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22.1.3 二次函数y=a(x h)2+k的图象和性质
第1课时
1.会画y=ax2+k，y=a(x-h)2的图象；
2.了解y=ax2+k，y=a(x-h)2的图象与y=ax2的关系，能结合图象理解二次函数的性质.
二次函数y=ax2的图象是什么形状呢？什么确定y=ax2的性质？通常怎样画一个函数的图象？
我们来画最简单的二次函数y=x2的图象.
还记得如何用
描点法画一个
函数的图象吗？
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
…
9
4
1
0
1
4
9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y=x2
O
在同一直角坐标系中，画出二次函数
y=x2 ,
y=x2+1,
y=x2-1的图象.
【解析】列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=x2+1 … …
y=x2-1 … …
10 5 2 1 2 5 10
8 3 0 -1 0 3 8
y=x2+1
10
8
6
4
2
-2
-5
5
x
y
y=x2-1
y=x2
O
描点，连线
（1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点 各是什么？
（2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系？
（3）它们的位置是由什么决定的？
解析：(1)它们的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点分别是（0，1）（0，-1）.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2 向上 x=0 （０,０）
y=x2+1 向上 x=0 (0，1)
y=x2-1 向上 x=0 (0，-1)
(2)把抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物线
y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物
线y=x2-1.
(3)它们的位置是由+1、-1决定的.
把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？
向下平移3.4个单位呢？
y=2x2+5 y=2x2-3.4
思考
解析：二次项系数小于零时抛物线的开口向下；二次项系数的绝对值越大开口越小，反之越大.
当二次项系数小于零时和二次项系数的绝对值变化时，抛物线将发生怎样的变化？
一般地抛物线y=ax2+k有如下性质：
1.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，
2.对称轴是x=0（或y轴），
3.顶点坐标是（0，k），
4.|a|越大开口越小，反之开口越大.
1.把抛物线向上平移6个单位，会得到哪条
抛物线？向下平移7个单位呢？
2.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象:
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方
向、对称轴及顶点.你能说出抛物线 的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线 有什么关系？
y=-3x2+6
y=-3x2-7
画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
－2
－8
－4.5
－2
0
0
－2
－8
－4.5
－2
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
y=－ ﹙x+1﹚2
2
1
y=－ ﹙x-1﹚2
2
1
可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记作x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 的开口向_________，对称轴是________________，顶点是_________________．
下
x = 1
( 1 , 0 )
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
y=－ ﹙x+1﹚2
2
1
y=－ ﹙x-1﹚2
2
1
抛物线 与抛物线 有什么关系？
可以发现，把抛物线 向左平移1个单位，就得到抛物线 ；把抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线 ．
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
二次函数y = a﹙x-h﹚2的性质:
（1）开口方向：
当a＞0时，开口向上;
当a＜0时，开口向下；
（2）对称轴：
对称轴是直线x=h;
（3）顶点坐标：
顶点坐标是（h，0）.
1.说出下列二次 函数的开口方向、对称轴及顶点坐标
(1) y=5x2
(2) y=-3x2 +2
(3) y=8x2+6
(4) y= -x2-4
向上，y轴,（0, 0)
向下，y轴,（0, 2)
向上，y轴,（0, 6)
向下，y轴,（0, - 4)
2.说出下列二次函数的开口方向、对称轴
及顶点坐标
(1) y=2(x+3)2
(2) y=-3(x-1)2
(3) y=5(x+2)2
(4) y=-(x-6)2
(5) y=7(x-8)2
向上, x=-3,(-3,0)
向下, x=1,(1,0)
向上, x=-2,(-2,0)
向下, x=6,(6,0)
向上, x=8,(8,0)
3.抛物线y=-3(x+2)2开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为________.
4.抛物线y=3x2+0.5 可以看成由抛物线 向 平移 个单位得到的.
5.写出一个开口向上，对称轴为x=-2，并且与y轴交于点（0，8）的抛物线解析式____________.
下
x=-2
(-2,0)
y=3x2
上
0.5
y=2(x+2)2
(1)抛物线y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象上下平移得到，
当 k＞0时,向上平移，当 k＜0时,向下平移，均平移︱k︱
个单位.
(2)抛物线 y=ax2+k 的性质：
①当a＞0时,开口向上,当a＜0时,开口向下;
②对称轴:y轴, 即直线 x=0;
③顶点坐标 (0,k)；
④增减性；
⑤最值；图象位置.
