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专题11.7 多边形及其内角和（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】多边形及其相关概念
1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
2.多边形的相关概念
（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.
（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.
（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
特别提醒：①多边形的边数、顶点数及角的个数相等；②把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线.
【知识点二】正多边形
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等.
【知识点三】凸多边形与凹多边形
如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形；
而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形.
我们在学习中提到的多边形大都是凸多边形.
【知识点四】多边形内角和定理
n边形的内角和等于（n-2）×180°.特别地，正n边形每个内角的度数是.
【知识点五】多边形外角和定理
1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.
2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】由多边形内角和公式求度数
【例1】（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）求图中的x的值
(1)
(2)
【答案】(1)80； (2)110
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理：
（1）根据四边形内角和为360度列出方程求解即可；
（2）根据五边形内角和为列出方程求解即可．
（1）解：由题意得，，
解得；
（2）解：由题意得，，
解得．
【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）若多边形的边数增加1，则其内角和的度数（ ）
A．增加 B．为 C．不变 D．减少
【答案】A
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式（n为多边形的边数）成为解题的关键.
根据多边形的内角和公式（n为多边形的边数），然后进行判断解答.
解：设多边形的边数为n，则原多边形的内角和为，
边数增加1后的多边形的内角和为，
∴，
∴其内角和的度数增加．
故选A．
【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）凸七边形的内角和是 度．
【答案】900
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可．
解：七边形的内角和，
故答案为：900．
【题型2】由多边形内角和公式求边数
【例2】（23-24八年级上·江西赣州·期末）下面是正多边形M和N的对话：
求M和N的边数．
【答案】M和N的边数分别是4和6
【分析】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是正确解答的关键．
根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可；
解：设M的边数为，N的边数为，
由题意得：
解得：，
，，
M和N的边数分别是4和6．
【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期末）如果一个正多边形每个内角都为，那么该正多边形的边数是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
【答案】D
【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
解：∵正多边形的一个内角是，
∴它的外角是：，
．
即这个正多边形是九边形．
故选：D．
【变式2】一个正多边形的内角和是，则这个多边形的边数 ．
【答案】10
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式列式求解即可．
解：设这个多边形的边数是，
则，
解得．
故答案为：10．
【题型3】由多边形内角和与外角和度数求边数
【例3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．
【答案】这个多边形的边数为12．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得出方程，求出方程的解即可．
解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
，
解得：．
答：这个多边形的边数为12．
【变式】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若边形的内角和等于外角和的3倍，则边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及多边形的外角和；利用多边形的外角和是度，一个边形的内角和等于它外角和的倍，则内角和是，而边形的内角和是，则可得到方程，解方程即可．
解：根据题意列方程，得：
，
解得：，
故选：C．
【题型4】由多边形内、外角和公式求角度
【例4】（23-24八年级下·湖南永州·期中）一个正多边形的内角和是外角和的倍，求这个正多边形一个内角的度数．
【答案】
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设此多边形的边数为，根据题意得出，求出的值即可．
解：∵该正多边形的内角和等于外角和的倍，
设此多边形的边数为，则有：，
解得：，
内角的度数为．
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，是四边形的外角，且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和多边形内角和定理，掌握边形内角和定理是解题的关键．根据，得出，再求出，根据四边形的内角和定理解答即可．
解：，，
，
，
是四边形的外角，
，
，
，
．
故选：C
【变式2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在五边形中，分别是的外角，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】
此题主要考查了多边形的内角和，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和，平行线的性质是解决问题的关键．先根据多边形的内角和定理求出，再根据得，进而得，然后根据邻补角的定义的，，，由此可得的度数．
解：∵五边形的内角和为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
故答案为：．
【题型5】由多边形对角线数量求角度或对角线条数
【例5】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】
【规律发现】
（1）七边形的对角线条数为______．
（2）三边形的对角线条数可表示为，四边形对角线条数可表示为，五边形的对角线条数可表示为，…，n边形的对角线条数可表示为______．
(3)【规律应用】若一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数和对角线的条数．
【答案】(1)14 ；(2)
(3)这个多边形的边数为11，对角线的条数为44．
【分析】此题考查多边形对角线计算公式，多边形内角和公式，图形类规律探究，
（1）根据各图形分别求出对角线条数，由规律即可得到答案；
（2）利用（1）的计算结果即可得到规律；
（3）设多边形的边数为n，则列方程为，解得，再根据（2）求出对角线．
（1）三边形的对角线条数可表示为，
四边形对角线条数可表示为，
五边形对角线条数可表示为，
六边形对角线条数可表示为，
七边形对角线条数可表示为，
故答案为：14；
（2）三边形的对角线条数可表示为，
四边形对角线条数可表示为，
五边形对角线条数可表示为，
…
n边形的对角线条数可表示为，
故答案为：；
（3）设多边形的边数为n，则
，解得，
对角线为（条），
∴这个多边形的边数为11，对角线的条数为44．
【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则它的一个内角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了多边形的对角线，多边形内角和公式及正多边形的内角，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，求得多边形的边数，结合多边形内角和公式及正多边形的内角求解是解决问题的关键．
解：设正多边形边数为，由题意得：，
可得，
则内角和：，
∴它的一个内角度数为：，
故选：C．
【变式2】（2024·陕西咸阳·三模）已知某正多边形的每个外角均为，则该正多边形的对角线共有 条．
【答案】5
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数，进而求得多边形的对角线条数．本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
解：这个正多边形的边数：，
则对角线的条数是：．
故答案为：5．
【题型6】由多边形截角问题
【例6】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下题及解题过程．
如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？
如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为．
上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．
