22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习（含解析）

22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线y=x2－2x－3与y轴的交点的纵坐标为（ ）.
A．－3 B．－1 C．1 D．3
2．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
0.06 0.18
A． B．
C． D．
3．如图，直线与抛物线交于两点，则关于x的不等式的解集为（　　）

A．或 B． C． D．
4．如图是抛物线y=ax2+bx+c的大致图象，则一元二次方程ax2+bx+c=0 （　　）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
5．设一元二次方程的两根分别为，且，则
满足（ ）
A． B． C． D．且
6．如图，已知抛物线的部分图像如图所示，则下列结论：
①；②关于x的一元二次方程的根是；③；④y的最大值．
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若二次函数的图象经过点（﹣1，0），则方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点(x1，0)与(x2，0)，其中x1＜x2，方程ax2＋bx＋c－a＝0的两根为m，n(m＜n)，则下列判断正确的是(　　)
A．m＜n＜x1＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．x1＋x2＞m＋n D．b2－4ac≥0
二、填空题
9．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是 ．
10．小王同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图像，请根据图像判断，当方程有两个实数根时，常数k满足的条件是 ．
11．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则不等式ax2＜bx+c的解集是 .
三、解答题
12．已知及的图象如图所示

(1)当______时，；
(2)当______时，；
(3)当______时，．
13．已知抛物线与轴交于两点， ，且，求k的值．
14．（1）解方程：
（2）已知抛物线的对称轴为直线，求抛物线的解析式并写出抛物线与轴的交点坐标．
15．已知：二次函数中的x和y满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 0 m 8 …
（1）可求得m的值为__________；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）当时，则y的取值范围为____________________．
16．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)求二次函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集______；
(3)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
17．如图，直线y=-x-2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点C（m，–）在抛物线上，求m的值．
（3）根据图象直接写出一次函数值大于二次函数值时x 的取值范围．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【详解】抛物线与y轴交点的横坐标为0，
即当x=0时，y=﹣3．
故选A．
2．C
【分析】本题考查估算一元二次方程的根，根据表格得到当时，，当时，，即可得到在时，存在一个的值，使，即可．
【详解】解：由表格可知：当时，，当时，，
∴当时，存在一个的值，使，
即：方程的一个解的范围是；
故选C．
3．B
【分析】利用函数图象，找出抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．数形结合思想的应用是解决问题的关键．
【详解】解：∵直线与抛物线交于两点，
∴当时，抛物线在直线上方，
∴关于x的不等式的解集为．
故选：B．
4．A
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，即ax2+bx+c=0时，有两个不相等的实数根，从而可解答．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题；关键是明确抛物线与x轴相交时函数值为0，即ax2+bx+c=0，从而转化为一元二次方程，根据交点个数，可以判断ax2+bx+c=0根的情况．
5．D
【详解】分析：先令m=0求出函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围．
解答：

