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专题21 多边形与平行四边形
一．选择题（共18小题）
1．（2024 济南）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【答案】
【考点】多边形内角与外角
【解析】由题意得，
即这个正多边形是正八边形，
故选．
2．（2024 云南）一个七边形的内角和等于
A． B． C． D．
【答案】
【考点】多边形内角与外角
【解析】一个七边形的内角和为：
，
故选．
3．（2024 资阳）已知一个多边形的每个外角都等于，则该多边形的边数是
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【考点】多边形内角与外角
【解析】任意多边形的外角和都是，
又这个多边形的每个外角都相等，且等于，
该多边形的边数是，
故选．
4．（2024 乐山）下列多边形中，内角和最小的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】多边形内角与外角
【解析】三角形的内角和为，四边形的内角和为：，五边形的内角和为：，六边形的内角和为：，
，
在三角形、四边形、五边形和六边形中，内角和最小的是三角形，
故选．
5．（2024 遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】多边形内角与外角
【解析】设这个正多边形的边数为，
由题意得：，
解得：，
则，
即这个正多边形的每个外角为，
故选．
6．（2024 赤峰）如图，是正边形纸片的一部分，其中，是正边形两条边的一部分，若，所在的直线相交形成的锐角为，则的值是
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】
【考点】多边形内角与外角
【解析】如图，
直线、相交于点，则，
正多边形的每个内角相等，
正多边形的每个外角也相等，
，
．
故选．
7．（2024 河北）直线与正六边形的边，分别相交于点，，如图所示，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】多边形内角与外角；正多边形和圆
【解析】正六边形每个内角为：，
而六边形的内角和也为，
，
，
，
，
故选．
8．（2024 大庆）下列说法正确的是
A．若，则
B．一件衣服降价后又提价，这件衣服的价格不变
C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
【答案】
【考点】多边形内角与外角；直角三角形全等的判定
【解析】．，当时，；当时，，原说法错误，故本选项不符合题意；
．设衣服原价为元，则降价后为元，又提价后为元，所以这件衣服的价格变便宜了，原说法错误，故本选项不符合题意；
．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原说法错误，故本选项不符合题意；
．设这个多边形的边数为，则，解得，即这个多边形是六边形，原说法正确，故本选项符合题意．
故选．
9．（2024 贵州）如图，的对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行四边形的性质
【解析】、平行四边形的邻边不相等，无法得到，故此选项不合题意；
、因为平行四边形的对边相等，故，故此选项符合题意；
、平行四边形的对角线不相等，无法得出，故此选项不合题意；
、平行四边形的对角线不垂直，无法得到，故此选项不合题意．
故选．
10．（2024 山东）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为
A． B．3 C． D．4
【答案】
【考点】平行四边形的性质
【解析】解法一：
解：延长和，交于点，
四边形是平行四边形，
，即，
，
，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
解法二：
连接交于，
四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
故选．
11．（2024 巴中）如图，的对角线、相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】
【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理
【解析】四边形是平行四边形，对角线、相交于点，，
，，，
点是的中点，
，，
，
的周长为12，
，
，
，
，
的周长为5，
故选．
12．（2024 眉山）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】四边形是平行四边形，
，，，故①③正确，
，，
点是的中点，
，
又，
，
，，故②不正确，
，，
，
即，故④正确，
综上所述，正确结论的个数为3个，
故选．
13．（2024 台湾）如图，平行四边形与平行四边形全等，且、、、的对应顶点分别是、、、，其中在上，在上，在上．若，，，则四边形的周长为何？
A．21 B．20 C．19 D．18
【答案】
【考点】平行四边形的性质；全等图形
【解析】平行四边形与平行四边形全等，且、、、的对应顶点分别是、、、，
，，，
，
，
，
四边形的周长，
故选．
14．（2024 浙江）如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】过作，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
△△，
，
，
，，
，，
，
．
故选．
15．（2024 自贡）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【考点】规律型：图形的变化类；平行四边形的性质
【解析】由已知可得，从到需，从到（或从到需，
设，运动时间为 ，
①当时，过作于，过作于，如图：
由题可知， ， ，
，，
四边形是等腰梯形，
，
，
，，
，
，
解得；
当四边形是平行四边形时，如图：
此时 ，
，
解得，
为或时，；
②当时，若四边形是平行四边形，如图：
此时， ，
，，
，
，
解得；
由①知，若四边形是，为腰的等腰梯形，则，这种情况在时不存在；
为时，；
③当时，若四边形是平行四边形，如图：
此时，，
，
解得，
为时，；
综上所述，为或或或时，；
故选．
16．（2024 乐山）如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【考点】平行四边形的判定
【解析】、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
、根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；
、一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，故不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意；
故选．
