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专题12.19 角平分线相关的几何模型（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【模型归纳】
【模型1】角平分线+两边垂线=全等三角形
【基本条件】OP平分AOB，PMOA，PNOB，垂足分别为M、N，如图1.
【模型结论】Rt POM Rt PON
图1
【模型2】角平分线+垂线=全等三角形（等腰三角形）
【基本条件】OP平分AOB，CDOP，垂足为P，如图2.
【模型结论】Rt POC Rt POD.
图2
【模型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形
【基本条件】OP平分COD，PC=PD.
【模型结论】 POC POD.
图3
【模型4】角平分线+平行线=等腰三角形
【基本条件】OP平分MON，AB//ON.
【模型结论】 AOB为等腰三角形.
图4
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线+两边垂线=全等三角形
【例1】（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，和的平分线交于点E，过点E作于点于点G．
(1)试说明：．
(2)猜想之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点作，交于点，根据角平分线的性质可得，即可求证；
（2）先证明，得到，同理可得：，即可求解．
（1）证明：过点作，交于点，如图：
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵平分，，，
∴，，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴．
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】A
【分析】根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可．
解：过点E作，如图所示：
由题意可知：平分，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
【变式2】（2024·重庆·三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作交的延长线于点F，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长．
解：过点C作交的延长线于点F，
∵平分，于点E，于F，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：
【题型2】角平分线+垂线=全等三角形
【例2】（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．
【答案】见解析
【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出△CFE≌△CBE，从而得到BE＝EF＝BF，然后证明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出结论．
证明：分别延长BE、CA交于点F，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠FEC＝90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE．
在△CFE与△CBE中，
∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△CFE≌△CBE，
∴BE＝EF＝BF．
在△CFE与△CAD中，
∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°，
∴∠F＝∠ADC．
在△BFA与△CDA中，
∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，
∴△BFA≌△CDA，
∴BF＝CD．
∴BE＝CD．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键．
【变式1】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
根据，求出，，从而求得，再根据三角形全等证明即可．
解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
．
故选：B．
【变式2】（2024·安徽蚌埠·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E，若，则（1） ；（2）的周长是 ．
【答案】
【分析】（1）由角平分线的性质得点D到的距离相等，然后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）延长交于，根据ASA证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，证明得到，然后根据得到，然后根据三角形周长公式求解即可．
解：（1）是的角平分线，
∴点D到的距离相等，
；
（2）延长交于
平分
在和中，
，
，
∴，
∴，
．
故答案为：（1）；（2）．
【点拨】本题考查了三角形全等判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各部分知识点是本题的关键．
【题型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形
【例3】（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，．
求证：是的平分线．
小星的解答如下：
证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步
(1)小星的解答从第 步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的证明过程．
【答案】(1)一 (2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
过点P作，于点D，E，根据证明，即可得到，然后根据角平分线的判定定理即可得到结论．
解：（1）小星的解答从第一步开始出现错误，故答案为：一；
（2）证明：过点P作，于点D，E，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的平分线．
【变式1】（22-23八年级上·吉林白城·期中）如图，在中，平分交于点D，在上截取，则的周长为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】利用已知条件证明，得到，从而，即可求得的周长．
解：∵是的平分线，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明．
【变式2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，若，，则 ．
【答案】/度
【分析】在上取，连接，，首先利用证明，得，，再证明，进而可得．
解：在上取，连接，，
平分，
，
又，
，
，，
，
，
，
、的平分线相交于点，
平分，
．
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题型4】角平分线+平行线=等腰三角形
【例4】（2024·广西·一模）如图，已知，平分．
(1)尺规作图：作的平分线交于点O，交于点D；（要求：保留作图浪迹，不写作法，标明字母）
(2)求证：．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的尺规作图，角平分线的定义和平行线的性质：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义分别证明，，据此可利用证明．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
【变式1】（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在四边形中，，若的角平分线交于，连接，且平分，则下列结论：①；②为的中点；③；④其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】①由角平分线的定义即可求解；延长，交于点，可证、，即可判断②③④．
解：①∵
∴
∵平分，平分
∴
∴
故①正确；
②延长，交于点，如图所示：
∵
∵
即为的中点
故②正确；
∵
∴
故③正确；
∴
∴
故④正确；
故选：D
【点拨】本题重点考查了全等三角形的判定与性质．正确作出辅助线是解题关键．
【变式2】下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程： 已知：如图，直线 l 和直线 l 外一点 A
求作：直线 AP，使得 AP∥l
作法：如图
①在直线 l 上任取一点 B（AB 与 l 不垂直），以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线 l
交于点 C．
②连接 AC，AB，延长 BA 到点 D；
③作∠DAC的平分线AP．
所以直线AP就是所求作的直线，
根据小星同学设计的尺规作图过程，完成下面的证明证明：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB （填推理的依据）
∵∠DAC 是△ABC 的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB
∴∠DAC＝2∠ABC
∵AP 平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAP
∴∠DAP＝∠ABC
∴AP∥l （填推理的依据）
【答案】 （等边对等角）； （同位角相等，两直线平行）．
【分析】首先要根据角平分线的尺规作图即，再分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．
解：（1）如图所示，直线即为所求．
（2）证明：，
（等边对等角），
是的外角，
.