【答案】不正确，见解析，正确结论是将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或．
【分析】一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形，据此分析即可得出答案．
上面的解答不正确，出错的原因是思考问题不全面．除了题目中的解法外，还要补充正确的解答如下：
如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是；
如图（）所示，剪掉一个角后，剩余纸的所有内角的和是．
所以将一张四边形纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是或或．
【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
【变式1】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题．
解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或，
其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为，
得到的多边形的内角和是或或，
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案．
解：设多边形的边数是n（，且n为整数），
依题意得，
解得．
∵少算一个内角，且该内角小于，
∴．
∴多边形的内角和是，
∴少算的这个内角的度数为，
故答案为：．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·四川攀枝花·中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°．
【分析】如下图，连接，，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
解：连接，，
五边形的内角和等于，，的内角和的和，
五边形的内角和．
【点拨】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形是解答此题的关键．
【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
解：设这个正多边形的边数为，
则，
∴，
∴这个正多边形的每个外角为，
故选：．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·江苏·期中）在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点与，，，也构成爱尔特希点集，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意，分点为正五边形的中心和顶点两种情况讨论．
解：依题意，当为正五边形的中心点时即满足题意，
．
当为正五边形的顶点时即满足题意，
∴
故答案为：或．
【例2】一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加．于是，剪过k次后，可得个多边形，这些多边形的内角和为．因为这个多边形中有45个48边形，可求它们的内角和，其余多边形有（个），而这些多边形的内角和不少于．可得不等式，解不等式即可求得答案．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加．
于是，设剪过k次后，可得个多边形，这些多边形的内角和为．
因为这个多边形中有45个48边形，它们的内角和，
其余多边形有（个），而这些多边形的内角和不少．
所以，
解得：．
故至少要剪的刀数是刀．
故选C．
【点拨】此题考查了多边形的内角和的应用，关键是理解用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加．
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专题11.7 多边形及其内角和（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】多边形及其相关概念
1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
2.多边形的相关概念
（1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
（2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.
（3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.
（4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
（5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
特别提醒：①多边形的边数、顶点数及角的个数相等；②把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线.
【知识点二】正多边形
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等.
【知识点三】凸多边形与凹多边形
如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形；
而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形.
我们在学习中提到的多边形大都是凸多边形.
【知识点四】多边形内角和定理
n边形的内角和等于（n-2）×180°.特别地，正n边形每个内角的度数是.
【知识点五】多边形外角和定理
1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.
2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】由多边形内角和公式求度数
【例1】（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）求图中的x的值
(1)
(2)
【变式1】（23-24七年级下·全国·假期作业）若多边形的边数增加1，则其内角和的度数（ ）
A．增加 B．为 C．不变 D．减少
【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）凸七边形的内角和是 度．
【题型2】由多边形内角和公式求边数
【例2】（23-24八年级上·江西赣州·期末）下面是正多边形M和N的对话：
求M和N的边数．
【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期末）如果一个正多边形每个内角都为，那么该正多边形的边数是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
【变式2】一个正多边形的内角和是，则这个多边形的边数 ．
【题型3】由多边形内角和与外角和度数求边数
【例3】（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和，求这个多边形的边数．
【变式】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若边形的内角和等于外角和的3倍，则边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【题型4】由多边形内、外角和公式求角度
【例4】（23-24八年级下·湖南永州·期中）一个正多边形的内角和是外角和的倍，求这个正多边形一个内角的度数．
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，是四边形的外角，且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在五边形中，分别是的外角，则的度数为 ．
【题型5】由多边形对角线数量求角度或对角线条数
【例5】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）【观察思考】
【规律发现】
（1）七边形的对角线条数为______．
（2）三边形的对角线条数可表示为，四边形对角线条数可表示为，五边形的对角线条数可表示为，…，n边形的对角线条数可表示为______．
(3)【规律应用】若一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数和对角线的条数．
【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则它的一个内角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·陕西咸阳·三模）已知某正多边形的每个外角均为，则该正多边形的对角线共有 条．
【题型6】由多边形截角问题
【例6】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下题及解题过程．
如图（），我们知道四边形的内角和为，现在将一张四边形的纸剪掉一个角后，剩余纸所有内角的和是多少？
如图（），剩余纸为五边形，所以剩余纸所有内角的和为．
上面的解答过程是否正确？若正确，说出你的判断根据；若不正确，请说明原因，并写出你认为正确的结论．
【变式1】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·四川攀枝花·中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°．
【例2】（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A． B． C． D．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·江苏·期中）在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点与，，，也构成爱尔特希点集，则 ．
【例2】一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
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