(共21张PPT)
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝ax2(a>0)
y=ax2+k
(a>0)
y＝ax2(a<0)
y=ax2+k
(a<0)
向上
向上
向下
向下
y轴
y轴
y轴
y轴
（0、0）
（0、0）
（0、k）
（0、k）
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝ax2(a>0)
y=a(x－h)2
(a>0)
y＝ax2(a<0)
y=a(x-h)2
(a<0)
向上
y轴
（0、0）
向下
y轴
（0、0）
向上
向下
x=-h
（-h、0）
x=-h
（-h、0）
二次函数:
y=ax2 +bx + c (a 0)
二次函数的图象:一条抛物线
抛物线的形状,大小,开口方向完全由_____来决定.
当a的绝对值相等时,其形状
完全相同,当a的绝对值越大,
则开口越小,反之成立.
0
y=0.5x2
y= - x2
y= - 0.5x2
a
根据左边已画好的函数图象填空：
抛物线y= -2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减小.
当x= 时，函数y最大值是____.
当x____0时,y<0
(0,0)
直线x=0
Y轴右
Y轴左
0
0
0
y= -2x2
<
>
y
x
根据左边已画好的函数图象填空：
抛物线y= 2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减少；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大.
当x= 时，函数y最小值是____.
当x____0时,y>0
(0,0)
直线x=0
Y轴右
Y轴左
0
0
<
>
0
y= 2x2
y
x
抛物线y＝a(x+h)2+k的性质
（1）对称轴是直线x＝_________
（2）顶点坐标是___________
(3)当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而_______；在对称轴的右侧y随x的增大而________。
（4）当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而_________;在对称轴的右侧y随x的增大而___________
-h
(-h、k)
减小
增大
增大
减小
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为
y
x
o
2、二次函数 y=x2 - ４x+3 的对称轴是
3、一抛物线y=-2x2的形状和开口方向相同，顶点为（1，- 4），则它的函数解析式为
4、抛物线y=x2-5x+4 与坐标轴的交点个数为（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数由什么决定的？
5、说出下列抛物线与x轴的交点的个数：
⑴ y=2x２-x-1 ⑵ y=4x2+4x+1 ⑶ y=3x2+2x+5
a<0
c>0
b>0
直线x = 2
y=-2(x – 1)2 - 4
C
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,
交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一
元二次方程ax2+bx+c=0的根.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
⑴ y=2X２-X-1 ⑵ y=4X2+4X+1 ⑶ y=3X2+2X+5
抛物线与x轴的交点的个数：
2个
1个
0个
b2- 4ac﹥0
b2- 4ac=0
b2- 4ac<0
当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。
1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，顶点是 。
当b2- 4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，
交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c的两个解 与
当b2- 4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；
1、当a ﹥0时，抛物线的开口向上，并且向上无限伸展；
当a ﹤0时，抛物线的开口向下，并且向下无限伸展。
2、当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；
当 时，函数y有最小值 。
当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。
当 时，函数y有最大值
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
,y随着x的增大而减小.
, y随着x的增大而增大.
,y随着x的增大而增大.
, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
x2-3x+2=0
举例:
1、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
-1
1
0
x
y
2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值
⑴ y=2x2-8x-3 ⑵ y=-5x２＋３√２x- 4
3、二次函数y=x2＋bx+8的图像顶点在x轴的负半轴上， 那么b等于多少？
D
已知函数
⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；
⑵根据第⑴题的图像草图,说出取哪些值时,
①y=0 ②y﹤0 ③y﹥0
(-15,0)
(1,0)
(0,7.5)
(7,32)
(-14,7.5)
.
0
x
y
x
o
y
x
y
o
(0,c)
(0,c)
.
.
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
.
.
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为__________.
y
x
o
2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
D
x
-1
1
0
y
1、你能正确地说出二次函数的性质吗？
2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？
