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专题22 菱形、矩形与正方形的判定与性质
一．菱形的判定与性质（共29小题）
1．（2024 绥化）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是
A． B．6 C． D．12
【答案】
【考点】勾股定理；菱形的性质
【解析】四边形是菱形，，，
，，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积，
，
故选．
2．（2024 济宁）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接．若，则菱形的边长为
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】四边形是菱形，
，
是直角三角形，
是的中点，
，
，
，
即菱形的边长为6．
故选．
3．（2024 无锡）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形
【解析】延长，过点作延长线的垂线，垂足为点，
四边形是菱形，
，，
，
设，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
故选．
4．（2024 临夏州）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为
A． B．， C． D．
【答案】
【考点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】过作轴于，过作轴于，
点的坐标为，
，，
，
四边形是菱形，
，，
点的坐标为．
故选．
5．（2024 海南）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点顺时针旋转，点落在数轴上的点处，若点表示的数是3，则点表示的数是
A．1 B． C．0 D．
【答案】
【考点】实数与数轴；等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】如图，过点作的垂线，垂足为点，
四边形是菱形，
，平分，，
，
．
．
．
，
，
，
，
，
，
．
点表示的数是3，
点表示的数是．
故选．
6．（2024 黑龙江）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】连接，如图，
菱形中，与互相垂直平分，
又点是的中点，
、、三点在同一直线上，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
故选．
7．（2024 达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为
A．2 B． C． D．3
【答案】
【考点】解直角三角形；菱形的性质
【解析】如图，延长交格点于，连接，
由题意可得：，，，
，
故选．
8．（2024 通辽）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】、，
，
是菱形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是菱形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是菱形，故选项不符合题意，
、，
，
，
不能证得是菱形，故选项符合题意；
故选．
9．（2024 武汉）小美同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的大小是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】多边形内角与外角
【解析】由（1）（2）（3）可知四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
故选．
10．（2024 长沙）如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，，过点作于点．设，，则与之间的函数解析式为（不考虑自变量的取值范围）
A． B． C． D．
【答案】
【考点】菱形的性质；含30度角的直角三角形；函数关系式；相似三角形的判定与性质
【解析】过作交的延长线于，
在菱形中，，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选．
11．（2024 甘肃）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，的长为
A．2 B．3 C． D．
【答案】
【考点】直角三角形的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】结合图象，得到当时，，
当点运动到点时，，
菱形，
，
，
，
当点运动到中点时，的长为，
故选．
12．（2024 泰安）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是
A．2 B． C． D．4
【答案】
【考点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】如图，过作于点，作于点，作于点，
，
点、、、四点共圆，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
最小值是．
故选．
13．（2024 山西）在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
【答案】
【考点】中点四边形；三角形中位线定理；菱形的判定与性质
【解析】如图所示，
连接，，
点和点分别是和的中点，
是的中位线，
．
同理可得，，
，，
四边形是平行四边形．
，，且，
，
平行四边形是菱形，
与互相垂直平分．
故选．
14．（2024 南通）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ．
【答案】．
【考点】菱形的性质
【解析】过点作于点，
周长为，
，
，
，
高，
故答案为：．
15．（2024 甘孜州）如图，在菱形中，，则菱形的周长为 8 ．
【答案】8．
【考点】菱形的性质
【解析】四边形是菱形，，
菱形的周长是．
故答案为：8．
16．（2024 广东）如图，菱形的面积为24，点是的中点，点是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 10 ．
【答案】10．
【考点】菱形的性质；三角形的面积
【解析】连接，
是的中点，
，
连接，
同理可得，
，
，
，
，
△．
故答案为：10．
17．（2024 上海）在菱形中，，则 57 ．
【答案】57．
【考点】菱形的性质
【解析】四边形是菱形，
，
，
，
．
故答案为：57．
18．（2024 贵州）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ．
【答案】．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形
【解析】如图，过点作于点，延长、交于点，
则，
，，
，
，
四边形是菱形，
，，，
点，分别是，的中点，
，，
，
△△，
，
，
，
，
又，
△△，
，，
，，
，
，
故答案为：．
19．（2024 包头）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ．
【答案】．
【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形
【解析】如图，连接交于点．
四边形是菱形，
，，，
，都是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
20．（2024 青岛）如图，菱形中，，面积为60，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则 ．
