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专题11.12 三角形中的几个重要几何模型（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【模型归纳】
【模型一】燕尾模型
如图：这样的图形称之为“燕尾模型”
结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C
【模型二】8字模型
如图：这样的图形称之为“8字模型”
结论：∠A+∠D=∠B+∠C
【模型三】三角形角平分线（内分分模型）
如图：这样的图形称之为“三角形双内角平分线模型”
条件：BI、CI为角平分线
结论：
【模型四】三角形角平分线（内外分模型）
如图：这样的图形称之为“三角形内外角平分线模型”
条件：BP、CP为角平分线
结论：
【模型五】三角形角平分线（外外分模型）
如图：这样的图形称之为“三角形双外角平分线模型”
条件：BP、CP为角平分线
结论：
【模型六】角平分线+平行线模型
条件：CP平分∠ACB, DE平行于BC
结论：ED=EC
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】燕尾模型
【例1】如图所示，已知四边形，求证．
【答案】见解析
【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；
方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论；
方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．
解：方法1如图所示，连接BC.
在中，，即.
在中，，
；
方法2如图所示，连接AD并延长.
是的外角，
.
同理，.
.
即.
方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.
是的外角，
.
是的外角，
.
.
【点拨】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．
【变式1】（2021九年级·全国·专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．
解：延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵
∴
同理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴,
故选：B．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．
【变式2】如图， ．
【答案】/180度
【分析】连接，根据三角形内角和定理得到，然后根据三角形内角和定理求解．
解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴
．
故答案为：．
【点拨】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．
【题型2】8字模型
【例2】如图，求的度数.
【答案】.
【分析】连接CD，将转化为四边形CDEF的内角和即可求出答案.
解：如图所示，连接CD.
由对顶三角形得，，
∴.
【点拨】本题考查了三角形、四边形的内角和定理、对顶角的性质等知识.将所求角的度数和转化为四边形内角和是解题的关键.
【变式1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
解：∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选D．
【点拨】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
【变式2】下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度．
【答案】 减少 10
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
【题型3】三角形的角平分线（内内分模型）
【例3】（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，在△ABC中，
（1）如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．
（2）如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．
b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．
【答案】(1)13cm (2)a、112.5°；b、90°＋x°
【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6 cm，再求出周长为13 cm．
（2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC．
解：（1）∵AB=4 cm，AC=3 cm
∴1＜BC＜7
∴BC=6 cm
∴三角形的周长为：
C△ABC=AB+AC+BC
=4+3+6
=13cm
（2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知：
∠ABC+∠ACB=180° ∠A=180° 45°=135°
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB
= (∠ABC+∠ACB)
=×135°
=67.5°
∴∠BPC=180° (∠PBC+∠PCB)
=180° 67.5°
=112.5°
b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知：
∠ABC+∠ACB=180° ∠A=180° x°
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB
= (∠ABC+∠ACB)
=×(180° x°)
=90° x°
∴∠BPC=180° (∠PBC+∠PCB)
=180° (90° x°)
=90°＋x°
【点拨】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想．
【变式1】如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：
①和都是等腰三角形
②；
③；
④若，则．
其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．
解：①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，
∴①选项正确，符合题意；
②∵DE=DF+FE，
∴DB=DF，EF=EC，
∴DE=DB+CE，
∴②选项正确，符合题意；
③根据题意不能得出BF＞CF，
∴④选项不正确，不符合题意；
④∵若∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，
∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，
∴∠CBF+∠BCF=×100°=50°，
∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，
∴④选项正确，符合题意；
故①②④正确．
故选C
【点拨】等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系，解题关键是逐个判断选项即可得出正确答案．
【变式2】如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
解：在中,
，
∵与的角平分线相交于点，
∴，
在中,
，
故答案为:.
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键.
【题型4】三角形的角平分线（内外分模型）
【例4】如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数
【答案】40°
【分析】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．
解：由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，
则有 ，
①-2×②可得∠A=2∠E，
∴∠E=∠A=40°．
【点拨】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
【变式1】如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：∵BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴∠A1BC+∠A1=(∠A+∠ABC)=∠A+∠ABC=∠A+∠A1BC，
∴∠A1=∠A；,
同理可得：∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，，∠An=∠An-1=，
∴∠A2013=.
故选D．
点拨：利用三角形外角的性质和三角形内角和定理结合角平分线的定义推导得到∠A1和∠A的关系是解这道题的关键，由此可推导出∠A2与∠A1的关系，进一步推广到∠An和∠An-1的关系就可找到规律求得∠A2013.
【变式2】如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=α．
∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，
根据规律推导，
∴，
故答案为．
【点拨】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．
【题型5】三角形的角平分线（外外分模型）
【例5】如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.