解：令m=0，
则函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），
故此函数的图象为：
∵m＞0，
∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，
∴α＜1，β＞2．
故选D．
6．D
【分析】利用抛物线开口方向、对称轴以及图像与y轴交点位置可以判定①；根据抛物线的对称性可以得知与x轴的另一个交点坐标，于是可以判定②；利用的函数值与对称轴可以判定③④；于是可以得出答案．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，
故①正确；
抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
抛物线与x轴另一个交点为，
关于x的一元二次方程的根是；
故②正确；
当时，，
，
，
即，
即，
故③正确；
当时，函数有最大值，
，
故④正确；
故正确的结论有①②③④共4个；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解答此题的关键．
7．C
【详解】∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），
∴方程一定有一个解为：x=﹣1，
∵抛物线的对称轴为：直线x=1，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程的解为：，．
故选C．
8．B
【详解】解：当a＞0时，如图1，∵方程ax2＋bx＋c－a＝0的两根为m，n，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝a的交点在x轴上方，其横坐标分别为m，n，
∴m＜x1＜x2＜n；
当a＜0时，如图2，∵方程ax2＋bx＋c－a＝0的两根为m，n，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝a的交点在x轴下方，其横坐标分别为m，n，
∴m＜x1＜x2＜n，
故选B.
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键分情况正确地作出二次函数的图象，结合图象进行答题．
9．
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键．
【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方，
∴不等式的解集是：，
故答案为：
10．或
【分析】本题考查了二次函数与方程的关系，求得函数的顶点坐标，然后结合图像即可求解．
【详解】解：∵
∴顶点坐标为
∴与直线有3个交点，
观察图像，当方程有两个实数根时，常数k满足的条件是为或，
故答案为：或．
11．﹣2＜x＜1
【分析】直接利用函数图象结合其交点坐标得出不等式ax2＜bx+c的解集即可；
【详解】解：如图所示：
∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，
∴不等式ax2＜bx+c的解集，即一次函数在二次函数图象上方时，得出x的取值范围为：﹣2＜x＜1.
故答案为：﹣2＜x＜1.
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式（组），掌握二次函数的性质和不等式的解是解题的关键.
12．(1)和
(2)
(3)
【分析】（1）（2）根据抛物线与x轴的交点的横坐标结合图象，利用数形结合即可求解；
（3）根据抛物线与直线交点的横坐标结合图象，利用数形结合即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的交点的横坐标分别为和3，
∴当和时，；
故答案为：和；
（2）解：∵抛物线与x轴的交点的横坐标分别为和3，
∴当时，；
故答案为：；
（3）解：∵抛物线与直线的交点的横坐标分别为0和3，
∴当时，；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系．首先由一元二次方程的根的判别式求得k的取值范围；然后利用根与系数的关系得到，，，由此易求k的值．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，①
由题意知方程的两根为，．
由韦达定理得：，，
，
即：，
解得，；
当时，代入①满足；
当时，代入①不满足；
综上，．
14．（1），；（2），抛物线与轴的交点坐标是（7，0），（-1，0）．
【分析】（1）根据因式分解法解方程即可；
（2）根据对称轴解析式列式求出的值，从而得到抛物线解析式．
【详解】解：（1）
因式分解得：
∴，，
（2）抛物线的对称轴为，
，
解得，
故抛物线的解析式为，
当时，，
，
∴，，
∴抛物线与轴的交点坐标是（7，0），（-1，0）．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，抛物线的对称轴等知识点，熟悉相关性质是解题的关键
15．（1）3；（2）；（3）．
【分析】（1）先求得对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得；
（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式，利用待定系数法求函数解析式；
（3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）∵抛物线过点（1，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线，
∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3），
∴m＝3，
故答案为3；
（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式得
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣4x+3，
故答案为y＝﹣4x+3；
（3）由抛物线的性质得当x=2时，y有最小值-1，
由图表可知抛物线y＝a+bx+c过点（0，3），（3，0），
因此当0＜x＜3时，则y的取值范围为是﹣1≤y＜3．
【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
16．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）把抛物线解析式设为顶点式求解即可；
（2）根据不等式的解集即为二次函数图象在x轴上方时自变量的取值范围求解即可；
（3）根据方程有两个不相等的实数根即二次函数与直线有两个不同的交点进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，二次函数与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），顶点坐标为（2，-2），
∴可设二次函数解析式为，
把（1，0）代入解析式得：，解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知不等式的解集为或，
故答案为：或；
（3）解：由函数图象可知方程有两个不相等的实数根，即为二次函数与直线有两个不同的交点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，图象法解一元二次不等式，一元二次方程与二次函数综合等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
17．（1）抛物线解析式为 y = （x +2）2；（2）1或-5；（3）x＜﹣2 或 x＞0．
【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A、B点的坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）把C点坐标代入抛物线解析式得到关于m的一元二次方程，然后解方程可确定m的值；
（3）观察函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）当 y=0 时，﹣x﹣2=0，解得 x=﹣2，则 A（﹣2，0）， 当 x=0 时，y=﹣x﹣2=﹣2，则 B（0，﹣2），
设抛物线解析式为 y a（x 2）2 ，
把 B（0，﹣2）代入得 a（ 0 2）2﹣2 ，解得 a=
所以抛物线解析式为 y = （x +2）2
（2）把点 C（m，）代入y = （x +2）2得（m 2）2
解得 m1=1，m2=﹣5；
（3）x＜﹣2 或 x＞0．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系：函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围；利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
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