【答案】．
【考点】菱形的性质
【解析】
解：四边形为菱形，
，，，，
，
，
，
，
，
（负值已舍去），
，
，
，
，（舍去），
，，
，
故答案为：．
21．（2024 淄博）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点，点在延长线上，与相交于点．若，，则菱形的面积为 96 ．
【答案】96．
【考点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】作交于点，则△△，
四边形是边长为10的菱形，对角线，相交于点，
，，，，
，，
，
，，
△△，
，
，
，，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：96．
22．（2024 广西）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为 ．
【答案】．
【考点】菱形的判定与性质
【解析】如图，过点作于点，于点，
，
两张纸条宽度均为，
四边形为平行四边形，且，
，
，
，
四边形为菱形，
在中，，，
，
四边形的周长为：．
故答案为：．
23．（2024 黑龙江）如图，在菱形中，对角线，相交于点，请添加一个条件 （答案不唯一） ，使得菱形为正方形．
【答案】（答案不唯一）．
【考点】正方形的判定；菱形的性质
【解析】添加，
四边形是菱形，，
菱形为正方形．
故答案为：（答案不唯一）．
24．（2024 福建）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】证明：四边形是菱形，
，．
在和 中，
，
．
25．（2024 济南）如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为．求证：．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】证明：四边形是菱形，
，
，
，
在与中，
，
，
，
．
26．（2024 广安）如图，菱形中，点，分别是，边上的点，，求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】证明：四边形是菱形
，，
，
，
，
在和 中，
，
，
，
．
27．（2024 宿迁）如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接，则四边形是菱形；
乙：若连接，则是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
【考点】菱形的判定与性质；梯形；平行四边形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】证明：甲：连接，
是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
乙：连接，
，
，，
，
，
，
，
是直角三角形．
28．（2024 扬州）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线、所夹锐角的度数．
【考点】含30度角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】（1）四边形是菱形，理由如下：如图作，垂足为，，垂足为，
两个纸条为矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，且，
，
四边形是菱形．
（2）如图，作，垂足为，
，且，
，
，
在中，，
．
29．（2024 哈尔滨）四边形的对角线，相交于点，，，．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，，于点，交于点，连接，点在上，连接交于点，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）．
【考点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】（1）证明：，
，
在△和△中，
，
△△，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：与线段相等的线段有：，，，．理由：
由（1）知：四边形是菱形，
，，
，
，
△和△为等边三角形，
，
，
即为的垂直平分线，
．
同理：，
．
△为等边三角形，，
，
，
，
，
．
△和△为等边三角形，
，
，
，
，，
，
△为等腰直角三角形，
，
．
二．矩形的判定与性质（共24小题）
30．（2024 成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】矩形的性质
【解析】四边形是矩形，
，，，，，
，不一定成立，，一定成立，一定不成立，
故选．
31．（2024 辽宁）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】矩形的性质
【解析】证明：是等边三角形，
，
四边形是矩形，
，
．
故选．
32．（2024 甘肃）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】四边形为矩形，对角线，相交于点，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
故选．
33．（2024 南通）如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质；矩形的性质
【解析】延长与直线交于点，
，，
．
四边形是矩形，
，
，
．
故选．
34．（2024 东营）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点，，，下列条件中，不能证明△△的是
A．为矩形两条对角线的交点
B．
C．
D．
【答案】
【考点】平行线的性质；全等三角形的判定；矩形的性质
【解析】四边形是矩形，
，，
，，
、为矩形两条对角线的交点，
，
在△和△中，
，
△△，故不符合题意；
、在△和△中，
，
△△，故不符合题意；
、，
，
即，
在△和△中，
，
△△，故不符合题意；
、，
，不能判定△△，故符合题意；
故选．
35．（2024 长春）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】多边形内角与外角；矩形的性质
【解析】，
故选．
36．（2024 吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（2，4） D．（4，2）
【考点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转．
【答案】C
【解析】∵点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
∵四边形ABCO是矩形，
∴BC＝OA＝4，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，
∴OC′＝OC＝2，B′C′＝BC＝4，
∴点B′的坐标为（2，4）．
故选C．
37．（2024 河北）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质
【解析】设，，，
四边形是矩形，
，，
，，，
，而，
该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点；
故选．
38．（2024 包头）如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接．若，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】解直角三角形；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】过作于，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
