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专题11.9 三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形的有关概念和性质
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【知识点二】三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
【知识点三】三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余；2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【知识点四】多边形及有关概念
1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．
3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
(1)从n边形一个顶点可以引（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形；
(2)n边形共有条对角线．
【知识点五】多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用三角形三边关系求边或证明
【例1】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知的三边长是．
（1）若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值；
（2）化简．
【变式1】（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）在周长为25的三角形中，最短边是x，另一边是，则x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ．
【题型2】利用三角形三条重要线段进行求值或证明
【例2】（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图：中，点D在上，且，E是的中点，交于点F.
（1）写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？
（2）若，且的面积为3，求出的面积.
【变式1】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，为的中线，为的中线．若的面积为12，，则中边上的高为（ ）
A．1 B．4 C．3 D．2
【变式2】如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE= .
【题型3】利用三角形内角和定理进行求值或证明
【例3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．
（1）求证：．
（2）若，平分，求的度数．
【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024七年级下·江苏·专题练习）将一副三角尺按如图所示放置，直角顶点重合于点，，，斜边，垂足为，则 ．
【题型4】利用三角形外角性质进行求值或证明
【例4】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知是的角平分线，是的外角的平分线，延长，分别交于点F，P．
（1）求证：；
（2）小轩同学探究后提出等式：，请通过推理论证判断“小轩发现”是否正确；
（3）若，求的度数．
【变式1】（2024·河南·三模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．85°
【变式2】（2024·河北邯郸·三模）如图，从A观察公路的走向是北偏东，在A的北偏东方向上有一点C，在点B处测得点C在北偏东的方向上．
（1）点B位于点C的 方向上；
（2） °．
【题型5】利用直角三角形两锐角关系进行求值
【例5】如图，中，．
（1）试说明是的高；
（2）如果 ，求的长．
【变式1】（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）在直角三角形中，比的3倍还多，则的大小为 ．
【题型6】利用多边形内角和与外角和求边数或度数
【例6】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多．
（1）求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
（2）求这个多边形的对角线的条数．
【变式1】（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）若一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形的边数为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，，N为上一点，直线交于M，交于F，且，若点P为射线上一点，平分，平分交于H，交于T，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【例2】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图1，在中，，的角平分线交于点O，则．
如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ．
根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ．
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专题11.9 三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形的有关概念和性质
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【知识点二】三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
【知识点三】三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余；2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【知识点四】多边形及有关概念
1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．
3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
(1)从n边形一个顶点可以引（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形；
(2)n边形共有条对角线．
【知识点五】多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用三角形三边关系求边或证明
【例1】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知的三边长是．
（1）若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值；
（2）化简．
【答案】(1)或；(2)
【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
（1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出，即可得出答案；
（2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可．
（1）解：的三边长是，，
，即，
三角形的周长是小于22的偶数，
，
或；
（2）解：由三角形三边关系得：，
，，
．
【变式1】（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）在周长为25的三角形中，最短边是x，另一边是，则x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了三角形三边关系、一元一次不等式组的解法，根据三角形的三边关系和最短边是x列出不等式组，即可求出答案．
解：∵周长为25的三角形中，最短边是x，另一边是，
∴第三边长为，
∴，或
∴或
解得，或
∵最短边是x，
∴
解得，，
综上可知， ．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长，题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，解题的关键是验证能否组成三角形．
解：若3为腰长，7为底边长，
∵，
∴三角形不存在，
若7为腰长，3为底边长，则符合三角形的两边之各大于第三边，
∴这个三角形的周长，
故答案为：．
【题型2】利用三角形三条重要线段进行求值或证明
【例2】（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图：中，点D在上，且，E是的中点，交于点F.
（1）写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？
（2）若，且的面积为3，求出的面积.
【答案】(1)是的角平分线，是的角平分线，是的中线，是的中线 (2)18
【分析】（1）根据三角形角平分线、中线的定义即可求解；（2）根据三角形中线的性质求解．
（1）解：由题意知，是的角平分线，是的角平分线，是的中线，是的中线．
（2）解：的面积为3，E是的中点，
，
，
．
【点拨】本题考查三角形有关的线段，三角形中线的性质，解题的关键是掌握“等高三角形的面积比等于底边长度之比”．
【变式1】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，为的中线，为的中线．若的面积为12，，则中边上的高为（ ）
A．1 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据三角形中线平分三角形的面积得到的面积是3，设中边上的高h，列得，求出h即可．
解：∵为的中线，的面积为12，
∴的面积为6，
∵为的中线，
∴的面积是3，
设中边上的高h，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】此题考查了三角形中线的性质：三角形的中线平分三角形的面积，熟记该性质是解题的关键．
【变式2】如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE= .
【答案】10°
【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，结合角平分线的性质可得出∠CAD的度数，在△ACE中利用三角形内角和定理可求出∠CAE的度数，再根据∠DAE=∠CAD-∠CAE即可求出结论．
∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=80°．
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=40°.
∵∠ACB=60°，AE⊥BC，∠CAE+∠AEC+∠ACB=180°，
∴∠AEC=90°，∠CAE=180°-90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°.
