专题12.12 三角形全等几何模型（一线三等角）（精选精练）
（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，三点在同一条直线上，，，，则下列结论错误的是（ ）
A．与互余 B．
C． D．
3．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（ ）
A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm
4．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点A坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会，会标中的图案如图，其中的四边形和都是正方形，则的理由是（ ）．
A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．（2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点处有一激光发射器，激光照射到点处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点处的接收器上，若入射角，，则点处的接收器到轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（17-18八年级上·河南郑州·期中）如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是( )
A．50 B．44 C．38 D．32
10．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，且，，是上两点，，．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（21-22八年级上·山西吕梁·期中）如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是 cm．
12．（20-21八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系内，OA⊥OC ，OA=OC，若点A的坐标为(4，1)，则点C的坐标为
13．（2022·四川成都·二模）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．
14．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，则△ABD的面积为 ．
15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，两根旗杆间相距12米，某人从点B沿走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为，且．已知旗杆的高为9米，该人的运动速度为1米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 秒．
16．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，．
17．（19-20八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ．
18．（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．
20．（8分）如图，，于点A，D是线段AB上的点，，．
（1）判断与的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点D在线段的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
21．（10分）如图，在中，．
（1）如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：．
（2）如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！
22．（10分）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．
（1）当时， °， °；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当等于多少时，，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．
23．（10分）（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
（2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点；
②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，在中，，三点都在直线m上，且．
（1）如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________；
（2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系；
（3）如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页专题12.12 三角形全等几何模型（一线三等角）（精选精练）
（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，三点在同一条直线上，，，，则下列结论错误的是（ ）
A．与互余 B．
C． D．
3．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（ ）
A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm
4．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点A坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会，会标中的图案如图，其中的四边形和都是正方形，则的理由是（ ）．
A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．（2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点处有一激光发射器，激光照射到点处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点处的接收器上，若入射角，，则点处的接收器到轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（17-18八年级上·河南郑州·期中）如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是( )
A．50 B．44 C．38 D．32
10．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，且，，是上两点，，．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（21-22八年级上·山西吕梁·期中）如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是 cm．
12．（20-21八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系内，OA⊥OC ，OA=OC，若点A的坐标为(4，1)，则点C的坐标为
13．（2022·四川成都·二模）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则 ．
14．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，则△ABD的面积为 ．
15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，两根旗杆间相距12米，某人从点B沿走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为，且．已知旗杆的高为9米，该人的运动速度为1米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 秒．
16．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以每秒的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，．
17．（19-20八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ．
18．（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．
20．（8分）如图，，于点A，D是线段AB上的点，，．
（1）判断与的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图2，若点D在线段的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
21．（10分）如图，在中，．
（1）如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：．
（2）如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！
22．（10分）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．
（1）当时， °， °；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当等于多少时，，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．
23．（10分）（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．
【模型应用】
（2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点；
②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，在中，，三点都在直线m上，且．
（1）如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________；
（2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系；
（3）如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】由题意易得，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴；
∴，，
∴，
故选C．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
2．D
【分析】利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答.
【详解】∵,
∴, ,
∵,
∴, 故错误；
∴, 故正确；
∴, 故正确；
在和中,
，
∴, 故正确；
故选:.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件是解题的关键.
3．C
【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长．△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为∠BCE的余角，AC=BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD的长即可．而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；
∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，
∴△ACD≌△CBE；
∴EC=AD，BE=DC；