和是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故选．
39．（2024 苏州）如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为
A． B． C．2 D．1
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；圆的性质
【解析】连接，交于，
四边形是矩形，
，，
，，
，
动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动，
，
，
，
又，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动，
为直径时，有最大值为1，
故选．
40．（2024 泸州）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】四边形是平行四边形，
当，平行四边形是矩形，
选项可以判定为矩形，
故选项不符合题意；
四边形是平行四边形，
，
，
当时，则，此时为矩形，
故选项可以判定为矩形，
故选项不符合题意；
四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是矩形，
选项可以判定为矩形，
故选项不符合题意；
四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形，
选项不能判定为矩形，
故选项符合题意．
故选．
41．（2024 绥化）在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是 或或 ．
【答案】或或．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】如图1，过点作于点，
四边形是矩形，
，，，，
，，
由勾股定理得，
，
，，
，
，
，
；
如图2，过点作于点，
，，
，
，，
，
，
；
如图3，过点作的延长线于点，
，
，
，
，
，
；
如图4，过点作的延长线于点，
，
，
，
，
，，
，
，
；
综上，点到矩形对角线所在直线的距离是或或，
故答案为：或或．
42．（2024 巴中）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为 ．
【答案】．
【考点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形
【解析】如图，过点作，垂足为，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，即，
解得：，
，即，
解得：，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：．
43．（2024 常州）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、于点、．若，，则 ．
【答案】．
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形
【解析】连接，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
44．（2024 牡丹江）矩形的面积是90，对角线，交于点，点是边的三等分点，连接，点是的中点，，连接，则的值为 13或 ．
【答案】13或．
【考点】勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质
【解析】当时，如图，
矩形，
点是的中点，
点是的中点，
，，
点是边的三等分点，
，，
矩形的面积是90，
，
，
，
；
当时，如图2，
矩形，
点是的中点，
点是的中点，
，，
点是边的三等分点，
，，
矩形的面积是90，
，
，
，
；
故答案为：13或．
45．（2024 德阳）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是 2
【答案】2．
【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】如图，作，中点为，，连接，，连接，，过作交的延长线于点，延长，与交于点．
设，，
是以为底的等腰三角形，
在上，
到的距离即为，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
46．（2024 哈尔滨）如图，矩形的对角线，相交于点，延长至点，连接，，点为的中点，连接交于点，若，，则的长为 ．
【答案】．
【考点】矩形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【解析】连接，设，
在矩形中，，
则，，
是中点，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，，
，
，
．
47．（2024 陕西）如图，四边形是矩形，点和点在边上，且，求证：．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】证明：四边形为矩形，
，，
，
．
即：，
在和中，
，
，
．
48．（2024 淮安）已知：如图，在矩形中，点、在上，．求证：△△．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定
【解析】证明：四边形是矩形，
，，
，
在△和△中，
，
△△．
49．（2024 无锡）如图，在矩形中，是的中点，连接，．求证：
（1）；
（2）．
【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】（1）证明：四边形是矩形，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
（2）证明：，
，
．
50．（2024 长春）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形．
【考点】矩形的判定
【解析】证明：
是边的中点，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．
51．（2024 兰州）如图，在中，，是的中点，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【考点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质
【解析】（1）证明：在中，，是的中点，
，即，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：在中，，是的中点，，
，
由（1）可知：四边形是矩形，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
由三角形的面积公式得：，
．
52．（2024 贵州）如图，四边形的对角线与相交于点，，，有下列条件：
①，②．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
【考点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】（1）选择①，证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
选择②，证明：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
四边形的面积．
53．（2024 青岛）如图，在四边形中，对角线与相交于点，，于点，于点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；解直角三角形；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】（1）证明：，
，
，
于点，于点，
，
，
△△，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：当等于30度时，四边形是矩形，理由如下：
