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专题11.1 三角形的边（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形的相关概念
（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
（2）三角形的基本元素：
基本元素 三个顶点 三条边 三个内角
表示方法 点A、B、C必须用大写字母表示 方法1：线段AB、BC、AC. A，B，C.
方法2：顶点所对的边用a,b,c表示.
图示 三条边AB、BC、AC(或a、b、c)，三内角A B C 顶点：点A、B、C
（3）三角形的表示方法：顶点A、B、C的三角形，记作ABC，读作“三角形ABC”
特别指出：符号“”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示.
【例1】三角形是指( )
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【答案】C
【分析】根据三角形的定义解答即可．
解：因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选：C．
【知识点二】三角形的分类
等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角
等边三角形
三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边和腰相等的等腰三角形是等边三角形.
【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形．
【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰
【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为，即可列方程求解．
解：设三角形三边的长度比为，
则：，
解得：
∴
故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰
【知识点三】三角形三边关系
图示 文字语言 符号语言 理论依据
三角形两边之和大于第在边 a+b>c; b+c>a; a+c>b 两点之间，线段最短。
三角形两边之差小于第三边 a-b≮c; b-c≮a; a-c≮b
【例3】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】考查了三角形的三边关系，解题的关键是分别利用三边关系确定的取值范围，难度不大．
分别在两个三角形中利用三角形的三边关系得：、，从而得到，找到适合的值即可．
解：在中，，，
所以根据三角形的三边关系得：，
即：①，
在中，，，
所以根据三角形的三边关系得：，
即：②，
由①②得：，
只有11适合，
故选：D．
【知识点四】三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性.特别指出：稳定性是三角形所持有的特征，在生产生活中有着广泛的应用，四边形不具有稳定性.
【例4】（23-24八年级上·重庆渝中·期末）普通家用人字梯一般都会在两旁分别设计一根“拉杆”，这样设计是利用（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是三角形的稳定性，解题关键是熟练掌握三角形的稳定性原理．
根据三角形的稳定性即可求解．
解：在人字梯的中间设计的拉杆，
可从不稳定的四边形中构成一个稳定的三角形，
从而达到稳定人字梯的作用．
故选：．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】构成三角形的条件
【例1】（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且a，b满足．
（1）求c的取值范围；
（2）若第三边长c是整数，求c的值．
【答案】(1) ； (2)c的值为，，
【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解题的关键是利用非负性求出，的值．
（1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解；
（2）根据第三边长c是整数，求c的值即可．
（1）解：∵，
，，
解得，，
，，
∴．
（2）解：∵是整数，
的值为，，．
【举一反三】
【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最小的整数即可．
解：∵三条线段的长分别是6，m，8，它们能构成三角形，
∴，
∴，
∴整数m的最小值是3．
故选：B．
【变式2】（22-23八年级上·江西赣州·期中）给出三条线段： 、、；三边之比为； 、、； 、、．其中能组成三角形的有 （填序号）．
【答案】
【分析】本题考查了组成三角形的条件，①满足三角形三边关系，据此可判断是否符合题意；可设三边长度为、、其中，再利用三角形三边关系进行判断，同理判断、，掌握三角形三边关系是解题的关键．
解：因为，，能够组成三角形；
②设三边长度为、、其中，，能组成三角形；
③，不能组成三角形；
④，能组成三角形．
故答案为：．
【题型2】求等腰三角形边长或周长（分类讨论思想）
【例2】（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）在等腰中，三边长分别是a，b，c，并且满足，求的周长．
【答案】的周长是13或11
【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，等腰三角形的定义，先利用非负数的性质求解，的值，再分类讨论，根据三角形的三边关系可得答案．
解 ：∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
又∵a，b，c分别是等腰的边，
①当时，，符合三角形的三边关系，
∴的周长是：，
②当时，，符合三角形的三边关系，
∴的周长是：，
综上分析可知，的周长是13或11．
【举一反三】
【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，则x可能的值是（ ）
A．9 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【分析】由三边关系定理，得，求解即可.
