专题11.8 多边形及其内角和（精选精练）（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正多边形的内角和为．则这个正多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2024·福建福州·模拟预测）如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角α的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·辽宁葫芦岛·三模）如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古赤峰·三模）如果一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正（ ）边形
A．六 B．八 C．十 D．十二
6．（2024·湖北荆门·模拟预测）小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走9米后向左转，接着沿直线前进9米后，再向左转，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了72米，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·云南玉溪·三模）若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024·河北石家庄·三模）如图，五边形是正五边形，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（ ）
A．3个 B．6个 C．9个 D．12个
10．（2024·河北沧州·二模）用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024八年级下·全国·专题练习）一个八边形的内角和是 ．
12．（23-24六年级下·山东济南·期中）若从n边形的一个顶点最多能引出2条对角线，则n是 ．
13．（2024·湖北咸宁·一模）一个多边形的内角和为，这个多边形的边数是 ．
14．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）一个正多边形的内角比外角大，则这个多边形的内角和为 ．
15．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边．
16．（19-20七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
17．（2024·陕西西安·模拟预测）一个正多边形的外角和与内角和的比为，则这个多边形是正 边形．
18．（2024·云南昆明·二模）如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角为，则n的值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（21-22八年级下·广西桂林·期中）列式计算：求图中x的值．
20．（8分）（23-24八年级上·江西南昌·期末）如果多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多．
（1）这个多边形的内角和是多少度？
（2）求这个多边形的对角线的总条数．
21．（10分）（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中，
（1）若，请求的度数；
（2）试求出及五边形外角和的度数．
22．（10分）（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）多边形内角和为什么不可能为？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角的那个外角为多少度？
23．（10分）（2024·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．
①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；
②求其他三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：
（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
24．（12分）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明；
（2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？
（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？
试卷第1页，共3页专题11.8 多边形及其内角和（精选精练）（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正多边形的内角和为．则这个正多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2024·福建福州·模拟预测）如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角α的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·辽宁葫芦岛·三模）如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古赤峰·三模）如果一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正（ ）边形
A．六 B．八 C．十 D．十二
6．（2024·湖北荆门·模拟预测）小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走9米后向左转，接着沿直线前进9米后，再向左转，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了72米，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·云南玉溪·三模）若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024·河北石家庄·三模）如图，五边形是正五边形，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（ ）
A．3个 B．6个 C．9个 D．12个
10．（2024·河北沧州·二模）用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024八年级下·全国·专题练习）一个八边形的内角和是 ．
12．（23-24六年级下·山东济南·期中）若从n边形的一个顶点最多能引出2条对角线，则n是 ．
13．（2024·湖北咸宁·一模）一个多边形的内角和为，这个多边形的边数是 ．
14．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）一个正多边形的内角比外角大，则这个多边形的内角和为 ．
15．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边．
16．（19-20七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