，，
，
△是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形，
，
．
三．正方形的判定与性质（共18小题）
54．（2024 陕西）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，，则的长为
A．2 B．3 C． D．
【答案】
【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】由正方形和正方形，，，
得，
得，
得，
由，
得．
故选．
55．（2024 青岛）如图，将正方形先向右平移，使点与原点重合，再将所得正方形绕原点顺时针方向旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】坐标与图形变化旋转；坐标与图形变化平移；正方形的性质
【解析】由正方形先向右平移，使点与原点重合，
得，
由再将所得正方形绕原点顺时针方向旋转，
得．
故选．
56．（2024 重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点．若，则的长度为
A．2 B． C． D．
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】四边形是正方形，
，，
在△和△中，
，
△△，
；
平分，
，
在△和△中，
，
△△，
；
四边形是正方形，
，，
设，则，，，
在△中，根据勾股定理，得，即，
解得．
故选．
57．（2024 山东）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】
【考点】正方形的性质；多边形内角与外角
【解析】四边形是正方形，
，
，
，
正边形的一个外角为，
的值为．
故选．
58．（2024 内蒙古）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点，是边上一点，是上一点，连接，．若与关于直线对称，则的周长是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】勾股定理；轴对称的性质；正方形的性质
【解析】正方形的边长是2，
，
与关于直线对称，
，，
，
的周长．
故选．
59．（2024 泸州）如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】
【考点】直角三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【解析】四边形是正方形，
，，
又，
△△，
，
，
点是的中点，
，
如图所示，在延长线上截取，连接，
，，，
△△，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，
，，
，
，
在△中，由勾股定理得．
的最小值为5，
故选．
60．（2024 黑龙江）如图，在正方形中，点在边上（不与点、重合），，交正方形外角的平分线于点，连接交于点，连接交于点，交于点，连接．则下列结论：
①；②点是的中点；③若点是的中点，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是
A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形
【解析】连接，如图，
四边形是正方形，，，，垂直平分，
，
平分，
，
，，
点、、、四点共圆，
，，
，故①正确，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，故②正确，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，故④正确，
，
若，则，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，故⑤错误，
如图，③若点是的中点，
设，即，
，
，
同理可证明，
， ，
，
，
，
在 中， ，故③正确，则正确的有：①②③④，
故选．
61．（2024 台湾）图1有、两种图案，其中经过上下翻转后与相同，且图案的外围是正方形，图2是将四个图以紧密且不重叠的方式排列成大正方形，图3是将两个图与两个图以紧密且不重叠的方式排列成大正方形．判断图2、图3是否为轴对称图形？
A．图2、图3皆是 B．图2、图3皆不是
C．图2是，图3不是 D．图2不是，图3是
【答案】
【考点】正方形的性质
【解析】观察可知，题图2的图形不是轴对称图形，
题图3的图形是轴对称图形，对称轴如图所示．
故选．
62．（2024 广西）如图，边长为5的正方形，，，，分别为各边中点．连接，，，，交点分别为，，，，那么四边形的面积为
A．1 B．2 C．5 D．10
【答案】
【考点】正方形的性质；中点四边形
【解析】，，，分别为△，△，△，△ 的中位线，
，，，分别为，，， 的中点，
易得，．四边形为正方形，
正方形的边长为5，则，，
由勾股定理得，，
由题意得△△，
，得
，
，，，分别为各边中点．
四边形的面积，
故选．
63．（2024 兰州）如图，四边形为正方形．△为等边三角形，于点，若，则 2 ．
【答案】2．
【考点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】△是等边三角形，
，，
四边形为正方形，
，
，
．
故答案为：2．
64．（2024 南通）如图，在△中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在△的边上，则的长为 ．
【答案】．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；解一元二次方程因式分解法；等腰直角三角形；正方形的性质
【解析】如图，过点作于点，
，，
△是等腰直角三角形，
，，
，
△是等腰直角三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
设，，
正方形的边长为，
，
，，
，，
将代入整理得：，
解得，
，
，
，
故答案为：．
65．（2024 呼和浩特）如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰，，平分交于点，交的延长线于点，连接．若，则 ．
【答案】．
【考点】角平分线的性质；正方形的性质；等腰三角形的性质
【解析】设，则，
，，
，，，
，
，
，
，
，
过点作于点，过点作于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
由射影定理得：，
，
故答案为：．
66．（2024 常州）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线、相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是 ．
【答案】．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】过点，分别作轴的垂线，，如图，
，
四边形是正方形，
，
，
△△，
，，
点的坐标是，
，，
点的坐标为：，
故答案为：．
67．（2024 北京）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ．
【答案】．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，，
同理可得，
又，
，
，即，
，
．
故答案为：．
68．（2024 吉林）如图，正方形的对角线，相交于点，点是的中点，点是上一点，连接．若，则的值为 ．
【答案】．
【考点】三角形中位线定理；正方形的性质
【解析】四边形是正方形，
，，
，
，
，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
即，
故答案为：．
69．（2024 福建）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 2 ．
【答案】2.