解：腰长为x，则底为，
解得；
故选：C
【点拨】本题考查三角形三边关系定理，一元一次不等式求解；由三边关系定理构建不等式是解题的关键．
【变式2】一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 ．
【答案】16或17．
解：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分两种情况讨论：
（1）当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16；
（2）当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17．
∴这个等腰三角形的周长是16或17．
【题型3】利用三角形三边关系化简
【例3】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知，，是三边的长．
（1）若，，满足，试判断的形状；
（2）化简．
【答案】(1)等边三角形；(2)
【分析】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类；
（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可．
解：（1），
且，
，
为等边三角形；
（2），，是的三边长，
，，，
，，，
．
【举一反三】
【变式1】（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）已知三角形的三边长分别为，则化简的结果为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果．
解 ：由三角形三边关系定理得，
即．
∴．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形三边关系的运用，根据三角形三边关系定理列出不等式是解本题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简： ．
【答案】
【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系得到，，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边．
解 ：∵，，是的三边，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
【题型4】利用三角形三边关系进行证明
【例4】（22-23八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，点D是的边上任意一点，求证：．
【分析】分别在两个三角形中利用两边之和大于第三边的得到不等式，然后相加可得结论．
证明：在中，，
在中，，
∴，
即．
【点拨】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系得到不等关系．
【举一反三】
【变式1】（2023八年级·全国·专题练习）如图，已知点是内一点， 连接并延长交于点，求证：．
【分析】在中运用三角形三边关系可得，再根据线段的和差可得，可得：；同理可得：，最后运用等量代换即可证明结论．
证明：∵在中，可得，，
∴可得：．
∵在中，可得③，，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查三角形的三边关系，找准三角形并灵活运用三角形的三边关系是解答本题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内的任一点，求证：．
【分析】对于证明线段之间不等关系的题目，常常把线段转化为一个或多个三角形的边，然后利用三角形三边关系证明．
证明：如图，延长交于点D．
∵三角形两边的和大于第三边，
∴，①
，②
①+②，得，
即．
同理可得，，
∴，
即．
∴，，，
∴，
即．
∴．
【点拨】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
解：A、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、，能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点拨】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．
【例2】（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为
【答案】
【分析】根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可．
解：∵3，在数轴上从左到右依次排列，
∴，解得，
∵这三个数为边长能构成三角形，
∴，解得，
综上所述，的取值范围为，
故答案为：．
【点拨】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（21-22七年级下·江苏苏州·期末）阅读下列材料：
解方程组：
解：由①得
x﹣y＝1 ③，
将③代入②，得
4×1﹣y＝5，
解这个一元一次方程，得
y＝﹣1
从而求得．
这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题：
（1）解方程组：；
（2）在（1）的条件下，若x，y是△ABC两条边的长，且第三边的长是奇数，求△ABC的周长．
【答案】(1)； (2)16或18或20
【分析】（1）由第一个方程求出2x-3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
（2）根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，从而确定第三边的值，即可解答．
（1）解：
由①得：2x﹣3y＝2③，
将③代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入③得：x＝7，
则方程组的解为．
（2）解：∵△ABC两条边长是7和4，
∴第三边长小于11并且大于3，
∵第三边的长是奇数，
∴第三边长是5或7或9，
∴△ABC的周长是7+4+5＝16
或7+4+7＝18
或7+4+9＝20．
∴△ABC的周长为16或18或20．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组和三角形的三边关系，解决本题的关键是解二元一次方程组．
【例2】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）定义：三角形各边均为整数的三角形称为整边三角形，已知是整边三角形，三角形的三边长分别为a，b，c，且，当时，则符合条件的有 个．
【答案】
【分析】先确定的整数解，再根据三边关系，求解即可．
解：∵三角形的三边长分别为a，b，c，且，，
∴，
∴，即：，
∴的值为：，的值为，
当时，不存在；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴符合条件的有个；
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握两短边之和大于第三边时，三条线段能够组成三角形，是解题的关键．
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专题11.1 三角形的边（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形的相关概念
（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
（2）三角形的基本元素：
基本元素 三个顶点 三条边 三个内角
表示方法 点A、B、C必须用大写字母表示 方法1：线段AB、BC、AC. A，B，C.
方法2：顶点所对的边用a,b,c表示.
图示 三条边AB、BC、AC(或a、b、c)，三内角A B C 顶点：点A、B、C
（3）三角形的表示方法：顶点A、B、C的三角形，记作ABC，读作“三角形ABC”
特别指出：符号“”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示.
【例1】三角形是指( )
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【知识点二】三角形的分类
等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角
等边三角形
三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边和腰相等的等腰三角形是等边三角形.
【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形．
【知识点三】三角形三边关系
图示 文字语言 符号语言 理论依据
三角形两边之和大于第在边 a+b>c; b+c>a; a+c>b 两点之间，线段最短。
三角形两边之差小于第三边 a-b≮c; b-c≮a; a-c≮b
【例3】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【知识点四】三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性.特别指出：稳定性是三角形所持有的特征，在生产生活中有着广泛的应用，四边形不具有稳定性.
【例4】（23-24八年级上·重庆渝中·期末）普通家用人字梯一般都会在两旁分别设计一根“拉杆”，这样设计是利用（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】构成三角形的条件
【例1】（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且a，b满足．
（1）求c的取值范围；
（2）若第三边长c是整数，求c的值．
【举一反三】
【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【变式2】（22-23八年级上·江西赣州·期中）给出三条线段： 、、；三边之比为； 、、； 、、．其中能组成三角形的有 （填序号）．
【题型2】求等腰三角形边长或周长（分类讨论思想）
【例2】（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）在等腰中，三边长分别是a，b，c，并且满足，求的周长．
【举一反三】
【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，则x可能的值是（ ）
A．9 B．3 C．5 D．4
【变式2】一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 ．
【题型3】利用三角形三边关系化简
【例3】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知，，是三边的长．
（1）若，，满足，试判断的形状；
（2）化简．
【举一反三】
【变式1】（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）已知三角形的三边长分别为，则化简的结果为（ ）
A． B． C．4 D．
【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简： ．
【题型4】利用三角形三边关系进行证明
【例4】（22-23八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，点D是的边上任意一点，求证：．
【举一反三】
【变式1】（2023八年级·全国·专题练习）如图，已知点是内一点， 连接并延长交于点，求证：．
【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内的任一点，求证：．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【例2】（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为
2、拓展延伸
【例1】（21-22七年级下·江苏苏州·期末）阅读下列材料：
解方程组：
解：由①得
x﹣y＝1 ③，
将③代入②，得
4×1﹣y＝5，
解这个一元一次方程，得
y＝﹣1
从而求得．
这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题：
（1）解方程组：；
（2）在（1）的条件下，若x，y是△ABC两条边的长，且第三边的长是奇数，求△ABC的周长．
【例2】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）定义：三角形各边均为整数的三角形称为整边三角形，已知是整边三角形，三角形的三边长分别为a，b，c，且，当时，则符合条件的有 个．
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