
0.2 ，则a,b,c 的大小关系为
（A）a c b （B）a b c
（C）b c a （D）c a b
（5）在平面直角坐标系 xOy 中，角
3 6
以Ox 为始边，终边与单位圆交于点 ( , )，则cos( + ) =
3 3
3 3
（A） （B）
3 3
6 6
（C） （D）
3 3
（6）已知定义在R 上的奇函数 f (x)在[0,+ )单调递增．若 f (1) =1，则不等式 1 f (x 1) 1的解
集为
（A） ( 1,1) （B） ( 2,2)
（C） (0,1) （D） (0,2)
（7）已知函数 f (x) = sin x和直线 l : y = x+a ，那么“ a = 0 ”是“直线 l 与曲线 y = f (x) 相切”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
1
（8）苏格兰数学家纳皮尔 (J .Napier,1550 1617) 发明的对数及对数表 ( 部分对数表如下表所示 ) ，为当时
的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.因为 210 =1024 [103,104 )，所以 210 的位数为 4( 一个
自然数数位的个数，叫做位数 ) ，已知M 30 是 24 位数，则正整数 M的值为
N 3 4 5 6 7 8 9
lg N 0.4771 0.6021 0.6990 0.7782 0.8451 0.9031 0.9542
（A）4 （B）5
（C）6 （D）8

（9）先将函数 f (x) = sin x( 0)的图象向左平移 个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函
2
数 g(x)的图象，若方程 f (x) = g(x)有实根，则 的值可以为
1
（A） （B）1
2
（C）2 （D） 4
2x a, x 0,
（10）已知函数 f (x) = 若 y = f (x)的图象上存在两个点 A, B关于原点对称，则实数a
x, x 0.
的取值范围是
（A）[ 1,+ ) （B） ( 1,+ )
（C）[1,+ ) （D） (1,+ )
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）已知函数 f (x) = log2 (x + a)，若 f (2) = 2，则a =________．
4
（12）函数 y = x + (x 1) 的最小值为_______．
x 1
（13）曲线 y = ex 在 x = 0处的切线恰好是曲线 y = ln (x + a)的切线，则实数 a = __________.

（14）已知函数 f (x) = sin ( x+ ) 满足 f =0 ， f ( x)+ f (x) = 0，且 f (x)在 ， 内
4 4 2
不存在零点，则函数 f (x)的零点为___________.
2
（15）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船
的轮子的半径为3m，它以1rad / s 的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点 P ， 点 P 到船底的距离
是 H （单位：m），轮子旋转时间为 t （单位： s ）. 当 t = 0时，点 P 在轮子的最高点处.
①当点 P 第一次入水时， t = ；
P
②当 t = t 时，函数H (t) 的瞬时变化率取得最大0
值，则 t 的最小值是 . 0 3m
Hm
水面
1.5m
1m
船底
三、解答题共 6 小题，共 85 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
(16)（本小题满分 14 分）
3
已知函数 f (x) = cos x(sin x + 3cos x) ， x R .
2
（Ⅰ）求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）设 0，若函数 g(x) = f (x + ) 为奇函数，求 的最小值.
(17)（本小题满分 14 分）

已知函数 f (x) = sin( x + )( 0,| | )，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为
2
一组已知条件，使 f (x) 的解析式唯一确定．
（Ⅰ）求 f (x) 的解析式；

（Ⅱ）设函数 g(x) = f (x) + f (x + ) ，求 g (x)在区间[0, ]上的最大值．
6 4
条件①： f (x) 的最小正周期为 ；
条件②： f (x) 为奇函数；

条件③： f (x) 图象的一条对称轴为 x = .
4
3
(18)（本小题满分 14 分）
3
f (x) = ax2已知函数 ln x + (1 3a)x ，其中 a R
2
1
（Ⅰ）若 x = 是函数 f (x) 的极值点，求 a 的值；
2
（Ⅱ）若 a 0，讨论函数 f (x) 的单调性．
(19) （本小题满分 14 分）
已知函数 f (x) = xsin x + acos x + x ， a R.