【考点】正方形的性质；中点四边形
【解析】连接、，
正方形的面积为4，
，，
、分别为边、的中点，
四边形是平行四边形，
，，
同理，，
，
，
四边形的面积是．
故答案为：2．
70．（2024 天津）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，，连接．
（Ⅰ）线段的长为 2 ；
（Ⅱ）若为的中点，则线段的长为 ．
【答案】；．
【考点】三角形中位线定理；正方形的性质
【解析】（Ⅰ）四边形是正方形，
，，
在△中，，
，
，
，
；
故答案为：2．
（Ⅱ）延长到点，使，连接，过作于，
为中点，为中点，
为△中位线，
，
在△中，，
，
，
，
，
在△中，，
，
．
故答案为：．
71．（2024 宜宾）如图，正方形的边长为1，、是边、上的动点．若，则的最小值为 ．
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】如图，延长到点，使．
四边形为正方形，
，，
，
又，，
△△，
，，
，
，
，即，
在△和△中，
，
△△，
．
设，，则，．
，
，，
在△中，由勾股定理得：，
即，
整理可得：，
，
，此时．
故：的最小值为
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专题22 菱形、矩形与正方形的判定与性质
一．菱形的判定与性质（共29小题）
1．（2024 绥化）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是
A． B．6 C． D．12
2．（2024 济宁）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接．若，则菱形的边长为
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2024 无锡）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为
A． B． C． D．
4．（2024 临夏州）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为
A． B．， C． D．
5．（2024 海南）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点顺时针旋转，点落在数轴上的点处，若点表示的数是3，则点表示的数是
A．1 B． C．0 D．
6．（2024 黑龙江）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为
A． B． C． D．
7．（2024 达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为
A．2 B． C． D．3
8．（2024 通辽）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是
A． B． C． D．
9．（2024 武汉）小美同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的大小是
A． B． C． D．
10．（2024 长沙）如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，，过点作于点．设，，则与之间的函数解析式为（不考虑自变量的取值范围）
A． B． C． D．
11．（2024 甘肃）如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，的长为
A．2 B．3 C． D．
12．（2024 泰安）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是
A．2 B． C． D．4
13．（2024 山西）在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
14．（2024 南通）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ．
15．（2024 甘孜州）如图，在菱形中，，则菱形的周长为 ．
16．（2024 广东）如图，菱形的面积为24，点是的中点，点是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（2024 上海）在菱形中，，则 ．
18．（2024 贵州）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ．
19．（2024 包头）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ．
20．（2024 青岛）如图，菱形中，，面积为60，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则 ．
21．（2024 淄博）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点，点在延长线上，与相交于点．若，，则菱形的面积为 ．
22．（2024 广西）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为 ．
23．（2024 黑龙江）如图，在菱形中，对角线，相交于点，请添加一个条件 ，使得菱形为正方形．
24．（2024 福建）如图，在菱形中，点，分别在边和上，且．求证：．
25．（2024 济南）如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为．求证：．
26．（2024 广安）如图，菱形中，点，分别是，边上的点，，求证：．
27．（2024 宿迁）如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接，则四边形是菱形；
乙：若连接，则是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
28．（2024 扬州）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线、所夹锐角的度数．
29．（2024 哈尔滨）四边形的对角线，相交于点，，，．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，，于点，交于点，连接，点在上，连接交于点，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）．
二．矩形的判定与性质（共24小题）
30．（2024 成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
31．（2024 辽宁）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为
A． B． C． D．
32．（2024 甘肃）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为
A．6 B．5 C．4 D．3
33．（2024 南通）如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为