故答案为10°．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理以及角平分，根据三角形内角和定理（角平分线的性质）求出∠CAD、∠CAE的度数是解题的关键．
【题型3】利用三角形内角和定理进行求值或证明
【例3】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．
（1）求证：．
（2）若，平分，求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据两直线平行，同位角相等可得，推得，根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角的平分线可得，根据三角形内角和是即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴．
故的度数为．
【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点O．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质以及三角形内角和定理，根据折叠的性质，可以得到的度数，然后再根据平行线的性质得到的度数，最后由三角形内角和定理可得结论．
解：由折叠的性质得到，，
∵，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴
故选：A．
【变式2】（2024七年级下·江苏·专题练习）将一副三角尺按如图所示放置，直角顶点重合于点，，，斜边，垂足为，则 ．
【答案】/15度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂线，角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
先在中，利用直角三角形的两个锐角互余求出，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用对顶角相等可得，从而利用三角形内角和定理求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【题型4】利用三角形外角性质进行求值或证明
【例4】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知是的角平分线，是的外角的平分线，延长，分别交于点F，P．
（1）求证：；
（2）小轩同学探究后提出等式：，请通过推理论证判断“小轩发现”是否正确；
（3）若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)“小轩发现”正确，理由见解析；(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角的性质即可证明结论；
（2）根据（1）中的结论变形后可得结论；
（3）根据三角形的外角和角平分线的定义，综合已知，等量代换可得结论．
（1）证明：∵是的平分线，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴；
（2）由（1）知，
∴，
即：
∴“小轩发现”是正确的；
（3）在中，，
在中，，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角性质的应用，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【变式1】（2024·河南·三模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．85°
【答案】C
【分析】由平行线的性质得到，再由三角形外角定理即可求解．此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．
解：，，
，
，，
，
故选：C．
【变式2】（2024·河北邯郸·三模）如图，从A观察公路的走向是北偏东，在A的北偏东方向上有一点C，在点B处测得点C在北偏东的方向上．
（1）点B位于点C的 方向上；
（2） °．
【答案】 南偏西（或西偏南）
【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握方向角，平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
（1）根据方向角求解作答即可；
（2）如图，由题意知，，则，，，根据，求解作答即可．
（1）解：∵点B处测得点C在北偏东的方向上，
∴点B位于点C的南偏西方向上，
故答案为：南偏西；
（2）解：如图，
由题意知，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型5】利用直角三角形两锐角关系进行求值
【例5】如图，中，．
（1）试说明是的高；
（2）如果 ，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)．
【分析】（1）由等量代换可得到，故是直角三角形，即；
（2）由面积法可求得的长．
（1）∵
∴
∵
∴
∴是直角三角形，即，
∴是的高；
（2）∵
∴，
∵，
∴．
【点拨】此题考查了同角的余角相等，三角形的面积，直角三角形的判定，正确理解直角三角形的判定是解题的关键．
【变式1】（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）在下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形．
解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意；
D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意
故答案为：C
【点拨】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）在直角三角形中，比的3倍还多，则的大小为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，解题的关键是注意进行分类讨论，分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出结果即可．
解：当为直角时，，
当为直角时，，
∵比的3倍还多，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或．
【题型6】利用多边形内角和与外角和求边数或度数
【例6】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多．
（1）求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
（2）求这个多边形的对角线的条数．
【答案】(1)这个多边形的内角和是，是十二边形；(2)54
【分析】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．
（1）设外角为，则内角为，根据内角与相邻的外角是互补关系可得，解方程可得的值，再利用外角和外角的度数可得边数；利用内角和公式可得该多边形内角和
（2）利用公式解答即可．
解：（1）设外角为，
由题意得：，
解得：，
，
，
这个多边形的内角和是，是十二边形；
（2）时，
对角线的条数为：．
【变式1】（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了四边形的内角和，垂直的定义，角平分线的定义．利用平角的定义结合角平分线的定义求得，再利用四边形的内角和定理即可求解．
解：∵和的平分线交于点F，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）若一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形的边数为 ．
【答案】7/七
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和的公式是解题的关键．
设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式和外角和为列方程求解即可得出答案．
解：设这个多边形的边数为
边形的内角和为，多边形的外角和为
解得
这个多边形的边数为
故答案为：7．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
【例2】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得．
解：如图：
∵，，
∴设，，则，，
由三角形的外角的性质得：，，
∴，
如图：
同理可求：，
∴，
……，
∴，
即，
故答案为：．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，，N为上一点，直线交于M，交于F，且，若点P为射线上一点，平分，平分交于H，交于T，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，分点在线段上和在射线上，两种情况进行讨论求解即可．
解：当点在线段上时，如图：
∵平分，平分，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点在射线上时，如图：
∵平分，平分，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上：或；
故选D．
【例2】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图1，在中，，的角平分线交于点O，则．
如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ．
根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ．
【答案】
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．如图2，根据三等分线定义和三角形内角和得到，进而得到再根据三角形内角和定理得到，化简即可得到；如图3，求出，，，，问题得解．
解：如图2，∵中，的两条三等分角线分别对应交于，，
∴
，
如图3，
，
，
，
……，
∴
．
故答案为：，
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