（Ⅰ）若曲线 y = f (x) 在点 , f ( ) 处的切线与 y = x +1平行，求 a的值；
2 2

（Ⅱ）当 a=2时，求 f (x) 在区间[0, ]上的最大值和最小值；
2

（Ⅲ）当 a 2时，若方程 f (x) 3 = 0 在区间 [0, ]上有唯一解，求 a 的取值范围.
2
(20)（本小题满分 15 分）
已知函数 f (x) = (x2 + 2x) ln (x +1)+ ax .
（Ⅰ）若a = 0，求曲线 y = f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
（Ⅱ）当a 0时，求证： 函数 f (x) 存在极小值；
（Ⅲ）请直接写出函数 f (x) 的零点个数.
(21)（本小题满分 14 分）
1, x M ,
对于集合M，定义函数 fM (x) = 对于两个集合 M，N，定义集合
1, x M .
M N ={x fM (x) fN (x) = 1} . 已知 A {2,4,6,8,10}，B {1,2,4,8,16}.
（Ⅰ）写出 f A(1)和 f (1)的值，并用列举法写出集合B A B；
（Ⅱ）用 Card(M)表示有限集合 M所含元素的个数，求Card(X A)+Card(X B)的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P,Q A B，且 (P A) (Q B) = A B？
4
北京市八一学校 2025届高三十月月考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C A D A C C D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
k 2 3
11． 2 12．5 13． 2 14． x = ,k Z 15． π π
2 3 2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.
（16）（本小题满分 14 分）
3
（Ⅰ）解： f (x) = cos x(sin x + 3cos x)
2
3
= sin xcos x + (2cos2 x 1)
2
1 3
= sin 2x + cos2x ………………4 分
2 2
π
= sin(2x + ) ， ………………6 分
3
2π
所以函数 f (x) 的最小正周期T = =π . ………………7 分
2
π π π
由 2kπ ≤2x + ≤2kπ+ ， k Z，
2 3 2
5π π
得 kπ ≤x≤kπ+ ，
12 12
5π π
所以函数 f (x) 的单调递增区间为[kπ ,kπ+ ]， k Z . ………………9 分
12 12
π
（Ⅱ）解：由题意，得 g(x) = f (x + ) = sin(2x + 2 + )，
3
因为函数 g (x)为奇函数，且 x R，
π
所以 g(0) = 0，即 sin(2 + ) = 0 ， ………………11 分
3
π
所以 2 + = kπ， k Z，
3
kπ π
解得 = ， k Z，验证知其符合题意.
2 6
又因为 0，
π
所以 的最小值为 . ………………14 分
3
5
（17）（本小题 14 分）
解： (Ⅰ ) 选择条件①②：………………………………………………………………………3
2
由条件①及已知得T = = ， ………………………………………4

所以 = 2. ………………………………………5
由条件②得 f ( x) = f (x) ，
所以 f (0) = 0，即 sin = 0.……………………………………………………………6
解得 = k (k Z).……………………………………………………………………7

因为 | | ，
2
所以 = 0 ，经检验，符合…………………………………………………………8
所以 f (x) = sin2x. …………………………………………………………………9
选择条件①③：………………………………………………………………………3
2
由条件①及已知得T = = ，所以 = 2.………………………………………5


由条件③得 2 + = k + (k Z)，……………………………………………6
4 2
解得 = k (k Z).……………………………………………………………………7

因为 | | ，
2
所以 = 0.……………………………………………………………………………8
所以 f (x) = sin2x. …………………………………………………………………9
选择条件②③： f (x) 的解析式不唯一.
由条件②得 f ( x) = f (x) ，所以 f (0) = 0，即 sin = 0.解得 = k (k Z).

因为 | | ，所以 = 0 ，由条件③得 = k + (k Z )，
2 4 2
即 = 4k + 2,k Z

（Ⅱ）由题意得 g (x) = sin2x + sin 2x + ，
3
3 3
化简得 g(x) = sin 2x + cos2x = 3sin(2x + ).………………………………………11
2 2 6

因为 0 x ，
4
2
所以 2x + ，……………………………………………………………………………12
6 6 3

所以当 2x + = ，即 x = 时， g (x)的最大值为 3. ………………………………….14
6 2 6
6
（18）（本小题共 14 分）
解：（Ⅰ）由题意 x 0 ，………………………………………………………………………1
3ax2 + (1 3a)x 1 (3ax +1)(x 1) f (x) = = ，………………………………………………2
x x
1
因为 x = 是函数 f (x) 的极值点，
2
1 2
所以 f ( ) = 0 ，解得 a = ，……………………………………………………………4
2 3
2
经检验， a = 符合题意，………………………………………………………………5
3
2
故 a = ；
3
3ax
2 + (1 3a)x 1 (3ax +1)(x 1)
（Ⅱ） f (x) = = ，
x x
1
当 a 0时，令 f (x) = 0 ，解得 x = 或 x =1 ，……………………………………6
3a
1 1
当 1,即 a 时，……………………………………………………………………7
3a 3
1 1
因为 当 x 1 时 f (x) 0 ，当 0 x 或 x 1 时 f (x) 0 ，………………8
3a 3a
1 1
所以 f (x) 在 0, 上单调递减，在 ,1 上单调递增，在 (1,+ ) 上单调递减；……9
3a 3a
1 1
当 1,即 a 0 时，……………………………………………………………………10
3a 3
1 1
因为当 1 x 时 f (x) 0 ，当 0 x 1 或 x 时 f (x) 0 ，………………11
3a 3a
1 1
所以 f (x) 在 (0,1) 上单调递减，在 1, 上单调递增，在 ,+ 上单调递减；………12
3a 3a
1 1
当 =1,即 a = 时， f (x) 0，所以 f (x) 在 (0,+ ) 上单调递减………………………….14
3a 3
1 1 1
综上，当 a 0 时， f (x) 在 (0,1) 上递减，在 1, 上递增，在 ,+ 上递减；
3 3a 3a
1
当 a = 时， f (x) 在 (0,+ ) 上单调递减；
3
1 1 1
当 a 时， f (x) 在 0, 上单调递减，在 ,1 上单调递增，在 (1,+ ) 上单调递减．
3 3a 3a
7
(19) （本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ） f (x) = (1 a)sinx + xcosx +1，……………………………………………………1

