中小学教育资源及组卷应用平台
专题12.15 三角形全等几何模型（半角模型）
第一部分【知识点归纳】
【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。
【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两边相等。
【类型】如下图，有三类型半角模型
【解题思路】
半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是SAS型）解题，具体步骤如下：
（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题 时通常不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；
（2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）；
（3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）；
（4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】“等边三角形含半角”模型
【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，分别是上的点，且．求证：．
【变式】（22-23八年级上·河北石家庄·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F．
（1）当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）；
（2）当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【题型2】“等腰三角形含半角”模型
【例2】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，．
（1）求证：．
（2）求证：平分．
【变式】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使．设．
（1）如图1，如果___________度；
（2）如图2，你认为之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）当点在直线上移动时，之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B、C、E三点不共线）
【题型3】“正方形含半角”模型
【例3】如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
【变式】将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．
（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．
第三部分【拓展延伸】
【例1】（22-23八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】
如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________．
【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________．
【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系．
【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．
（1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：．
（2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
小明第（1）问的证明步骤是这样的：
延长到Q使，连接，
证出得到，；
再证，得到，证出，即．
请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题12.15 三角形全等几何模型（半角模型）
第一部分【知识点归纳】
【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。
【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两边相等。
【类型】如下图，有三类型半角模型
【解题思路】
半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是SAS型）解题，具体步骤如下：
（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题 时通常不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；
（2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）；
（3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）；
（4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】“等边三角形含半角”模型
【例1】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，分别是上的点，且．求证：．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长至点G，使，连接，先证明，得到；再证明，进而证明，得到，则．
证明：如图，延长至点G，使，连接．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【变式】（22-23八年级上·河北石家庄·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F．
（1）当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）；
（2）当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
【答案】(1) (2)以上结论不成立，应为，证明见详解
【分析】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）延长至点使，连接，分别证明根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；
（2）延长至G，使仿照（1）的证明方法解答．
（1）解：，
理由如下：延长至点使，连接，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：以上结论不成立，应为，
理由如下：延长至G，使
由（1）可知，，
∴
，
∴，
∵
∴
∴
∴
【题型2】“等腰三角形含半角”模型
【例2】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，．
（1）求证：．
（2）求证：平分．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；
（1）延长到，使，连接．先说明，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答；
（2）根据（1）的结论可得，，即可得出，即可得证．
（1）证明：延长到，使，连接．
，，
．
，．
．
．
又，
．
．
．
；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分．
【变式】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使．设．
（1）如图1，如果___________度；
（2）如图2，你认为之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）当点在直线上移动时，之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B、C、E三点不共线）
【答案】(1)； (2)；(3)图象见详解；；
【分析】（1）先证明（），则可得，根据，可知；
（2）已知，则，则，根据则．
（3）连接，作使得，，连接、：根据，，可得，证明，进而可得，则，由此可证明之间存在数量关系为；
（1）解：在与中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴
∴
故答案为：；
（2）解：已知，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
（3）解：连接，作使得，，连接、，可得下图：
∵，
，
∴；
在和中，
，
∴；
∴；
∴，
∴之间存在数量关系为．
【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理，找出相应的判定条件是解决本题的关键．
【题型3】“正方形含半角”模型
【例3】如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析．
【分析】（1）根据题意补全图形即可．
（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明．
（1）补全图形
（2）BE+DF=EF．
证明：延长FE到H,使EH=EF
∵BE⊥AP，
∴AH=AF，
∴∠HAP=∠FAP=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∠BAD=90°
∴∠BAP+∠2=45°，
∵∠1+∠BAP=45°
∴∠1=∠2，
∴△ABH≌△ADF，
∴DF=BH，
∵BE+BH=EH=EF，
∴BE+DF=EF．
【点拨】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
【变式】将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF．
（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；
（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．
【答案】（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）线段EF的长为或．
【分析】（1）延长FD至G，使DG=BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△GAF≌△EAF即可；
（2）在DC上截取DH=BE，连接AH，先证△ADH≌△ABE，再证△HAF≌EAF即可；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
解：（1）结论：EF=BE+DF．
理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠DAF+∠DAG=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（AAS），
∴EF=GF，
∴GF=DF+DG=DF+BE，
即：EF=DF+BE；
（2）结论：EF=DF-BE．
理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，
∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，
∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，
∴∠DAH+∠BAF=45°，
∴∠HAF=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△HAF≌EAF（SAS），
∴HF=EF，
∵DF=DH+HF，
∴EF=DF-BE；
（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：
设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．
在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，
∴x=，
∴EF=x+2=．
②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，
设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，
∵K为BC边的中点，
∴CK=BC=2，
同理可证△ABK≌FCK（SAS），
∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2，
∴x=，
∴EF=8-=．
综上，线段EF的长为或．
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
第三部分【拓展延伸】
【例1】（22-23八年级上·湖北武汉·开学考试）【基本模型】
如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________．
【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________．
【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系．
【答案】【基本模型】；【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：．
【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
（2）结论：，证明方法同法（1）；
（3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解．
解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
故答案为：；
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
故答案为：；
（3）结论：．
理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则，
，，，，
又，
，
，
又，
，
、、三点共线，
在和中，，
，
，
又，
．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。
【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．
（1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：．
（2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
小明第（1）问的证明步骤是这样的：
延长到Q使，连接，
证出得到，；
再证，得到，证出，即．
请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．
【答案】(1)见解析(2)图2成立；图3不成立，见解析
【分析】（1）延长到Q使，连接，先证明，证出得到，；再证，得到，证出，即
（2）在图2仿照（1）的解法证明即可，图3也可以仿照（1）证明，只是结论不成立．
本题考查了三角形全等的判定和性质，半角模型的应用，熟练掌握半角模型，构造半角模型是解题的关键．
（1）如图，延长到Q使，连接，
∵，，，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
（2）图2成立，图3不成立．
证明：如图2，延长到K使，连接，
∵，，，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
如图3，如图，延长到Q使，连接，
∵，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
