(共24张PPT)
26.1.4二次函数y=ax2+bx+c
图象和性质
x
y
o
函数表达式 开口方向 增减性 对称轴 顶点坐标
a>0,开口向上;
a<0,开口向下.
a>0,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.;
a<0,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
一般地，抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 的 相同， 不同
2
2
形状
位置
y=ax
2
y=a(x-h) +k
2
上加下减
左加右减
如何画出 的图象呢
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 也能化成这样的形式吗
配方
y= — (x―6) +3
2
1
2
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
归纳
二次函数 y= —x －6x +21图象的画法：
(1)“化” ：化成顶点式 ；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3)“画”：①列表、描点、连线。
2
1
2
先画出二次函数y ＝1/2 x2 ，再通过平移得到。
方法1：
方法2：
5
10
5
10
O
x
y
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
用配方法求二次函数y=ax +bx+c的对称轴和顶点坐标．
函数y=ax2+bx+c的顶点式
对称轴：
顶点坐标：
你学会了吗？
研究二次函数y=ax2+bx+c的图象，关键是找到对称轴和顶点坐标。通常利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h) +k的形式，然后确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点。
练习：
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
1.
2.
y=3x2+2x
例1：指出抛物线:
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。
①y=2x2-5x+3
③y=(x-3)(x+2)
②y=－ x2+4x-9
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
请画出草图:
3
－9
－6
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向：
a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
⑵ a，b决定抛物线对称轴的位置:
(对称轴是直线x = －— )
① a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧；
② b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴；
③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
2a
b
【左同右异】
⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置：
① c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方；
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ ， ）。
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ — 时,y有最大(最小)值 y=
b
2a
______________________
4a
4ac－b
2
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在 （ ）
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上 D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是 （ ）
A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
C
B
A
练习
6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 ( )
7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ ）
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
-3
-3
-3
-3
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
C
C
12、已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2 +bx－4
的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴
是直线x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式.
11、当m=_____时，抛物线y=mx2 +2(m+2)x+m+3的
对称轴是y轴；
当m=_____时，图象与y轴交点的纵坐标是1；
当m=_____时，函数的最小值是－2.
13.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点在第二象限
且开口向下（要求用一般式表示）
例.用总长为60m的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l为多少时，场地的面积S最大？
心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出
概念所用的时间x(分钟)之间满足函数关系：
y=－0.1x2 +2.6x+43(0≤x≤30)，y值越大表示接受
能力越强.
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？
x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10 分钟时，学生的接受能力是多少？
第 几分钟时，学生的接受能力最强？
学习回顾：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0)
y=a(x-h)2(a>0)
y=a(x-h)2 +k(a>0)
y= ax2 +bx+c(a>0)
填写表格：
B
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的
顶点都在
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上 D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是
4 B. -1 C. 3 D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x
轴的一个交点为(1,0),则下列
各式中不成立的是( )
A.b2-4ac>0 B.abc>0
C.a+b+c=0 D.a-b+c<0
1
C
A
x
y
o
-1
B
( )
（ ）
5.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是 （ ）
A.b2-4ac>0 B. <0
C.a+b+c=0 D. >0
1
x
y
o
-1
6.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ ）
A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18
B
B
-
2a
b
4a
4ac-b2
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列各式中是正数的有（ ）
a ② b ③ c
a+b+c ⑤ a-b+c
⑥ 4a+b ⑦ 2a+b
B
y
-1
.
.
.
1
2
x
y
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
8.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
