北师大版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考测试卷（含解析）

北师大版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数，3.14，0.21，中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．2，5，6 D．9，40，41
3．下列二次根式中：，，，，，属于最简二次根式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（　　）
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
5．估计的值在（ ）
A．0和1之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
7．若aA．-a B．a C．a D．
8．如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（ ）

A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对
9．下列各式中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题
11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．若x，y都是实数，且，则的立方根为 ．
13．比较下列各组数的大小： ； 5； ； ；
14．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
15．“”定义新运算：对于任意的有理数a和b，都有．例如：．当m为有理数时，则等于 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．阅读材料，并解决问题：
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，解：原式==（）．运用以上方法解决问题：
(1)将分母有理化；
(2)比较大小：（在横线上填“”、“”或“”）
①__________；
②__________（，且为整数）；
(3)化简：．
18．已知某正数的两个平方根分别是a＋3和2a－15，b的立方根是－2，求3a＋b的算术平方根．
19．（1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根．
（2）一个正数x的平方根分别是和，求的算术平方根．
20．如图，在中，点是边的中点，，，．
求证：．
21．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．
(1)直接写出三角形的周长______，面积______．
(2)直接写出边上的高______．
22．细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
；
；
；
（1）请用含（为正整数）的等式表示上述变化规律：______；
（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；
（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于的长度；
（4）若表示三角形面积，，，，计算出的值．
23．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x．
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的值；
(2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？
(3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】本题考查实数分类，涉及无理数定义，根据无理数的常见形式及定义即可得到答案，熟记实数的分类及无理数定义是解决问题的关键．
【详解】解：在，3.14，0.21，中，是无理数，
无理数的个数为1，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足，称为勾股数．想要判定是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，不能构成勾股数，故该选项不符合题意；
B、，不能构成勾股数，故该选项不符合题意；
C、，不能构成勾股数，故该选项不符合题意；
D、，能构成勾股数，故该选项符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：、是最简二次根式，
不是最简二次根式，
不是最简二次根式，
不是最简二次根式，
故选：B．
4．C
【详解】试题分析：当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；
当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，
则输出结果为8+5．
故选C．
考点：实数的运算．
5．A
【分析】由题意知，由，可得，，然后判断作答即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴估算在0和1之间，
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法．解题的关键在于合理的确定的取值范围．
6．D
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长.
【详解】根据题意可得图形：
AB=12cm，BC=9cm，
在Rt△ABC中：AC==15（cm），
则这只铅笔的长度大于15cm．
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键．
7．A
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么-a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．
【详解】∵有意义，
∴-a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴=-a．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数．
8．A
【分析】利用勾股定理可求出OB、OD的长，即可得出BD的长，再根据无理数的估算，估算出BD的长即可得答案．
【详解】∵AB=5，OA=4，AC=2，AB=CD=5，
∴OB==3，OD==，
∴BD=-3，
∵16＜21＜25，
∴4＜＜5，
∴1＜-3＜2，即BD的长小于2米，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用及无理数的估算，灵活运用勾股定理、熟练运用“夹逼法”估算无理数是解题关键．
9．B
【详解】根据二次根式的性质和立方根的性质，逐一判断为：=3，=-3，故A正确；
=4，=2，故B不正确；根据被开方数越大，结果越大，可知C正确；，可知D正确.
故选B.
10．A
【详解】用计算器对上述各数进行计算，部分计算结果列于下表中. (计算值精确到0.001)
原数 1 …
计算值 1.000 0.707 0.577 … 0.236 0.229 0.224
由计算结果可知，这20个数按题目中给出的顺序依次减小. 由于选出的数的和应小于1，所以应该从最小的数开始依次选取若干个数才能满足选取的数的个数最多的要求.
因为，
而，
所以选取的数最多是4个.
故本题应选A.
点睛：
本题综合考查了计算器的使用和规律的分析与探索. 本题解题的关键在于结合各个数的计算值总结出这一系列数的变化规律. 在解决这一类型题目的时候，要注意先分析规律再利用所得的规律和题意寻找突破口. 盲目尝试不仅费时费力而且容易出错.
11．/
【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
12．3
【分析】根据算术平方根的非负性，得，得到，继而得到，得到，计算即可．
本题考查了算术平方根的非负性，立方根，熟练掌握条件是解题的关键．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，
解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
13．
【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；；；．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
14．5
【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可．
【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，
则可知，，
∴，
即当三点共线时，的最小值为，
∵直线垂直于y轴，
∴轴，
∵，，
∴，
∴在中，
，
故答案为：5
15．101
【分析】根据“”的定义进行运算即可求解．
【详解】解：=== =101．
故答案为：101．
【点睛】本题考查了新定义运算，理解新定义的法则是解题关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据平方差公式将分子和分母都乘以，即可求出答案；
（2）先分母有理化，求出后进行判断即可；
（3）先分母有理化，最后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）①∵，
，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题考查分母有理化，平方差公式的应用，解的关键是能正确进行分母有理化．
18．2.
【详解】试题分析：根据一个数的平方根互为相反数，有a+3+2a-15=0，可求出a值，又b的立方根是-2，可求出b值，继而代入求出答案．
试题解析：∵一个数的平方根互为相反数，有a+3+2a-15=0，
解得：a=4，
又b的立方根是-2，
解得：b=-8，
∴3a+b=3×4+（-8）=4
∵4的算术平方根是2，
∴3a+b的算术平方根是2.
考点：1.立方根；2.平方根．
19．（1）（2）
【分析】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握相关定义列出方程是解题的关键．
（1）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于a、b、c的方程求值，再计算平方根即可；
（2）根据一个正数的平方根互为相反数列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，
解得，
∵c是的整数部分，
∴．
则，
∴的平方根是；
（2）由题意得，，
解得，
∴，
∴，
∴的算术平方根是．
20．见解析
【分析】在△ABD中根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，从而得到AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得到结论．
【详解】∵点D是BC边的中点，BC=12，
∴BD=6．
∵AD=8，AB=10，
∴在ABD中，，
∴ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
∵点D是BC边的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及线段垂直平分线的性质．求出∠ADB=90°是解答本题的关键．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答；
（2）利用面积法，进行计算即可解答．
【详解】（1）由题意得：
，
，
，
∴；
故周长为：；
的面积为：，
故答案为：，；
（2）设边上的高为h，
∵的面积为
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理和面积法，熟练掌握利用面积法构造方程求出未知元素是解题的关键．
22．（1）；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见解析；（4）．
【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得；
（2）根据等式和图形即可得；
（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，可得，同理可作出点，连接即为所求；
（4）先分别求出的值，再归纳总结出一般规律得出的值，从而可得的值，然后代入求和即可．
【详解】（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为
故答案为：；
（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方
故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；
（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，即可得，同理可作点，连接，则即为所求，如图所示：
（4）
归纳类推得：
当时，
则
．
【点睛】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
23．(1)
(2)5
(3)13
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【详解】（1）解：∵AB⊥BD，ED⊥BD
在中，
∴AC＝＝，
CE＝＝，
∴AC+CE＝；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，
∴DF＝AB＝2，
∴AE＝＝5，
∴AC+CE的最小值是5；
（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，
设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值．
过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝＝＝13，
即的的最小值为13．
【点睛】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
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