17．（2024 河北）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：，． ，，， ①______． 又，， ②______）． ．四边形是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【考点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；全等三角形的判定
【解析】证明：，
，
，，，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
①，②分别为，，
故选．
18．（2024 辽宁）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】
【考点】平行四边形的判定与性质
【解析】四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形的周长，
故选．
二．填空题（共19小题）
19．（2024 巴中）从五边形的一个顶点出发可以引 2 条对角线．
【答案】2．
【考点】多边形的对角线
【解析】从五边形的一个顶点出发可以引的对角线条数为（条，
故答案为：2．
20．（2024 包头）若一个边形的内角和是，则 7 ．
【答案】7
【考点】多边形内角与外角
【解析】这个多边形的边数是，
则：，
解得．
故答案为：7．
21．（2024 自贡）凸七边形的内角和是 900 度．
【答案】900．
【考点】多边形内角与外角
【解析】，
内角和为：，
故答案为：900．
22．（2024 吉林）正六边形的一个内角的度数是 120 ．
【答案】120．
【考点】多边形内角与外角
【解析】由题意得：，
故答案为：120．
23．（2024 青海）正十边形一个外角的度数是 ．
【答案】．
【考点】多边形内角与外角
【解析】由题可知，
．
故答案为：．
24．（2024 无锡）正十二边形的内角和等于 1800 度．
【答案】1800．
【考点】多边形内角与外角
【解析】，
正十二边形的内角和等于．
故答案为：1800．
25．（2024 徐州）正十二边形的每一个外角等于 30 度．
【答案】30．
【考点】多边形内角与外角
【解析】多边形的外角和为360度，
每个外角度数为：，
故答案为：30．
26．（2024 重庆）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为 8 ．
【答案】8．
【考点】多边形内角与外角
【解析】多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是，
即该正多边形的边数为8．
27．（2024 重庆）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 9 ．
【答案】9．
【考点】多边形内角与外角
【解析】，
这个多边形的边数为9，
故答案为：9．
28．（2024 宁夏）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 81 ．
【答案】81．
【考点】多边形内角与外角
【解析】在正五边形，
，
，
，
，
．
故答案为：81．
29．（2024 临夏州）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图，则该正六边形的每个内角为 ．
【答案】．
【考点】多边形内角与外角
【解析】正六边形的内角和为：，
该正六边形的每个内角为：，
故答案为：．
30．（2024 威海）如图，在正六边形中，，，垂足为点．若，则
【答案】．
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质
【解析】六边形是正六边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
31．（2024 淮安）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，铺设方式如图1．图2是其中一块地砖的示意图，，，，，，部分尺寸如图所示（单位：．结合图1、图2信息，可求得的长度是 5.8 ．
【答案】5.8．
【考点】矩形的判定与性质；平面镶嵌（密铺）；勾股定理的应用
【解析】作，设 ， ，
由图一可知，，，四边形是矩形，
则，，
则，
，
，
．
故答案为：5.8．
32．（2024 广州）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 5 ．
【答案】5．
【考点】平行四边形的性质
【解析】四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：5．
33．（2024 广安）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】．
【考点】平行四边形的性质；勾股定理；轴对称最短路线问题
【解析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，
当，重合时，最小，最小值为，
，，在中，
，，
，，
，
，
故答案为：．
34．（2024 山西）如图，在中，为对角线，于点，点是延长线上一点，且，线段，的延长线交于点．若，，，则的长为 ．
【答案】．
【考点】平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】解法一：过点作于，延长与的延长线交于，如图所示：
四边形为平行四边形，
，，，，
又，
在中，，
，
由勾股定理得：，
即，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即，
，
．
故答案为：．
解法二：过点作，交的延长线于，如图所示：
四边形为平行四边形，
，，，，
又
在中，，
，
由勾股定理得：，
即，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
在中，，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
，
，
即，
解得：，
，
故答案为：．
35．（2024 宜宾）如图，在平行四边形中，，，、分别是边、上的动点，且．当的值最小时，则 ．
【答案】．
【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】如图，延长至，使，连接，
四边形是平行四边形，
，，，
，
又，，
，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值，
此时：，
，
，
，
，
故答案为：．
36．（2024 济宁）如图，四边形的对角线，相交于点，，请补充一个条件 或或 ，使四边形是平行四边形．
【答案】或或．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】①当时，四边形是平行四边形，证明如下：
，，
四边形是平行四边形；
②当时，四边形是平行四边形，证明如下：
，
，，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