17．（2024·陕西西安·模拟预测）一个正多边形的外角和与内角和的比为，则这个多边形是正 边形．
18．（2024·云南昆明·二模）如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角为，则n的值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（21-22八年级下·广西桂林·期中）列式计算：求图中x的值．
20．（8分）（23-24八年级上·江西南昌·期末）如果多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多．
（1）这个多边形的内角和是多少度？
（2）求这个多边形的对角线的总条数．
21．（10分）（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中，
（1）若，请求的度数；
（2）试求出及五边形外角和的度数．
22．（10分）（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）多边形内角和为什么不可能为？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角的那个外角为多少度？
23．（10分）（2024·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．
①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；
②求其他三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：
（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
24．（12分）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明；
（2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？
（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？
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参考答案：
1．A
【分析】本题考查了多边形的对角线数量问题，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出的值，得到答案．
【详解】解：设这个多边形是边形，
由题意得：，
解得：，
即这个多边形是五边形，
故选：A．
2．B
【分析】本题多边形内角和公式，解题关键是理解并熟记多边形内角和公式． 根据多边形内角和定理：可得方程，再解方程即可．
【详解】解：设多边形边数有x条，由题意得：
解得：
故选B
3．B
【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和为是解题的关键．
根据多边形的外角和为即可作答．
【详解】解：．
故选：B．
4．B
【分析】连接CD，设AD与BC交于点O，根据多边形的内角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根据各角的关系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论．
【详解】解：连接CD，设AD与BC交于点O
∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，，，
∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540°
∴∠ODC＋∠OCD=72°
∵∠AOB=∠COD
∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72°
故选B．
【点拨】此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和对顶角相等是解决此题的关键．
5．B
【分析】本题考查了正多边形的外角性质，根据正多边形的外角都相等以及外角和为，列式进行计算，即可作答．
【详解】解：∵一个正多边形的一个外角是，
∴，
∴这个正多边形是正八边形，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用，求得边数，再根据多边形的外角和为，即可求解．
【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：，
根据多边形的外角和为，
∴则他每次转动θ的角度为：，
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，掌握内角和公式是解题的关键．根据任何多边形的外角和都是，可以求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式，就得到多边形的内角和．
【详解】解：根据题意得：该多边形的边数为：，
该正多边形的内角和为：．
故选：A．
8．C
【分析】此题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键．
连接，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．
【详解】如图, 连接,
∵五边形是正五边形，
，，
，
，
，
故选: C．
9．C
【分析】本题主要考查了正多边形的外角和．多边形由拼图方法可知：环状图案的外围是正多边形，根据正多边形外角和等于即可求出正多边形的边数．
【详解】解：依题意可知：用含60°角的直角三角板按图示拼成类似的环状图案是正多边形，正多边形的外角，
故正多边形的边数为（条）
∴除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（个）
故选C．
10．C
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据5个“筝形”组成一个正十边形，结合多边形内角和定理求解即可
【详解】解；由图可知，5个“筝形”组成一个正十边形，
∴，
故选：C
11．/1080度
【分析】本题考查了多边形内角和定理，直接套用多边形的内角和进行计算可求八边形的内角和，
【详解】解：内角和：．
故答案为：
12．5
【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键．据此求解即可．
【详解】解：∵从n边形的一个顶点最多能引出2条对角线，
∴，
∴．
故答案为：5．
13．5
【分析】本题考查多边形的内角和公式，n边形的内角和公式为，由此列方程即可得到答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则，
解得，
故答案为：5．
14．/1080度
【分析】本题考查了多边形外角和与内角和，掌握其计算公式是解题的关键．多边形的内角和公式为：（其中为多边形的边数），多边形的外角和是．
因为多边形的外角和是，且正多边形的每个内角都相等，每个外角也都相等，设这个正多边形的一个外角为，则内角为，根据内角与外角的和为可列出方程．
【详解】设外角是，则内角是，则，
解得．
则多边形的边数是：．
内角和是：．
故答案为：．
15．或或9
【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：以五边形为例，如图所示：