∵DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是3cm．
故选C．
【点拨】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
4．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．过C作直线轴，过B作于E，过A作于D，于是得到，得到，根据全等三角形的性质得到，根据点，点，得到，于是得到结论．
【详解】解：过C作直线轴，过B作于E，过A作于D，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
∴．
故选：D．
5．D
【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案．
【详解】解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．
6．B
【分析】由正方形的性质知，，由同角的余角相等知，，又有，故根据证得．
【详解】证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∵，
在与中，
，
∴．
故选：B．
【点拨】本题利用了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定，学生要以常用的几种判定方法掌握并灵活运用．
7．C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果．
【详解】解：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
故选：C．
8．C
【分析】
本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C作轴于点M，证明得出，进一步得出即可
【详解】解：过点C作轴于点M，如图，
则
根据题意得
∴
∴
又
∴
∴
∴
即点C处的接收器到轴的距离为3，
故选：C
9．D
【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC和面积公式代入求出即可．
【详解】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，
∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°，
∴∠FEA=∠BAM，
在△FEA和△MAB中
，
∴△FEA≌△MAB（AAS），
∴AM=EF=6，AF=BM=3，
同理CM=DH=2，BM=CH=3，
∴FH=3+6+2+3=14，
∴梯形EFHD的面积===56，
∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC
=
=32．
故选D．
【点拨】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．
10．B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
由可得，由，可得，，从而，进而证得，可得，，推出，代入数据即可解答．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：B
11．28
【分析】作CD⊥OB于点D，依据AAS证明,GMF，再根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：过点C作CD⊥OB于点D，如图，
∴
∵是等腰直角三角形
∴AB=CB，
∴
又
∴
在和中，
∴
∴
故答案为：28．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
12．（-1，4）
【分析】过点A和点C作x轴的垂线，垂足为D，E，证明△COE≌△OAD，得到OE=AD，CE=OD，再根据点A的坐标可得结果．
【详解】解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足为D，E，
∵∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°，
又∠CEO=90°，
则∠COE+∠OCE=90°，
∴∠OCE=∠AOD，
在△COE与△OAD中，
，
∴△COE≌△OAD（AAS），
∴OE=AD，CE=OD，
∵点A的坐标为（4，1），
∴OD=4，AD=1，
∴CE=OD=4，OE=AD=1，
∴点C的坐标为（-1，4），
故答案为：（-1，4）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是利用已知条件，作出辅助线，证明全等．
13．7
【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；
【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°．
∴∠EBA=∠CAF．
在△AEB和△CFA中
∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△AEB≌△CFA．
∴AE=CF，BE=AF．
∴AE+AF=BE+CF．
∴EF=BE+CF．
∵，
∴；
故答案为：7．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．
14．36．
【分析】作DE⊥DB交AB于E，EF垂直AC于F，则∠DEB=90°-∠ABD=45°，证出AE=DE=DB，通过证明△AEF≌△BCD，得出BC==AF=AD=6，由三角形面积公式即可得出答案．
【详解】作DE⊥DB交AB于E，EF垂直AC于F，如图所示：
则∠DEB=90°-∠ABD=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DB=DE，
∵∠ABD=2∠BAC=45°，
∴∠BAC=22.5°，
∴∠ADE=∠DEB-∠BAC=22.5°=∠BAC，
∴AE=DE=DB，
∵∠AFE=90°，
∴F是AD中点，AF=FD，
又∵∠C=90°，
∴∠CBD=90°-45°-22.5°=22.5°，
在Rt△AEF和Rt△BCD中
∴Rt△AEF≌Rt△BCD（AAS），
∴AF=BC=AD=6，
∴△ABD的面积S=AD×BC=×12×6=36；
故答案为：36．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式的的计算，熟记特殊三角形的判定和性质定理是解题关键．
15．3
【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴米，
（米），
∵该人的运动速度米/秒，
他到达点M时，运动时间为（秒）．
故答案为：3．
16．或
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，分当点在射线上移动时，，当点在射线上移动时，，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
如图，
当点在射线上移动时，，
∵点从点出发，在直线上以的速度移动，
∴移动了：；
当点在射线上移动时，，
∵点从点出发，在直线上以的速度移动，
∴移动了：；
综上所述，当点在射线上移动或时，，
故答案为：或
17．4cm.
【分析】过点E作EF⊥AN于F，先利用AAS证出△ABC≌△FCE，从而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用AAS证出△DCM≌△EFM,从而求出CM的长.
【详解】解：过点E作EF⊥AN于F，如图所示
∵AN⊥AB，△BCE和△ACD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE，AC=CD
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，
∴∠ABC =∠FCE，
在△ABC和△FCE中
∴△ABC≌△FCE
∴AB=FC=8cm，AC=FE
∴CD= FE
在△DCM和△EFM中
∴△DCM≌△EFM
∴CM=FM=FC=4cm.
故答案为：4cm.
【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS证两个三角形全等是解决此题的关键.
18．6
【分析】本题属于全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
证明≌，推出与面积相等，可得结论．
【详解】解：在等腰三角形中，，，
与等高，底边比值为，
与的面积比为．
的面积为，
与的面积分别为和，
，
．
，，，
，
．
在和中，
，
，
与面积相等，
与的面积之和为的面积，
与的面积之和为．
故答案为：．
19．全等，理由见解析
【分析】首先证明，即可证明，即可解题．
【详解】全等，理由如下：
，，
∴，．
∴；
在和中，
∴．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键．
20．(1)，
(2)成立，见解析
【分析】（1）根据题意可直接证明，即可得出结论；
（2）仿照（1）的证明过程推出，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，，
在与中，
，
，，
在中，，
，
，
，
综上可知，；
（2）解：成立，理由如下：
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即，
；
（1）中结论仍然成立．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
21．(1)见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导，最后证明，直接可证．
（2）利用及是的外角，可以推出，再利用可以判定，再利用全等的性质导边即可证明．
【详解】（1）证明：∵于点M，于点N；
∴；
∴；
∵，
∴；
∴；
在和中，
∴；
∴，；
∴．
（2）成立．理由如下：
设；
∴；
∴；
在和中；
∴；
∴，；
∴；
故成立．
22．(1)；；小
(2)当时，
(3)可以；的度数为或
【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小；
（2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得；
（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：，
，
点D从B向C运动时，逐渐变小，
故答案为：；；小．
（2）解：当时，，
理由：，
，
又，
∴，
，
又，，
；
（3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形；
理由：时，
，
，
，，
，
是等腰三角形；
时，
，
，
，
，
的形状是等腰三角形．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．（1），；（2）见解析；（3）存在，或
【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识；
（1）由全等三角形的性质可得出答案；
（2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出；
（3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可知，
，，
故答案为：，；
（2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
同理可得：．
，
，
在和中，
，
，
，
点是的中点．
（3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知，
，，
，
，
；
当点在轴负半轴上时，同理可得．
综上所述，点的坐标为或．
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明得；
（2）由（1）同理可得，得，可得答案；
（3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），
由（1）同理可得，
∴，
∴；
（3）存在，当时，
∴，
∴，此时；
当时，
∴
∴，，
综上：或．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
