北师大版第二章一元二次方程测试卷（含解析）

北师大版 第二章 一元二次方程测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．，且 D． ，且
4．随着2023杭州亚运会吉祥物开幕，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”在电商平台上爆单，在某电商平台上9月24日的销量为5000个，9月25日和9月26日的总销量是30000个．若9月25日和26日的销量较前一天的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（ ）
A．或1 B．或0 C． D．1
6．若关于x的方程有实数根，则的值为（ ）
A．－4 B．2 C．－4或2 D．4或－2
7．方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（ ）
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
二、填空题
11．一元二次方程的根的情况是 ．
12．小刚在解关于的方程时，只抄对了，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的值比原方程的值小1．则原方程的根为 ．
13．为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？若设降价后的销售单价为x元，则可列方程为 ．
14．若方程 x2﹣7x+10=0 的两个根是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长是 ．
三、解答题
15．解下列方程
（1） （2）
（3）（x+3）（x－1）=12 （4）
16．已知关于的方程
①求证：方程有两个不相等的实数根．
②若方程的一个根是求另一个根及的值．
17．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是，设制作这面镜子的宽度是米，总费用是元，则．（注：总费用镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费）
(1)这块镜面玻璃的价格是每平方米________元，加工费________元；
(2)如果制作这面镜子共花了元，求这面镜子的长和宽．
18．某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，求平均每次下调的百分率．
19．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：
（1）第5个图案中黑色三角形的个数有　　个．
（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发．
（1）几秒钟后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）几秒钟后，P、Q间的距离等于5cm？
21．关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：
（1）两根都小于0；
（2）两根都大于1；
（3）方程一根大于1，一根小于1．
22．阅读材料，解答问题：
已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
已知实数，满足：，且，则______，______；
（2）间接应用：
已知实数，满足：，，且，求的值．
（3）拓展应用：
已知实数，满足：，且，求的取值范围．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．据此进行判断即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、整理后不含二次项，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解答此题的关键．先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选：A．
3．D
【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可．本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，，
解得：，且
故选：D．
4．D
【分析】直接利用已知分别求出9月25日和26日的销量进而得出等式求出方程．
【详解】解：设9月25日和26日的销量较前一天的平均增长率为x，
9月25日销量为，
9月26日的销量为，
由于9月25日和9月26日的总销量是30000个，
．
故选D．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到等量关系是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和跟的判别式，先根据根的情况得出判别式为非负数，求出m的范围，再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，根据，得出或，然后代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∵一元二次方程有两个实数根和，
∴，
∵，
∴或，
当时，，解得；
当，即时，，解得，
综上，，
故选：D．
6．B
【分析】设，则原方程可化为，解得的值，即可得到的值．
【详解】解：设，则原方程可化为，
解得：，，
当时，，即，△，方程无解，
当时，，即，△，方程有实数根，
的值为2，
故选：．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
所以，．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据，，代入求解即可得到答案；
【详解】解：方程的两个根，，
，，
，
，，
，，
，
解得：，，
，
，
解得：，故，
故选：C.
9．A
【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可；
③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．
【详解】①当时，若，则
∴或者，故①错误；
②等式化简后为
∴（舍去）或
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，即
∴，故②正确；
③若，，则两个方程相加得：，
∴
∴ ，故③错误；
④整理得：
∴
∵整数解
∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整数解共9对，故④错误；
综上所述，结论正确的有②；
故选：A．
【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．
10．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可；
【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得：
，
解得：x=5,
所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元
设每套驱蚊器降价a元，由题意得：
，
解得： , （舍去），
故选：A.
