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中考规律探究题的解题方法
（第一课时）
------崇贤中学 邱林辉
练：(2013 年浙江湖州)如图Z2-1将连续正整数按以下规律排列，则位于第 7 行第 7 列的数 x 是_____．
解析：观察规律，得
第一行第一列的数是：1；
第二行第二列的数是：5＝1＋4；
第三行第三列的数是：13＝1＋4＋8；
第四行第四列的数是：25＝1＋4＋8＋12；
第五行第五列的数是：41 = 1 + 4 +8 + 12 + 16;
……
第 n 行第 n 列的数是：1＋4＋8＋12＋…＋4(n－1)
＝1＋4[1＋2＋3＋…＋(n－1)]
＝1＋2n(n－1)．
∴第七行第七列的数是：1＋2×7×(7－1)＝85.
答案：85
规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”“计算规律”“图形规律”与“动态规律”等题型．
1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
2．数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．
3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．
4．数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．
解题方法
规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．
例1：探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，
35=243，36=729……，那么32009的个位数
字是_____。
分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果。
1次方---3， 2次方---9， 3次方---7， 4次方---1
5次方---3， 6次方---9， 7次方---7， 8次方---1
.......................
2009=4×502+1
答案：3
练习：观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是 _____。
分析：1次方---7， 2次方---9, 3次方---3, 4次方---1，
5次方---1, 6次方---9, 7次方---3， 8次方---1，
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100=4×25
结果：7100的个位数字是1
例2：观察下列等式：①1×1/2=1-1/2 ②2×2/3=2-2/3 ③3×3/4=3-3/4④4×4/5=4-4/5……猜想第n个等式为 （用含n的式子表示）__________
分析：将等式竖排：
①1×1/2=1-1/2 观察相应位置上变化的数字与序列号
②2×2/3=2- 2/3 的对应关系（注意分清正整数的奇偶）
③3×3/4=3- 3/4
④4×4/5=4- 4/5
易观察出结果为：n×n/(n+1)=n-n/(n+1)
练习：下列一组按规律排列的数：1，2，4，8，16……第 2010个数是______。
分析：第1个数：1=20
第2个数：2=21
第3个数：4=22
第4个数：8=23
第5个数：16=24
第6个数：32=25
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第n个数：2n-1
第2010个数是22009
例3、将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形， 再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：
所剪次数 1 2 3 4 … n
正三角形个数 4 7 10 13 … an
则an= __________（用含n的代数式表示）
分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）
正三角形个数：4、7、10、13
第一次求差 ： 3 3 3
第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b
代入（1、4）（2、7）解之得：
y=3x+1
∴an=3n+1
数学小知识
1、一般地，常用字母n为正整数，从1开始。
2、在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1… 奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…
偶数…2n-2,2n,2n+2…
3、熟记常用的规律
正方形数：1、4、9、16...... n2
三角形数：1、3、6、10……
折痕数： 1、3、7、15……2n-1
正整数和：1+2+3+4+…+n=
分析：对这组数据做求差处理：原数1 2 5 10 17 26
第一次求差：1 3 5 7 9
第二次求差： 2 2 2 2
第二次求差结果相等，同二次函数y=ax2+bx+c 代入（1、1）（2、2）（3、5）
解之得y= x2-2x+2=（x-1）2+1
∴当=8时，y=50
例4（07.沈阳）有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 _______ 。
练习：小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神密排列的数：1，1，2，3，5，8……则这列数的第8个数是__
分析：第1个数：1
第2个数：1
第3个数：2
第4个数：3
第5个数：5
第6个数：8
第7个数：13
第8个数：21
答案：21
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5+8=13
8+13=21
练习：
1、观察下列等式：1×3=12+2×1；2×4=22+2×2； 3×5=32+2×3……请将你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来：_________。
2、已知：2+ = 22× ；3+ =32× ； 4+ =42× ；5+ = 52× …, 若 10+ =102× 符合前面式子的规律a+b=_________ 。
3、观察下列等式：9-1=8；16-4=12；25-9=16；36-16=20……设n（n≥1）表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为________。
祝大家生活快乐！