③时，四边形是平行四边形，证明如下：
，
，，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
综上所述：补充条件是或或．
故答案为：或或．
37．（2024 凉山州）如图，四边形各边中点分别是、、、，若对角线，，则四边形的周长是 42 ．
【答案】42．
【考点】中点四边形
【解析】四边形各边中点分别是、、、，
、、、分别为、、、的中位线，
，，，，
四边形的周长为：，
故答案为：42．
三．解答题（共11小题）
38．（2024 泸州）如图，在中，，是对角线上的点，且．求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】四边形是平行四边形，
，，
．
在和中，
，
，
．
39．（2024 湖北）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
．
40．（2024 雅安）如图，点是对角线的交点，过点的直线分别交，于点，．
（1）求证：△△；
（2）当时，，分别连接，．求此时四边形的周长．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是对角线的交点，
，
在△和△中，
，
△△．
（2）解：连接，，
由（1）得△△，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形的周长为．
41．（2024 长沙）如图，在中，对角线，相交于点，．
（1）求证：；
（2）点在边上，满足．若，，求的长及的值．
【考点】平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
．
（2）作于点，则，
，，，
，
，
，
，
，，且，
，
，
，
，
，
，
的长为5，的值为3．
42．（2024 宁夏）如图，在中，点，在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．求证：．
小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，，
，
，
．
43．（2024 武汉）如图，在中，点，分别在边，上，．
（1）求证：；
（2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由）
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
，
，
，
在与中，
，
；
（2）解：如图，添加，理由如下：
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形．
44．（2024 呼和浩特）如图，，，平分，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）过点作于点，若，请直接写出四边形的形状．
【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】（1）证明：平分，
，
．
，
，
在和中，
，
，
，又，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
由（1）可知，，四边形是平行四边形，
，
平分，，，
，
，
，且
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形．
45．（2024 大庆）如图，在平行四边形中，，分别是、的平分线，且点，分别在边，上．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是、的平分线，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是的平分线，
，
，
是等边三角形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
由（1）得：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
46．（2024 北京）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；三角形中位线定理
【解析】（1）证明：是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）知，是的中位线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，，
．
47．（2024 浙江）尺规作图问题：
如图1，点是边上一点（不包含，，连接．用尺规作，是边上一点．
小明：如图2．以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则．
小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦我明白了！
（1）证明；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
【考点】平行四边形的判定与性质
【解析】（1）证明：根据小明的作法知，，
四边形是平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：以为圆心，为半径画弧，交于点，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意．
故小丽的作法有问题．
48．（2024 湖南）如图，在四边形中，，点在边上， ①或② ．
请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
【考点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】（1）选择①或②，证明如下：
选择①，，
，
，
四边形为平行四边形；
选择②，，，
，
，
四边形为平行四边形；
故答案为：①或②；
（2）由（1）可知，四边形为平行四边形，
，
，
，
，
即线段的长为6．
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专题21 多边形与平行四边形
一．选择题（共18小题）
1．（2024 济南）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
2．（2024 云南）一个七边形的内角和等于
A． B． C． D．
3．（2024 资阳）已知一个多边形的每个外角都等于，则该多边形的边数是
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2024 乐山）下列多边形中，内角和最小的是
A． B．
C． D．
5．（2024 遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为
A． B． C． D．
6．（2024 赤峰）如图，是正边形纸片的一部分，其中，是正边形两条边的一部分，若，所在的直线相交形成的锐角为，则的值是
A．5 B．6 C．8 D．10