剪去一个内角后，多边形的边数可能加，可能不变，也可能减
设新多边形的边数为，
则，
解得：
∴原多边形可能有或或9条边．
故答案为：或或9．
16．540°
【分析】连接ED，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论．
【详解】连接ED，
∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE，
∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，
∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°，
即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．
故答案为：540°．
【点拨】本题考查了三角形的内角和公式，以及多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2)×180°是解答本题的关键．
17．八
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式，是解决问题的关键
设这个正多边形的边数为n，根据正多边形的外角和与内角和的比为，利用多边形内角和公式与外角和列方程解答并检验，即得
【详解】设这是个正n边形，
∵这个正多边形的外角和与内角和的比为，
∴，
解得，，
经体验是所列方程的解，且符合题意，
∴这是个正八边形，
故答案为：八
18．5
【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义及性质和外角和．先根据题意画出图形，再根据已知条件求出和的度数，然后根据正多边形的性质和外角和，求出正多边形的边数即可．
【详解】解：如图所示：
由题意得：，
，
，
正多边形每个外角都相等，
，
正多边形的外角和为，
它的边数为：，
的值为5，
故答案为：5．
19．100
【分析】本题考查了四边形的内角和定理，根据题意，列式计算即可．
【详解】根据题意，列式，
解得，
故图中x的值为100．
20．(1)
(2)54
【分析】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．另外还要注意从n边形一个顶点可以引条对角线．
（2）求出多边形的边数，利用多边形内角和公式即可得到答案；
（3）根据n边形有条对角线，即可解答．
【详解】（1）解：设这个正多边形的一个外角为，
依题意有，
解得，
∴这个正多边形是十二边形．
∴这个正多边形的内角和为
（2）解：对角线的总条数为(条) ．
21．(1)
(2)，五边形外角和的度数是
【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质可进行求解；
（2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：五边形中，，
∵，，，
∴
；
五边形外角和的度数是．
22．(1)见解析
(2)十三边形或十四边形
(3)或
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形内角和外角的关系以及二元一次方程组的应用．
（1）根据多边形内角和定理公式计算判断即可．
（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，依题意可列方程为，结合角的属性建立不等式求整数解即可．
（3）分别计算十三边形的内角和以及十四边形的内角和，分别列出关于x，y的二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）设多边形的边数为n，
由题意得，
解得，
∵n为正整数，
∴多边形的内角和不可能为．
（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，
依题意可列方程为，
∵，
∴，
解得，
又∵n为正整数，
∴或．
故明明求的是十三边形或十四边形的内角和．
（3）十三边形的内角和为，
∴，
又，
∴，．
十四边形的内角和为，
∴，
又，
∴，．
所以错当成内角的那个外角为或．
23．（1）①，②（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是进行计算即可；②四边形的内角和是进行计算即可；
（2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可；
（3）表示出和它不相邻的个内角的和即可．
【详解】解：（1）①四边形的一个内角的度数是，则与它相邻的外角的度数；
②由于四边形的内角和是其中一个内角为，则其它三个内角的和为；
（2）由题意得，
，
的正整数，，
，
即这个多边形为八边形；
（3）设边形的一个外角为，它不相邻的个内角的和为，
则有，
即．
24．（1）见解析，∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，三角形中的外角和为360°，见解析；（2）∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°，见解析；（3）多边形的外角和和都是360°，见解析
【分析】（1）经测量得出∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°，∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，则据此得出结论三角形中的外角和为360°，根据平角是180°和多边形内角和证明即可；
（2）分别测量出几个角并求出这几个角的和，得出结论：在四边形的外角和是360°；根据（1）中证明方法证明即可；
（3）猜想：多边形的外角和和都是360°．根据（1），（2）方法证明即可；
【详解】解：（1）
经测量知∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°，
∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，
发现：三角形中的外角和为360°，
理由：∵∠CBD+∠ABC＝180°，
∠ACE+∠ACB＝180°，
∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠CBD+∠ACE+∠BAF+∠ABC+∠ACB+∠BAC＝540°，
又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°；
（2）
∠RQG＝125°，∠SRH＝113°，∠PSM＝48°，∠QPN＝74°，
所以∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°；
发现：在四边形的外角和是360°；
∵∠RQG+∠PQR＝180°，∠SRH+∠QRS＝180°，∠PSM+∠RSP＝180°，∠QPN+∠QPS＝180°，
∵∠RQG+∠PQR+∠SRH+∠QRS+∠PSM+∠RSP+∠QPN+∠QPS＝720°，
∵∠PQR+∠QRS+∠RSP+∠QPS＝360°，
∴∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°．
（3）猜想：多边形的外角和都是360°．
设多边形为n边形，则n边形的每一个内角与它相邻的外角的和为180°，
∴n边形的外角和＝180°n﹣（n﹣2）×180°＝180°n﹣180°n+360°＝360°．
【点拨】此题考查多边形外角和的知识，利用平角是180°结合多边形内角和证明即可．