11．有两个不相等的实数根
【分析】求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到答案，此题考查了根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，准确求出一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：对于一元二次方程来说，
∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根
12．
【分析】先根据题意求出c的值，从而可得原方程，再利用直接开方法解方程即可得．
【详解】由题意得：是关于x的方程的一个根，
则，
解得，
所以原方程为，
即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了方程的根的定义、利用直接开方法解一元二次方程，依据方程的根的定义求出c的值是解题关键．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据总利润单个利润销售个数，根据题意找出销售一个电子产品的盈利和销售电子产品的个数，即可解题．
【详解】解：由题可知，销售一个电子产品的盈利为：元，
该电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个，
销售电子产品的个数为：个，
根据题意可列出方程：，
故答案为：．
14．12
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣7x+10＝0得到x1＝2，x2＝5，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为5，底边为2，然后计算三角形的周长．
【详解】x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，x﹣2＝0或x﹣5＝0，所以x1＝2，x2＝5，所以等腰三角形的腰为5，底边为2，则三角形周长为2+5+5＝12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．
15．（1）x1=，x2=；（2）y=1或y=；（3）x1=3，x2=-5；（4）x1=，x2=．
【详解】试题分析：（1）直接开平方法求解可得；
（2）因式分解法求解可得；
（3）整理成一般式后利用因式分解法可得；
（4）公式法求解可得．
解：（1）9（x-2）2=121，
（x-2）2=，
∴x-2=±，
∴x=2±，
则x1=，x2=-；
（2）由原方程可得3y（y-1）-2（y-1）=0，
（y-1）（3y-2）=0，
∴y-1=0或3y-2=0，
解得：y=1或y=；
（3）原方程整理可得：x2+2x-15=0，
因式分解可得：（x-3）（x+5）=0，
∴x-3=0或x+5=0，
解得：x1=3，x2=-5；
（4）2x2-5x-1=0
∵a=2，b=-5，c=-1，
∴b2-4ac=25+8=33＞0
∴，
则，．
考点： 因式分解法解一元二次方程； 直接开平方法解一元二次方程．
16．①详见解析；②，k=1
【分析】①求出，即可证出结论；
②设另一根为x1，根据根与系数的关系即可求出结论．
【详解】①解：=k2+8＞0
∴方程有两个不相等实数根
②设另一根为x1，由根与系数的关系：

∴，k=1
【点睛】此题考查的是判断一元二次方程根的情况和根与系数的关系，掌握与根的情况和根与系数的关系是解决此题的关键．
17．（1）120，60；（2）镜子的长和宽分别是1米和0.5米．
【详解】试题分析：（1）镜子的长与宽的比是 ，制作这面镜子的宽度是米，则长方形镜面玻璃的周长=；．（注：总费用镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费），所以这块镜面玻璃的价格是每平方米120；加工费是60
（2）解：当y=210时, 可得方程 ，
解得 （舍去）
答：镜子的长为1米，宽为0.5米
考点：一元二次方程
点评：本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是本题的关键
18．平均每次下调的百分率为10%．
【分析】设平均每次下调的百分率为x，则第一次下调后的售价为60（1﹣x），第二次下调后的售价为60（1﹣x）2，故可得60（1﹣x）2＝48.6，解出相应x即可.
【详解】设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得
60（1﹣x）2＝48.6
1﹣x＝±0.9
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去）
答：平均每次下调的百分率为10%．
【点睛】本题属于一元二次方程的典型应用题，理解题意，适当设未知数，合理列出解析式是本题的关键.
19．（1）15；（2）不能，理由见详解．
【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个；
（2）根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为，即可求解．
【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15，
故答案是：15；
（2）不能，理由如下：
第n个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=，
根据题意，得，
解得：不是整数，不合题意，
所以第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n个图形黑色三角的个数为是解题的关键．
20．（1）1秒；（2）2秒
【分析】（1）设时间为t，将BP、BQ用t表示，再根据的面积是4列方程求解；
（2）设时间为t，根据勾股定理用列方程求解．
【详解】解：（1）设时间为t，
，，，
∵，∴，
整理得，解得，，
当时，，不成立，舍去，
∴1秒后，的面积是4；
（2）设时间为t，
在中，，
列式，整理得，解得（舍去），，
∴2秒后，P、Q间的距离是5．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据几何性质设未知数列方程求解．
21．（1）-2＜a＜-1；（2）2＜a＜3；（3）a＞3
【分析】由关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，得出△=（-2a）2-4（a+2）＞0，解得a＜-1或a＞2．设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，利用根与系数的关系得到α+β=2a，αβ=a+2，再分别根据：
（1）由两根都小于0，得出α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，此求出a的取值范围；
（2）由两根都大于1，得出（α-1）（β-1）＞0，且对称轴，依此求出a的取值范围；
（3）由一根大于1，一根小于1，得出（α-1）（β-1）＜0，依此求出a的取值范围；
【详解】解：∵关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，
∴△=（-2a）2-4（a+2）＞0，
∴a＜-1或a＞2．
设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，
α+β=2a，αβ=a+2．
（1）∵两根都小于0，
∴α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，
解得：-2＜a＜0，
又，a＜0；
∵a＜-1或a＞2，
∴-2＜a＜-1；
（2）∵两根都大于1，
∴（α-1）（β-1）＞0，
∴αβ-（α+β）+1＞0，
∴a+2-2a＞-1，
∴a＜3，
又，a＞1；
又a＜-1或a＞2，
∴2＜a＜3；
（3））∵一根大于1，一根小于1，
∴（α-1）（β-1）＜0，
∴αβ-（α+β）+1＜0，
∴a+2-2a＜-1，
∴a＞3.
【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，属于基础题，关键是要熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=.
22．（1）5，1；（2）；（3）．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）根据根与系数的关系即可求解；
（2）先验证，再在两边同时除以，得是一元二次方程的两个不等实数根，求出，变形代入即可；
（3）先根据题意得到是一元二次方程的两个不等实数根，求出代入化简，又因为是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，；
解：（2）∵把代入得不合题意，
∴两边同时除以得
又∵，且，
∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根，
∴利用根与系数的关系可得出，
∴，
∴．
解：（3）将方程两边同时乘以2得，
又∵，且，
∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根，
∴利用根与系数的关系可得出
∵是方程的两个不等实数根，
∴．
答案第1页，共2页
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