A． B． C． D．
34．（2024 东营）如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点，，，下列条件中，不能证明△△的是
A．为矩形两条对角线的交点
B．
C．
D．
35．（2024 长春）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为
A． B． C． D．
36．（2024 吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（2，4） D．（4，2）
37．（2024 河北）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是
A．点 B．点 C．点 D．点
38．（2024 包头）如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接．若，，则的值为
A． B． C． D．
39．（2024 苏州）如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为
A． B． C．2 D．1
40．（2024 泸州）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是
A． B． C． D．
41．（2024 绥化）在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是 ．
42．（2024 巴中）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为 ．
43．（2024 常州）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、于点、．若，，则 ．
44．（2024 牡丹江）矩形的面积是90，对角线，交于点，点是边的三等分点，连接，点是的中点，，连接，则的值为 ．
45．（2024 德阳）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是
46．（2024 哈尔滨）如图，矩形的对角线，相交于点，延长至点，连接，，点为的中点，连接交于点，若，，则的长为 ．
47．（2024 陕西）如图，四边形是矩形，点和点在边上，且，求证：．
48．（2024 淮安）已知：如图，在矩形中，点、在上，．求证：△△．
49．（2024 无锡）如图，在矩形中，是的中点，连接，．求证：
（1）；
（2）．
50．（2024 长春）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形．
51．（2024 兰州）如图，在中，，是的中点，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
52．（2024 贵州）如图，四边形的对角线与相交于点，，，有下列条件：
①，②．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
53．（2024 青岛）如图，在四边形中，对角线与相交于点，，于点，于点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值．
三．正方形的判定与性质（共18小题）
54．（2024 陕西）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，，则的长为
A．2 B．3 C． D．
55．（2024 青岛）如图，将正方形先向右平移，使点与原点重合，再将所得正方形绕原点顺时针方向旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标是
A． B． C． D．
56．（2024 重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点．若，则的长度为
A．2 B． C． D．
57．（2024 山东）如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为
A．12 B．10 C．8 D．6
58．（2024 内蒙古）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点，是边上一点，是上一点，连接，．若与关于直线对称，则的周长是
A． B． C． D．
59．（2024 泸州）如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是
A．4 B．5 C．8 D．10
60．（2024 黑龙江）如图，在正方形中，点在边上（不与点、重合），，交正方形外角的平分线于点，连接交于点，连接交于点，交于点，连接．则下列结论：
①；②点是的中点；③若点是的中点，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是
A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
61．（2024 台湾）图1有、两种图案，其中经过上下翻转后与相同，且图案的外围是正方形，图2是将四个图以紧密且不重叠的方式排列成大正方形，图3是将两个图与两个图以紧密且不重叠的方式排列成大正方形．判断图2、图3是否为轴对称图形？
A．图2、图3皆是 B．图2、图3皆不是
C．图2是，图3不是 D．图2不是，图3是
62．（2024 广西）如图，边长为5的正方形，，，，分别为各边中点．连接，，，，交点分别为，，，，那么四边形的面积为
A．1 B．2 C．5 D．10
63．（2024 兰州）如图，四边形为正方形．△为等边三角形，于点，若，则 ．
64．（2024 南通）如图，在△中，，．正方形的边长为，它的顶点，，分别在△的边上，则的长为 ．
65．（2024 呼和浩特）如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰，，平分交于点，交的延长线于点，连接．若，则 ．
66．（2024 常州）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线、相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是 ．
67．（2024 北京）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ．
68．（2024 吉林）如图，正方形的对角线，相交于点，点是的中点，点是上一点，连接．若，则的值为 ．
69．（2024 福建）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．
70．（2024 天津）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，，连接．
（Ⅰ）线段的长为 ；
（Ⅱ）若为的中点，则线段的长为 ．
71．（2024 宜宾）如图，正方形的边长为1，、是边、上的动点．若，则的最小值为 ．
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