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专题12.17 构造三角形全等方法——截长补短和倍长中线
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们在两个合适的三角形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍截长补短法和倍长中线法.
【知识点一】截长补短法
截长法：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证明剩下的线段与另一短边相等。
补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后证明新线段与最长的已知线段的关系。
【知识点二】倍长中线法
倍长中线：是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】截长补短
【例1】已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．
【变式2】如图所示，AD平分∠BAC，P是射线AD上一点，P与A不重合，．
求证：．
【题型2】倍长中线
【例2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围．
【变式1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．
(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造，并证明．
②求证：．
【变式2】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为，且的长是．
(1)求的长；
(2)求长度的取值范围；
(3)若，是的中点，如图，直接写出的面积．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例】（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是
2、拓展延伸
【例1】课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【例2】（22-23八年级上·广东汕头·期末）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．
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专题12.17 构造三角形全等方法——截长补短和倍长中线
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们在两个合适的三角形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍截长补短法和倍长中线法.
【知识点一】截长补短法
截长法：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证明剩下的线段与另一短边相等。
补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后证明新线段与最长的已知线段的关系。
【知识点二】倍长中线法
倍长中线：是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】截长补短
【例1】已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)；(2)10
【分析】（1）由题意，根据，即可解决问题；
（2）在上截取，连接．只要证明，推出，，再证明，推出，由此即可解决问题．
（1）解：、分别为的角平分线，
，，
，
；
（2）解：在上截取，连接．
、分别为的角平分线
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD．
【答案】证明见解析．
【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．
解：延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
【变式2】如图所示，AD平分∠BAC，P是射线AD上一点，P与A不重合，．
求证：．
【分析】在AC上截取AE=AB，连接PE，利用SAS可证明△BAP≌△EAP，可得PB=PE，利用三角形的三边关系即可得答案．
解：在AC上截取AE=AB，连接PE，
∵AD平分，
∴．
在和中，
∴．
在中，，
∵，AE=AB，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的三边关系，正确作出辅助线构建全等三角形并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
【题型2】倍长中线
【例2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论．
解：如图，延长到，使，连接，
∵是的中线，
，
在与中，
，
，
，
，
，即，
．
【变式1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题：
(1)求证：和是兄弟三角形．
(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造，并证明．
②求证：．
【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出；
②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
解：（1）证明：，
，
又，，
和是兄弟三角形；
（2）证明：①延长至，使，
为的中点，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
∴，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
【变式2】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为，且的长是．
(1)求的长；
(2)求长度的取值范围；
(3)若，是的中点，如图，直接写出的面积．
【答案】(1)； (2)；(3)
【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，全等三角形的性质与判定；
（1）根据三角形的中线的性质，得出，根据题意得出，即可求解；
（2）倍长中线，延长至，使得，连接，证明，得出，，进而根据三角形的三边关系，即可求解．
（3）根据三角形的面积公式求得，进而根据三角形的中线的性质，即可求解．
（1）解：∵是的中点，
∴，
∵和的周长之差为，
∴，
∵的长是．
∴；
（2）解：如图所示，延长至，使得，连接，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴
∴，
在中，，即
∵，
∴
（3）解：∵，
∴
∵是的中点，
∴，
∵是的中点，
∴．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例】（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
【详解】如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
2、拓展延伸
【例1】课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；
（2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
解：（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，即平分．
【点拨】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
【例2】（22-23八年级上·广东汕头·期末）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．
【答案】（1），；（2）见解析；（3），
【分析】（1）延长至，使，连接，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可；
（2）延长至点，使，连接，利用“”证明，易得，可知为的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，然后由三角形的三边关系可证明结论；
（3）延长于，使得，连接，延长交于，首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，可得，，进而可证明．
解：（1）如图1，延长至，使，连接，
∵为边上的中线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据三角形三边关系可得：，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）如图2中，延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴；
（3）结论：，，
如图3，延长于，使得，连接，延长交于，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形内角和定理、三角形中线、垂直平分线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
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