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专题12.11 三角形全等几何模型（一线三等角）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】一线三直角模型
1.基本图形
题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°
图1 图2 图3
解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS或ASA）
结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立
结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：
四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）
【知识点二】一线三等角模型
图4 图5
题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D
解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）
结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明
【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，直线经过点，且，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】（）利用余角性质证明，再利用“”即可证明；
（）由得到，，进而得到，再根据梯形的面积计算公式计算即可求解；
本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明：，，，
，
，，
，
在和中
，
；
（2）解：，
，，
∵，
，
又，，
，
，
∴四边形的面积为．
【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，证明即可得到答案；
解：由题意可得，
，，，
∵，
∴，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：A．
【变式2】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，先证明，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得的长．
解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明
【例2】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知是直角三角形，，直线l经过点 A，分别过点 B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E
（1）如图a，当点 B、C 位于直线l的同侧时，证明：
（2）如图b，锐角中，，直线l经过点A，点 D、E 分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，如果，请找到图中的全等三角形，并写出线段和之间的数量关系
【答案】(1)证明见解析；(2)，
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，掌握利用证明三角形全等是解本题的关键．
（1）先证明，再利用证明即可；
（2）由，可得， 证明，可得，，从而可得结论．
（1）证明：，，
，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，； 理由如下：
∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴．
【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．
解：∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝3
故选：A．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．
【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ．
【答案】12
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案．
解：标记角度如下：
∵在等腰中，，，
∴与等高，底边比值为
∴与的面积比为，
∵的面积为18
∴的面积为6，的面积为12，
∵,即，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴与的面积相等，
∴，
故答案为：12．
【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明
【例3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D
初步探究：
（1）在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（2）小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由
【答案】(1)； (2)
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键．
（1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解；
（2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解．
（1）解：，理由如下：
过点B作于点F，即，
，
，，
.
，
.
.
在和中，
，
.
.
，，
.
.
（2）解：.理由如下：
过点B作于点F，∴，
由（1）可得：，
.
，
，.
，
.
.
在和中，
，
.
.
【变式1】（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，则的面积为（ ）
A．9 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
首先作于,作交的延长线于.根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高即为，即可求得面积．
解：作于,作交的延长线于
，
在和中，
的高即为,
故选：A．
【变式2】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可．
解：过点作交延长线于点，
则∠DMC=90°=∠ABC，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故填．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键．
【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展
【例4】如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（-3.0），D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交y轴于点M
（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:
（2）求证:M为BE的中点
（3）当D点在x轴上运动时，探索:为定值
【答案】（1）E(3,-2)；（2）详见解析；（3）
【分析】(1) 过E点作EF⊥y轴交y轴于F点，先证明△AOD≌△EFA(AAS)，根据全等三角形的性质即可得到E点的坐标；
(2)先把D点的位置画出来，再证明△AOD≌△EFA(AAS)，再根据全等三角形的性质证明△BOM≌△EFM(AAS)，即可证明M为BE的中点；
(3)从(1)(2)的信息可知得到，再结合即可得到的比值为定值；
解：(1) 过E点作EF⊥y轴交y轴于F点
∵AD⊥AE , EF⊥AF
∠AOD=∠AFE=90°
∵∠DAO+∠EAF=90°
∠EAF+∠AEF=90°
∴∠DAO=∠AEF
在△AOD和△EFA中
△AOD≌△EFA(AAS)
EF=OA=3 AF=OD=5
OF=AF-OA=5-3=2
E(3,-2)
(2)如图，
D点在以上3个位置，
根据题意知道：AE=AD，，
又∵ ，
∴
∴△AOD≌△EFA(AAS)
∴OB=EF ∠BOM=∠EMF=90°
∠BOM=∠EMF
∴△BOM≌△EFM(AAS)
BM=EM=BE
(3) 根据(2)可知，D点在可以在3个位置，
当D点如下图的位置时，过D作直线a⊥x轴与D，过A作AG垂直直线a于G，
由(2)知△BOM≌△EFM(AAS)，
∴EF=OB，
又由(1)知△AOD≌△EFA(AAS)
即：EF=OA =OB，AF=OD
∴ ，
又∵
∴=，
当D在另外两个位置时，同理可证得=；
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定以及性质，综合性较强，能正确画出图像，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A．54 B．60 C．100 D．110
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可．
解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可证，
∴，
∴．
空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和．
故选：B．
【变式2】已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是 .