【答案】
【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．
解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G，
在中，
∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）
=180°-（∠EBC+∠BCF）
=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）
=180°-（180°-m°+180°-n°）；
=
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．
【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和，可得∠ABC+∠ACB，根据角的和差，可得∠DBC+∠BCE，根据角平分线的定义，可得∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和，可得答案．
解：如图：
，
由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-m，
由角的和差，得∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+m，
由∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，得
∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠BCE）=90°+m，
由三角形的内角和，得
∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-m．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义是解题关键．
【变式2】如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A＝60°，则∠P＝ °；
（2）若∠A＝40°，则∠P＝ °；
（3）若∠A＝100°，则∠P＝ °；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系 ．
【答案】（1）65；（2）45；（3）40； （4）∠P=90°-∠A
【分析】（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数；
（2）、（3）和（1）的解题步骤类似．
解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∴∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，
∴∠DBC+∠BCE=360°-140°=220°，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵∠A=100°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°，
∴∠DBC+∠BCE=360°-80°=280°，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，
∴，，
∴，
∴；
（4）∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴，
∵BP，CP分别为∠CBD与∠BCE的平分线，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：∠P=90°-∠A．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义．
【题型6】角平分线+平行线模型
【例6】（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，平分平分，过点作的平行线与分别相交于点．若．
（1）求的度数；
（2）求的周长．
【答案】(1) (2)14
【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线定义，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先利用三角形内角和定理及角平分线定义得出，再根据内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可证明，，进而求解即可．
（1）解：
，
平分，平分，
，
；
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
的周长．
【变式1】如图，△EFG 的三个顶点 E，G 和 F 分别在平行线 AB，CD 上，FH 平分∠EFG，交线段 EG 于 点 H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF 的大小为（ ）
A．105° B．75° C．90° D．95°
【答案】B
【分析】首先根据∠AEF=36°，∠BEG=57°，求出∠FEH的大小；然后根据AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根据FH平分∠EFG，求出∠EFH的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF的大小为多少即可．
解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°，
∴∠FEH=180°-36°-57°=87°；
∵AB∥CD，
∴∠EFG=∠AEF=36°，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH=∠EFG=×36°=18°，
∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=180°-87°-18°=75°．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．
【变式2】如图，的三个顶点，和分别在平行线，上，平分，交线段于点，若，，则的大小为 ．
【答案】75°．
【分析】首先根据∠AEF=36°，∠BEG=57°，求出∠FEH的大小；然后根据AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根据FH平分∠EFG，求出∠EFH的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF的大小为多少即可．
解：∵∠AEF=36°，∠BEG=57°
∴∠FEH=180°-∠AEF-∠BEG=87°
∵
∴∠EFG=∠AEF=36°
∵FH平分∠EFG
∴∠EFH=∠EFG=18°
∴∠EHF=180°-∠FEH-∠EFH=75°
故答案为：
【点拨】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得．
解：如图：
∵，，
∴设，，则，，
由三角形的外角的性质得：，，
∴，
如图：
同理可求：，
∴，
……，
∴，
即，
故答案为：．
【例2】（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【答案】B
【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．
解：连接AC并延长交EF于点M．
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
【例3】（2020·北京·中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为∠2＞∠3，
C选项为∠1=∠4+∠5，
D选项为∠2＞∠5．
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．
2、拓展延伸
【例1】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；
②如图3，平分，平分，若，求的度数；
③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)①；②；③
【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出；
（2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数．
解：（1）解：，理由如下：
如图，连接并延长．
根据外角的性质，可得，，
又∵，，
∴，
故答案为：；
（2）①由（1）可得，
∵，，
∴；
②由（1）可得，
∴，
∴，
∴；
③设，，
则，，
则，，
解得，
所以，
即的度数为．
【点拨】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【例2】如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
【答案】(1) (2) (3)∠A的度数是或或或
【分析】（1）在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形外角性质得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+A，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可
解：（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝55°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；
（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A，
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A；
（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠BC+2∠E，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，
即∠E＝A，
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）
＝90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，
综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．
【点拨】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．
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专题11.12 三角形中的几个重要几何模型（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【模型归纳】
【模型一】燕尾模型
如图：这样的图形称之为“燕尾模型”
结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C
【模型二】8字模型
如图：这样的图形称之为“8字模型”
结论：∠A+∠D=∠B+∠C
【模型三】三角形角平分线（内分分模型）
如图：这样的图形称之为“三角形双内角平分线模型”
条件：BI、CI为角平分线
结论：
【模型四】三角形角平分线（内外分模型）
如图：这样的图形称之为“三角形内外角平分线模型”
条件：BP、CP为角平分线
结论：
【模型五】三角形角平分线（外外分模型）
如图：这样的图形称之为“三角形双外角平分线模型”
条件：BP、CP为角平分线
结论：
【模型六】角平分线+平行线模型
条件：CP平分∠ACB, DE平行于BC
结论：ED=EC
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】燕尾模型
【例1】如图所示，已知四边形，求证．
【变式1】（2021九年级·全国·专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】如图， ．
【题型2】8字模型
【例2】如图，求的度数.
【变式1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【变式2】下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度．
【题型3】三角形的角平分线（内内分模型）
【例3】（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，在△ABC中，
（1）如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．
（2）如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．
b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．
【变式1】如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：
①和都是等腰三角形
②；
③；
④若，则．
其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为 ．
【题型4】三角形的角平分线（内外分模型）
【例4】如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数
【变式1】如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则 ．
【题型5】三角形的角平分线（外外分模型）
【例5】如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.
【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠A=m，则∠BOC =（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A＝60°，则∠P＝ °；
（2）若∠A＝40°，则∠P＝ °；
（3）若∠A＝100°，则∠P＝ °；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系 ．
【题型6】角平分线+平行线模型
【例6】（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，平分平分，过点作的平行线与分别相交于点．若．
（1）求的度数；
（2）求的周长．
【变式1】如图，△EFG 的三个顶点 E，G 和 F 分别在平行线 AB，CD 上，FH 平分∠EFG，交线段 EG 于 点 H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF 的大小为（ ）
A．105° B．75° C．90° D．95°
【变式2】如图，的三个顶点，和分别在平行线，上，平分，交线段于点，若，，则的大小为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度．
【例2】（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【例3】（2020·北京·中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
2、拓展延伸
【例1】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；
②如图3，平分，平分，若，求的度数；
③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．
【例2】如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
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