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专题11.5 与三角形有关的角（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；
特别指出：三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不小于60°
【知识点二】直角三角形的性质与判定；
性质：直角三角形的两锐角互余；
判定：有两个内角互余的三角形是直角三角形；
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号Rt 表示，如直角三角形ABC可以表示为Rt ABC.
【知识点三】三角形的外角
1、三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；
2、三角形内角和定理的推论（三角形外角性质）：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
3、三角形的外角和为等于360°.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】三角形内角和定理的证明
【例1】（23-24七年级下·广东江门·期中）数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明．
（1）如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明；
（2）如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明；
（3）如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明．
【变式1】（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过作∥
B．延长到，过作
C．作于点
D．过上一点作，
【变式2】如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，那么x，y满足的关系式是 ．
【题型2】利用三角形内角和求角度
【例2】（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，．
（1）求证：；
（2）若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由．
【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知在中，，现将分别沿边翻折得到，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，，分别是的高和角平分线，，，则的度数为 ．
【题型3】利用三角形外角性质求角度
【例3】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，
（1）证明：；
（2），，求的度数．
【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点，平分交于点，若，，则的度数为 ．
【题型4】利用直角三角形性质与判定求角度
【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【变式1】（2024·陕西咸阳·三模）如图，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，根据光的反射原理，，，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2021·湖北宜昌·中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级上·山西晋中·期末）综合与实践
将两个完全相同的直角三角板（），按图1的方式放置，使边和边与直线重合，和的顶点O重合．
（1）如图1， 度；
（2）如图2，若平分，求的度数；
（3）如图3所示，把三角板和绕点O同时以相同的速度顺时针旋转，当平分时，和的度数之间有怎样的数量关系，请直接写出结论．
【例2】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．其中不正确的结论有（ ）
A． B．
C． D．
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专题11.5 与三角形有关的角（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；
特别指出：三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不小于60°
【知识点二】直角三角形的性质与判定；
性质：直角三角形的两锐角互余；
判定：有两个内角互余的三角形是直角三角形；
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号Rt 表示，如直角三角形ABC可以表示为Rt ABC.
【知识点三】三角形的外角
1、三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；
2、三角形内角和定理的推论（三角形外角性质）：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
3、三角形的外角和为等于360°.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】三角形内角和定理的证明
【例1】（23-24七年级下·广东江门·期中）数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明．
（1）如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明；
（2）如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明；
（3）如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明．
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明；
（1）如图，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为．
（2）根据平行线的性质，将三个内角转化为，根据平角的定义，即可求得证；
（3）作的延长线，过点作射线 ．根据平行线的性质得出＝，＝，进而根据平角的定义，即可得证．
（1）证明：如图，过点A作，
则，．(两直线平行，内错角相等）
∵点，，在同一条直线上，
∴．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为．
（2）∵
∴
∵
∴
∴
，
，
（3）证明：作的延长线，过点作射线 ．
＝，＝
＋＋＝
＋＋＝
【举一反三】
【变式1】（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过作∥
B．延长到，过作
C．作于点
D．过上一点作，
【答案】C
【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
解：由，则，．
由，得．故A不符合题意；
由，则，．
由，得．故B不符合题意；
由于，则，
无法证得三角形内角和是．故C符合题意，
由，得，．由，得，，那么．
由，得．故D不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
【变式2】如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，那么x，y满足的关系式是 ．
【答案】x+2y=180
【分析】根据三角形内角和定理可得x+2y=180．
解：∵三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，
∴x+y+y=180，即x+2y=180，
故答案为x+2y=180．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
【题型2】利用三角形内角和求角度
【例2】（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，．
（1）求证：；
（2）若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见详解；(2)，理由见详解
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据邻补角的性质，得出，证明，结合，即可作答．
（2）由角平分线的定义得出，再进行角的等量代换，得出，且，得出，再根据三角形的内角性质，进行计算，即可作答．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
【举一反三】
【变式1】（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知在中，，现将分别沿边翻折得到，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，通过方程求解，，的度数是解题的关键．由题意设，，，利用三角形的内角和定理可求解值，即可求解各内角的度数，再由折叠的性质可求得的度数，根据周角的定义可求解．
解：，
设，，，
，
解得，
，，，
由折叠可知：，
，
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，，分别是的高和角平分线，，，则的度数为 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形内角和定理可得的值，结合角平分线的性质可得，再根据是的高解得的值，然后根据求解即可．
解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
又∵是的高，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
【题型3】利用三角形外角性质求角度
【例3】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，
（1）证明：；
（2），，求的度数．
【答案】(1）见解析；(2)
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，
（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）利用三角形的外角的性质和等量代换得到，利用三角形内角和定理得到的度数，即可求解．
（1）证明：∵，
，，
∴．
（2）∵，，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴．
【举一反三】
【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据平行线的性质定理得到，再由三角形的外角定理即可求解．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点，平分交于点，若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理，计算，再根据角平分线的定义，求出和的度数，最后根据三角形外角的性质计算，得出答案即可，熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质是解题的关键．
解：∵，，
∴，
∵平分交于点，平分交于点，
∴，，
∴，
故答案为：．
【题型4】利用直角三角形性质与判定求角度
【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立．
解：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【举一反三】
【变式1】（2024·陕西咸阳·三模）如图，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，根据光的反射原理，，，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，先得出，结合，得出，即可作答．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式2】如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ．
【答案】直角三角形
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论.
解: 在Rt△ABC 中，
∵∠B＝90°,
∴∠A+∠C=90°,
∵∠DEC＝∠A,
∴∠DEC+∠C=90°,
∴∠EDC=90°,
∴△EDC 是直角三角形,
故答案为 直角三角形.
【点拨】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握.
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2021·湖北宜昌·中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设AB与EF交于点M，根据，得到，再根据三角形的内角和定理求出结果．
解：设AB与EF交于点M，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∵,
∴=，
故选：A．
．
【点拨】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键．
【例2】（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．
解：由折叠的性质得：；
∵，
∴；
①当在下方时，如图，
∵，
∴，
∴；
②当在上方时，如图，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或；
故答案为：或．
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级上·山西晋中·期末）综合与实践
将两个完全相同的直角三角板（），按图1的方式放置，使边和边与直线重合，和的顶点O重合．
（1）如图1， 度；
（2）如图2，若平分，求的度数；
（3）如图3所示，把三角板和绕点O同时以相同的速度顺时针旋转，当平分时，和的度数之间有怎样的数量关系，请直接写出结论．
【答案】(1)90；(2)；(3)或，见解析
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得，再根据即可求解；
（2）根据平角的定义求得，再根据角平分线的定义可得，再利用求解即可；
（3）由可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，再利用求解即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，
，
平分，
，
；
（3）解：或，
理由：
．
【例2】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．其中不正确的结论有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
故选项A的结论正确，不符合题意；
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
故选项B的结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
即，
故选项C的结论不正确，符合题意；
在中，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选项D的结论正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
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