【答案】2
【分析】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造 得出BE=AF
利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面积为1进行计算即可.
解：过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,
∴∠BEA=∠AFD=90°
∴∠2+∠3=90°
∵∠BAD=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3
∵AB=AD
∴
∴BE=AF
∵AD=CD，DF⊥AC
∴AF=
∴BE=AF=
∴
∴AC=2
故答案为2
【点拨】本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键.
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2021·四川南充·中考真题）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．
【分析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得．
证明：∵，
∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【例2】（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
【答案】3
【分析】证明，得到，即可得解．
解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
（1）操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为： ；
（2）拓展应用：
如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标： ；
（3）迁移探究：
①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系．
【答案】(1) (2) (3)①，理由见解析；②
【分析】（1）由全等得到边长关系即可．
（2）分别按照（1）中情形过A、B做出轴垂线，得到三角形全等后根据边长关系得到点A坐标．
（3）①将（1）中互余的角度变成计算关系，仍可得角度相等，从而得到全等的三角形，进而得到边长关系．
②根据①可证全等，然后根据全等三角形的性质得到边长关系．
解：（1）由等腰直角得，，
又，
又，
，
（2）
过A、B作出轴垂线，，由（1）可得，，
又得，，，
，
（3）①
又，
，
②
与①中同理可得
分别取，中点，连接．
，
,
又
又
在与中
，
【点拨】本题考查一线三等角模型，注重模仿推理能力，结合一个示范作迁移应用，需要大胆参考示范进行相同位置图像的关系论证．对知识点的充分理解和迁移是解题的关键．
【例2】（22-23八年级上·广东惠州·期中）如图1，，垂足分别为D，E．
（1）若，求的长．
（2）在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)0.8cm (2)，证明见解析 (3)结论成立，证明见解析
【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用定理证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答．
（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）结论成立，
证明：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
即结论成立；
【点拨】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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专题12.11 三角形全等几何模型（一线三等角）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】一线三直角模型
1.基本图形
题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°
图1 图2 图3
解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS或ASA）
结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立
结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：
四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）
【知识点二】一线三等角模型
图4 图5
题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D
解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）
结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明
【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，直线经过点，且，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ．
【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明
【例2】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知是直角三角形，，直线l经过点 A，分别过点 B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E
（1）如图a，当点 B、C 位于直线l的同侧时，证明：
（2）如图b，锐角中，，直线l经过点A，点 D、E 分别在直线l上，点B，C位于l的同一侧，如果，请找到图中的全等三角形，并写出线段和之间的数量关系
【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ．
【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明
【例3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系
问题情境：
如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D
初步探究：
（1）在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（2）小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由
【变式1】（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，则的面积为（ ）
A．9 B．6 C． D．
【变式2】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ．
【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展
【例4】如图，A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（-3.0），D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交y轴于点M
（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:
（2）求证:M为BE的中点
（3）当D点在x轴上运动时，探索:为定值
【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A．54 B．60 C．100 D．110
【变式2】已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是 .
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2021·四川南充·中考真题）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．
【例2】（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
2、拓展延伸
【例1】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
（1）操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为： ；
（2）拓展应用：
如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标： ；
（3）迁移探究：
①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系．
【例2】（22-23八年级上·广东惠州·期中）如图1，，垂足分别为D，E．
（1）若，求的长．
（2）在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
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