专题12.16 三角形全等几何模型（半角模型）（精选精练）
（专项练习）
1．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
2．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长．
3．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，．
(1)求证：．(2)求证：平分．
4．问题背景：
如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，他的结论应是 ；（并写出证明过程）
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且是的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
5．（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：．
（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
6．【问题引领】
问题1：如图1．在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小王祠学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接．先证明，再证明．他得出的正确结论是______．
【探究思考】
问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形中，，，，问题1的结论是否仍然成立 请说明理由．
【拓展延伸】
问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段，，之间存在的等量关系是______．
7．（）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小明同学探究的方法是：延长到点．使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是________（直接写结论，不需证明）；
（2）如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图，四边形是边长为的正方形，，直接写出三角形的周长．
8．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使．设．
(1)如图1，如果___________度；
(2)如图2，你认为之间有怎样的数量关系？并说明理由．
(3)当点在直线上移动时，之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B、C、E三点不共线）
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析．
【分析】（1）根据题意补全图形即可．
（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）补全图形
（2）BE+DF=EF．
证明：延长FE到H,使EH=EF
∵BE⊥AP，
∴AH=AF，
∴∠HAP=∠FAP=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∠BAD=90°
∴∠BAP+∠2=45°，
∵∠1+∠BAP=45°
∴∠1=∠2，
∴△ABH≌△ADF，
∴DF=BH，
∵BE+BH=EH=EF，
∴BE+DF=EF．
【点睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
2．的周长为6．
【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．
【详解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．
【点睛】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；
（1）延长到，使，连接．先说明，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答；
（2）根据（1）的结论可得，，即可得出，即可得证．
【详解】（1）证明：延长到，使，连接．
，，
．
，．
．
．
又，
．
．
．
；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分．
4．（1），证明过程见解析（2）成立，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
（1）先利用“”判断得到，，再证明，接着根据“”判断，所以，从而得到；
（2）结论仍然成立，证明方法与（1）相同．
【详解】解：（1），证明如下：
如下图，延长到点，使得，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如下图，延长到点，使得，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
5．（1）见解析；（2）结论仍然成立；理由见解析
【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
（1）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论；
（2）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论．
【详解】证明：如图，延长到，使，连接，
则，
又，
∴，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图，延长到，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
6．问题1：；问题2：问题1中结论仍然成立，理由见解析；问题3：结论：．
【分析】问题1，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到；
问题2，延长到点G．使．连接，先判断出，进而判断出，再证明，最后用线段的和差即可得出结论；
问题3，在上取一点G．使．连接，然后同问题2的方法即可得出结论．
【详解】解：问题1，如图1，延长到点G．使．连接，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ；
故他得到的正确结论是：；
问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，
理由：延长到点G．使．连接，
∵ ，，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ；
即；
问题3．结论：，理由如下：
如图3，在上取一点G．使．连接，
∵ ，，
∴，即 ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∴，即，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴．
即．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．
7．（）；（）结论仍然成立，；（）．
【分析】（）延长到点，使，连结，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题；
（）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解．
【详解】（1）延长到点，使，连结，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接，
∵，
∴，
同（）理：，
∴，，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，延长到，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．
8．(1)；
(2)；
(3)图象见详解；；
【分析】（1）先证明（），则可得，根据，可知；
（2）已知，则，则，根据则．
（3）连接，作使得，，连接、：根据，，可得，证明，进而可得，则，由此可证明之间存在数量关系为；
【详解】（1）解：在与中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴
∴
故答案为：；
（2）解：已知，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
（3）解：连接，作使得，，连接、，可得下图：
∵，
，
∴；
在和中，
，
∴；
∴；
∴，
∴之间存在数量关系为．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理，找出相应的判定条件是解决本题的关键．专题12.16 三角形全等几何模型（半角模型）（精选精练）
（专项练习）
1．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
2．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长．
3．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，．
(1)求证：．(2)求证：平分．
4．问题背景：
如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，他的结论应是 ；（并写出证明过程）
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且是的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
5．（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：．
（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
6．【问题引领】
问题1：如图1．在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小王祠学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接．先证明，再证明．他得出的正确结论是______．
【探究思考】
问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形中，，，，问题1的结论是否仍然成立 请说明理由．
【拓展延伸】
问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段，，之间存在的等量关系是______．
7．（）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．
小明同学探究的方法是：延长到点．使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是________（直接写结论，不需证明）；
（2）如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图，四边形是边长为的正方形，，直接写出三角形的周长．
8．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使．设．
(1)如图1，如果___________度；
(2)如图2，你认为之间有怎样的数量关系？并说明理由．
(3)当点在直线上移动时，之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B、C、E三点不共线）
试卷第1页，共3页
