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二次函数(1)
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？
运动场上飞舞的跳绳
奥运赛场腾空的篮球
22.1.1 二次函数(1)
9（3）班 张小云
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为
问题1:
y=6x2①
交流展示
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
问题2:
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,接
与这点不相邻的各顶点,可以作 条对角线.
因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是同一条对角线,
所以多边形的对角线总数是_______
n
(n-3)
M
N
即
②式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有唯一的对应值,即d是n的函数。
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
问题3:
函数①②③有什么共同点
讨论：
y=6x2①
提示： 1、有几个 自变量？
2、自变量的最高次数是几次？
3、二次项系数有什么要求？
4、右边的函数式是整式还是分式？
定义：一般地，形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 ( ) (2)y=3x2 （ )
(3)y=3x3+2x2 ( ) (4)y=2x2-2x+1( )
(5)y=x-2+x ( ) (6)y=x2-x(1+x) ( )
不是
是
不是
不是
是
不是
反馈练习
2、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系
数、常数项
（1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2
3、指出下列函数y=ax +bx+c中的a、b、 c
（1） y=-3x2-x-1
（3） y=x(1+x)
（2） y=5x2-6
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1) +1 (2) y=x+
(3) s=3－2t (4) y=(x+3) －x
(5)y= －x (6) v=8π r
1
x
__
x
1
__
教师点拨
解:
y=3(x-1) +1
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1
即
y=3x2-6x+4
是二次函数.
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
3
-6
4
(2) y=x+
1
x
__
不是二次函数.
(3) s=3-2t 是二次函数.
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
-2
0
3
(4) y=(x+3) -x =x2+6x+9-x2
即
y=6x+9
不是二次函数.
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
8π
0
0
不是二次函数.
(5)y= -x
x
1
__
(6) v=8π r
是二次函数.
驶向胜利的彼岸
m2—2m-1=2 m+1 ≠0 ∴m=3
例2: m取何值时， 函数y= (m+1)x
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
1、一次函数y=kx+b (k≠ 0),
2、 正比例函 y=kx (k≠ 0),
3、 反比例函数y= (k≠ 0) ，
4、二次函数y=ax2+bx+c (a≠ 0)。
函数知多少？
例3、y=（m+3）x
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
m2-7
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 时是正比例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 时是反比例函数。
（３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
教师点拨
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
即
达标检测
3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的有 。
A y=ax2+bx+c B y=x2-4x+1
C y=x2 D y=2+ √x2+1
4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0
C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
B C
C
九马画山
在美丽的桂林有一处非常有名的景观叫“九马画山”，在一处石壁上的一些天然图案酷似各种形态的骏马。传说凡人只能找出两三匹马，谁要是找出其中的九匹马就能当“状元郎”。
横看成岭侧成峰，远近高低各不同
——变换角度分析问题
若函数y=x2m+n － 2xm-n+3是以x为自变量的二次函数，求m、n的值。
① ② ③ ④ ⑤
∵
2m+n=2
m-n=1
∴ m=1
n=0
∵
∴
2m+n=1
m-n=2
m=1
n=-1
∵
∴
2m+n=2
m-n=2
m=4/3
n=-2/3
∵
∴
2m+n=2
m-n=0
m=2/3
n=-4/3
∵
∴
2m+n=0
m-n=2
m=2/3
n=2/3
能力拓展
我对自己说---收获
我对同学说---提醒
我对老师说---困惑
归纳提升
课后作业：
1.P29 1、2、
2.预习二次函数的图象和性质
谢谢各位老师指导！