，
平分，
，
，
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：（等边对等角）；（同位角相等，两直线平行）．
【点拨】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案
解：∵，
∴，
由作图知，平分，
∴，
又
∴
故选：B
【例2】（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
（3）作射线交直线于点；若，则 度．
【答案】58
【分析】由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案．
解：由作图得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质，由作图得到平分是解题关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
(1)求证：平分
(2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
（1）根据是的角平分线和，为边上的高，可得，由得，即可证明；
（2）过点E作于点M，于点N，由角平分线性质可以得，由与的面积相等可得，证明，得出，，
即可得出，再根据垂直模型证明，即可得出结论．
（1）证明：∵为边上的高，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：平分．
（2）过点E作于点M，于点N，
平分，且，，
．
，
，
平分，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
为边上的高，
，
，
．
在和中，
．
.
【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现：
思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D、E，测量、并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程．
（1）已知：点P是的平分线上一点，过点P作于点D，于点E．求证：．
【知识应用】（2）如图2，的平分线与的外角的平分线相交于点O，过点O作于点D，于点E，连接．
①证明：平分；
②若，则________．
【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②
【分析】（1）根据条件证明，从而．
（2）①过点O作于点F， 由（1）的结论易证，根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得到平分；
②根据三角形的内角和，再利用角平分线的定义和“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”，推导出，从而求解．
（1）证明：平分，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）①证明：过点O作于点F，
是的平分线，，，
，
是的平分线，，，
，
，
，，
平分，
②平分，平分，
，，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、角平分线的性质和判定以及三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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专题12.19 角平分线相关的几何模型（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【模型归纳】
【模型1】角平分线+两边垂线=全等三角形
【基本条件】OP平分AOB，PMOA，PNOB，垂足分别为M、N，如图1.
【模型结论】Rt POM Rt PON
图1
【模型2】角平分线+垂线=全等三角形（等腰三角形）
【基本条件】OP平分AOB，CDOP，垂足为P，如图2.
【模型结论】Rt POC Rt POD.
图2
【模型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形
【基本条件】OP平分COD，PC=PD.
【模型结论】 POC POD.
图3
【模型4】角平分线+平行线=等腰三角形
【基本条件】OP平分MON，AB//ON.
【模型结论】 AOB为等腰三角形.
图4
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线+两边垂线=全等三角形
【例1】（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，和的平分线交于点E，过点E作于点于点G．
（1）试说明：．
（2）猜想之间的数量关系，并说明理由．
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【变式2】（2024·重庆·三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为 ．
【题型2】角平分线+垂线=全等三角形
【例2】（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．
【变式1】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·安徽蚌埠·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E，若，则（1） ；（2）的周长是 ．
【题型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形
【例3】（2024·江苏南通·二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，．
求证：是的平分线．
小星的解答如下：
证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步
（1）小星的解答从第 步开始出现错误；
（2）请写出你认为正确的证明过程．
【变式1】（22-23八年级上·吉林白城·期中）如图，在中，平分交于点D，在上截取，则的周长为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，若，，则 ．
【题型4】角平分线+平行线=等腰三角形
【例4】（2024·广西·一模）如图，已知，平分．
（1）尺规作图：作的平分线交于点O，交于点D；（要求：保留作图浪迹，不写作法，标明字母）
（2）求证：．
【变式1】（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在四边形中，，若的角平分线交于，连接，且平分，则下列结论：①；②为的中点；③；④其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【变式2】下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程： 已知：如图，直线 l 和直线 l 外一点 A
求作：直线 AP，使得 AP∥l
作法：如图
①在直线 l 上任取一点 B（AB 与 l 不垂直），以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线 l
交于点 C．
②连接 AC，AB，延长 BA 到点 D；
③作∠DAC的平分线AP．
所以直线AP就是所求作的直线，
根据小星同学设计的尺规作图过程，完成下面的证明证明：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB （填推理的依据）
∵∠DAC 是△ABC 的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB
∴∠DAC＝2∠ABC
∵AP 平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAP
∴∠DAP＝∠ABC
∴AP∥l （填推理的依据）
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
（3）作射线交直线于点；若，则 度．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
（1）求证：平分
（2）如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现：
思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D、E，测量、并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程．
（1）已知：点P是的平分线上一点，过点P作于点D，于点E．求证：．
【知识应用】（2）如图2，的平分线与的外角的平分线相交于点O，过点O作于点D，于点E，连接．
①证明：平分；
②若，则________．
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