7．（2024 河北）直线与正六边形的边，分别相交于点，，如图所示，则
A． B． C． D．
8．（2024 大庆）下列说法正确的是
A．若，则
B．一件衣服降价后又提价，这件衣服的价格不变
C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
9．（2024 贵州）如图，的对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
10．（2024 山东）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为
A． B．3 C． D．4
11．（2024 巴中）如图，的对角线、相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为
A．4 B．5 C．6 D．8
12．（2024 眉山）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2024 台湾）如图，平行四边形与平行四边形全等，且、、、的对应顶点分别是、、、，其中在上，在上，在上．若，，，则四边形的周长为何？
A．21 B．20 C．19 D．18
14．（2024 浙江）如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是
A． B． C． D．
15．（2024 自贡）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是
A．3 B．4 C．5 D．6
16．（2024 乐山）如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是
A．， B．， C．， D．，
17．（2024 河北）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：，． ，，， ①______． 又，， ②______）． ．四边形是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为
A．， B．， C．， D．，
18．（2024 辽宁）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为
A．4 B．6 C．8 D．16
二．填空题（共19小题）
19．（2024 巴中）从五边形的一个顶点出发可以引 条对角线．
20．（2024 包头）若一个边形的内角和是，则 ．
21．（2024 自贡）凸七边形的内角和是 度．
22．（2024 吉林）正六边形的一个内角的度数是 ．
23．（2024 青海）正十边形一个外角的度数是 ．
24．（2024 无锡）正十二边形的内角和等于 度．
25．（2024 徐州）正十二边形的每一个外角等于 度．
26．（2024 重庆）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为 ．
27．（2024 重庆）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ．
28．（2024 宁夏）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ．
29．（2024 临夏州）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图，则该正六边形的每个内角为 ．
30．（2024 威海）如图，在正六边形中，，，垂足为点．若，则
31．（2024 淮安）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，铺设方式如图1．图2是其中一块地砖的示意图，，，，，，部分尺寸如图所示（单位：．结合图1、图2信息，可求得的长度是 ．
32．（2024 广州）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ．
33．（2024 广安）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ．
34．（2024 山西）如图，在中，为对角线，于点，点是延长线上一点，且，线段，的延长线交于点．若，，，则的长为 ．
35．（2024 宜宾）如图，在平行四边形中，，，、分别是边、上的动点，且．当的值最小时，则 ．
36．（2024 济宁）如图，四边形的对角线，相交于点，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形．
37．（2024 凉山州）如图，四边形各边中点分别是、、、，若对角线，，则四边形的周长是 ．
三．解答题（共11小题）
38．（2024 泸州）如图，在中，，是对角线上的点，且．求证：．
39．（2024 湖北）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：．
40．（2024 雅安）如图，点是对角线的交点，过点的直线分别交，于点，．
（1）求证：△△；
（2）当时，，分别连接，．求此时四边形的周长．
41．（2024 长沙）如图，在中，对角线，相交于点，．
（1）求证：；
（2）点在边上，满足．若，，求的长及的值．
42．（2024 宁夏）如图，在中，点，在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．求证：．
小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
43．（2024 武汉）如图，在中，点，分别在边，上，．
（1）求证：；
（2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由）
44．（2024 呼和浩特）如图，，，平分，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）过点作于点，若，请直接写出四边形的形状．
45．（2024 大庆）如图，在平行四边形中，，分别是、的平分线，且点，分别在边，上．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的面积．
46．（2024 北京）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
47．（2024 浙江）尺规作图问题：
如图1，点是边上一点（不包含，，连接．用尺规作，是边上一点．
小明：如图2．以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则．
小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦我明白了！
（1）证明；
（2）指出小丽作法中存在的问题．
48．（2024 湖南）如图，在四边形中，，点在边上， ．
请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
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