(共34张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 如何获得最大利润问题
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 ，它的对称
轴是 ，顶点坐标是 . 当a>0时，抛
物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当
a<0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，
是 。
抛物线
上
小
下
大
高
低
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 .
抛物线
直线x=h
(h，k)
基础扫描
3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ，顶点
坐标是 。当x= 时，y的最 值是 。
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点
坐标是 。当x= 时，函数有最 值，是 。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点
坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。
直线x=3
(3 ，5)
3
小
5
直线x=-4
(-4 ，-1)
-4
大
-1
直线x=2
(2 ，1)
2
小
1
基础扫描
利润=？
1.利润=销售金额-成本
2.利润=单件利润×销售量
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？
6000
（20+x）
（300-10x）
(20+x)( 300-10x)
(20+x)( 300-10x) =6090
自主探究
分析：没调价之前商场一周的利润为 元；
设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润
可表示为 元，每周的销售量可表示为
件，一周的利润可表示为
元，要想获得6090元利润可列方程 。
已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？
若设定价每件x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示
为 件，一周的利润可表示
为 元，要想获得6090元利润可列方程 .
（x-40）
[300-10(x-60) ]
(x-40)[300-10(x-60)]
(x-40)[300-10(x-60)]=6090
问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
合作交流
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x ) +6000
=-10［(x-5)2-25 ］+6000
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250.
所以，定价为60+5=65元时，商场
能获得最大利润，最大利润为6250元
(0≤x≤30)
怎样确定x的取值范围
x≥0
300-10x≥0
可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.由公式可以求出顶点的横坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
也可以这样求极值
问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格 ，每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
3解:设每件降价a元时的总利润为y元.
y=(60-40-a)(300+20a)
=(20-a)(300+20a)
=-20a2+100a+6000
=-20（a2-5a-300）
=-20（a-2.5）2+6125 （0≤a≤20）
所以定价为60-2.5=57.5元时，商场能获得利润最大,最大利润为6125元.
怎样确定x的取值范围
x≥0
60-40-x≥0
问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，
每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期
可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
请同学们带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随 之发生了变化？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x ) +6000
=-10［(x-5)2-25 ］+6000
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250.
所以，定价为60+5=65元时，商场
能获得最大利润，最大利润为6250元
(0≤x≤30)
怎样确定x的取值范围
x≥0
300-10x≥0
2解:设每件降价a元时的总利润为y元.
y=(60-40-a)(300+20a)
=(20-a)(300+20a)
=-20a2+100a+6000
=-20（a2-5a-300）
=-20（a-2.5）2+6125 （0≤a≤20）
所以定价为60-2.5=57.5元时，商场能获得利润最大,最大利润为6125元.
怎样确定x的取值范围
a≥0
60-40-a≥0
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗
答:综合涨价，降价两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.
1.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。
若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？
一试身手
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x ) +6000
=-10［(x-5)2-25 ］+6000
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，不满足0≤x≤40，
当≤x≤4时，y随x的增大而增大，
所以，当x=4时，y有最大值，
最大值为6240.
所以，定价为60+4=64元时，商场
能获得最大利润，最大利润为6240元
(0≤x≤4)
怎样确定x的取值范围
x≥0
300-10x≥0
16≤20+x≤24
2解:设每件降价a元时的总利润为y元.
y=(60-40-a)(300+20a)
=(20-a)(300+20a)
=-20a2+100a+6000
=-20（a2-5a-300）
=-20（a-2.5）2+6125 （0≤a≤20）
所以定价为60-2.5=57.5元时，商场能获得利润最大,最大利润为6125元.
怎样确定x的取值范围
a≥0
60-40-a≥0
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗
答:综合涨价，降价两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.
2解:设每件降价a元时的总利润为y元.
y=(60-40-a)(300+20a)
=(20-a)(300+20a)
=-20a2+100a+6000
=-20（a2-5a-300）
=-20（a-2.5）2+6125 （0≤a≤20）
所以定价为60-2.5=57.5元时，商场能获得利润最大,最大利润为6125元.
怎样确定x的取值范围
a≥0
60-40-a≥0
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗
答:综合涨价，降价两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.
2解:设每件降价a元时的总利润为y元.
y=(60-40-a)(300+20a)
=(20-a)(300+20a)
=-20a2+100a+6000
=-20（a2-5a-300）
=-20（a-2.5）2+6125 （0≤a≤4）
所以定价为60-2.5=57.5元时，商场能获得利润最大,最大利润为6125元.
怎样确定x的取值范围
a≥0
16≤20-a≤24
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗
答:综合涨价，降价两种情况，定价为64元时可获得最大利润为6240元.
2:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
解：
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
(2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米）
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∵x=3不满足4≤x<6，又∵a=-4<0,∴抛物线开口向下，在对称轴x=3右侧，y随x的增大而减小
∴当x取最小值4m时，S最大值＝32 平方米
1．（2010·包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
2.某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个. (1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，这种篮球每月的销售量是 个(用x的代数式表示) (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润
如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,
此时篮球的售价应定为多少元
（x+10）
（500 10x）
8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元.
（1）列出二次函数的解析式，
（2）并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）计算-b/2a的值，并判断是否满足自变量的取值范围，如果满足自变量的取值范围，那么，函数最大（或小）值就是相应的y值
解决这类题目的一般步骤
（2010·荆门中考）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.
（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）
解析：
（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）,
y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ）
（2）y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ）
配方得y=－100（x－3）2+6400
当x=3时，y的最大值是6400元.
即降价为3元时，利润最大.
所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
【解析】(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有:
0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50.
答：一次至少买50只，才能以最低价购买
(2)
（说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可）
(3)将 配方得 ，所以店主
一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元.
（也可用公式法求得）
4.（2011·菏泽中考）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠 ；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20-10)=1(元),因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元.
(1).求一次至少买多少只，才能以最低价购买？
(2).写出该专卖店当一次销售x(只)时，所获利润y(元)与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？
5.（2010 安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：
（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？
（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入=日销售额-日捕捞成本） 试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？
解：（1）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少10kg； （2）由题意，得
（3）∵-2＜0，y=-2x2+40x+14250=-2（x-10）2+14450， 又∵1≤x≤20且x为整数， ∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大； 当10≤x≤20时，y随x的增大而减小； 当x=10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450．
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则
y=(x+30-20)(400-20x)
=-20x2+200x+4000
=-20(x-5)2+4500
∴当x=5时，y最大 =4500
答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
我来当老板
牛刀小试
2.(09中考)某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y件．
(1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围)
(2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
中考链接
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题的数学模型，能指导我们解决生活中的实际问题，同学们，认真学习数学吧，因为数学来源于生活，更能优化我们的生活。