由 f = 1.得 a = 1 ……………………………………………………3
2

又因为 f = ， ……………………………………………………4
2 2
切线方程为 y = x.不与 y = x +1重合，所以 a = 1
（Ⅱ） 当 a = 2时， f (x) = xsinx + 2cosx + x，
所以 f (x) = sinx + xcosx +1.……………………………………………………5

当 x 0, 时，1 sinx 0 ， xcosx 0，所以 f (x) 0.……………………6
2

所以 f (x) 在区间 0, 上单调递增．…………………………………7
2

因此 f (x) 在区间 0, 上的最大值为 f = ，最小值为 f (0) = 2.…………9
2 2
(3) 当 a 2时， f (x) = (1 a)sinx + xcosx +1.
设 h(x) = (1 a)sinx + xcosx +1， h (x) = (2 a)cosx xsinx，……………………10

因为 a 2， x 0, ，所以 h (x) 0.
2

所以 h(x) 在区间 0, 2
上单调递减．………………………………………………11


因为 h(0) =1 0， h =1 a +1= 2 a 0，……………………………………12
2

所以存在唯一的 x0 0, ，使 h(x0 ) = 0，即 f (x0 ) = 0.
2

所以 f (x) 在区间[0, x0 )上单调递增，在区间 (x0 , ]上单调递减．…………………13 2

因为 f (0)=a， f = ，又因为方程 f (x) 3= 0在区间 0, 上有唯一解，
2 2


所以 2 a 3.……………………………………………………………………………14
8
(20) （本小题满分 15 分）
解：（Ⅰ） f (0) = 0………………………………………………………………………………………1
1
f (x) = 2(x +1) ln (x +1)+ (x2 + 2x) , f (0) = 0……………………………………3
x +1
切线方程为 y = 0………………………………………………………………………………4
（Ⅱ）法一： f (x) = (x2 + 2x) ln (x +1)+ ax ， x 1
因为 f (0) = 0………………………………………………………………………………5
2
又当 2x 0时， x +2x 0， ln (x+1) 0，ax 0，所以 f (x) = (x + 2x) ln (x +1)+ ax 0
…………………………………8
2
当 2 1 x 0时， x +2x 0， ln (x+1) 0，ax 0，所以 (x + 2x) ln (x +1)+ ax 0
…………………………………11
所以 f (0) = 0为极小值，故存在极小值.
法二： x 1
1
f (x) = 2(x+1) ln (x+1)+ ax + (x
2 + 2x) + a ………………………………5
x+1
2 1
当 x 0时， x +2x 0， ln (x+1) 0，ax 0， x+1 0 ， + a 0
x+1
1
所以 2(x +1) ln (x +1)+ ax 0 ， (x
2 + 2x) + a 0，所以 f (x) 0…………7
x +1
2 1
当 1 x 0时， x +2x 0， ln (x+1) 0，ax 0， x+1 0 ， + a 0
x+1
1
所以2(x +1) ln (x +1)+ ax 0 ， (x
2 + 2x) + a 0，所以 f (x) 0………9
x +1
x ( 1,0) 0 (0,+ )
f (x) - 0 +
极小 ………………………………………11 f (x)
9
法三：
………………5
………………….7
……………………9
………………….12
……………………11
（Ⅲ）当a 0，或a = 1时， f (x) 存在 1 个零点；
当 1 a 0，或a 1时， f (x) 存在 2 个零点；……………………15
10
(21)（本小题满分 14 分）
解：考查有关筛法的问题，筛去相同元素.（Ⅲ）问是有关算法的研究.
（Ⅰ） fA(1)=1， fB (1)= -1， A B ={1,6,10,16}. （3 分）
（Ⅱ）根据题意可知：对于集合C, X ，
①若a C 且a X ，则Card(C (X {a}) =Card(C X ) 1；
②若a C 且a X ，则Card(C (X {a}) =Card(C X )+1.
所以 要使Card(X A)+Card(X B)的值最小，2，4，8 一定属于集合 X ；1，6，10，16 是否属于 X
不影响Card(X A)+Card(X B)的值；集合 X 不能含有 A B之外的元素.
所以当 X 为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，Card(X A)+Card(X B)取到最小
值 4. （8 分）
（Ⅲ）因为 A B ={x f (x) f (x) = 1}，所以 A B = B A .由定义可知： fA B (x) = fA(x) fB (x) . A B
所以 对任意元素 x ， f( A B) C (x) = fA B (x) fC (x) = fA (x) fB (x) fC (x) ，
fA (B C ) (x) = fA (x) fB C (x) = fA (x) fB (x) fC (x) .
所以 f( A B) C (x) = fA (B C ) (x) .所以 (A B) C = A (B C) .
由 (P A) (Q B) = A B知： (P Q) (A B) = A B .
所以 (P Q) (A B) (A B) = (A B) (A B) .所以P Q = .所以 P Q = ，即P Q .因为
P,Q A B，所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为27 =128 .（14 分）
11