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专题12.21 全等三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
一般三角形 直角三角形
判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL）
性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）
备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等
【知识点一】全等三角形的判定与性质
【知识点二】全等三角形的证明思路
【知识点三】角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
【知识点四】全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.
1． 证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.
(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3) 等式性质.
2． 证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明.
(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.
(3) 利用角平分线的判定进行证明.
(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.
(5) 对顶角相等.
3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
4． 辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
5. 证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用全等三角形的性质与判定求值或证明
【例1】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点 ，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】（）由为中点得，然后用“”证明即可；
（）由，得， 三角形的内角和得，最后由平行线的性质即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【变式1】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，根据，求出，再根据三角形全等证明即可．
解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ．
【答案】5
【分析】先根据证明，则可得，即可求出的长．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
解：∵、是 的高，
，
，，
，
在和中
，
，
，，
，
，
又，
，
．
故答案为：5.
【题型2】添加辅助线证明三角形全等并求值
【例2】（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．
（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；
（2）结论：，证明方法同法（1）．
解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
【变式1】（20-21八年级上·陕西咸阳·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【答案】B
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG=4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．
解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，
∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠COG=∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG=AF=BD=4米，
设AO=x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，
解得x=8.5．
则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）．
故选：B．
【点拨】考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【变式2】如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ．
【答案】4cm.
【分析】过点E作EF⊥AN于F，先利用AAS证出△ABC≌△FCE，从而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用AAS证出△DCM≌△EFM,从而求出CM的长.
解：过点E作EF⊥AN于F，如图所示
∵AN⊥AB，△BCE和△ACD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE，AC=CD
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，
∴∠ABC =∠FCE，
在△ABC和△FCE中
∴△ABC≌△FCE
∴AB=FC=8cm，AC=FE
∴CD= FE
在△DCM和△EFM中
∴△DCM≌△EFM
∴CM=FM=FC=4cm.
故答案为：4cm.
【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS证两个三角形全等是解决此题的关键.
【题型3】全等三角形的动态问题
【例3】（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 中， 射线 点P为射线上的动点(点P不与点A重合)，连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后， 得到线段， 连接、．
(1)试说明 的理由；
(2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化 若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)；
(3)当时， 过点Q作垂直射线， 垂足为E，那么 (用m、 n的代数式表示) ．
【答案】(1)理由见解析 (2)不改变， (3)
【分析】（1）先证明，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等；
（2）先证明，得到，，再计算出的值，再证明，最后根据三角形外角定理即可求得的大小；
（3）证明是的角平分线，根据角平分线定理得到，，再根据，，即可得到和，根据三角形面积公式进行计算即可．
（1）证明：根据旋转的性质得到，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如下图所示，连接，
∵，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴大小不改变，且；
（3）解：如下图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查全等三角形的判断和性质、三角形外角定理、直角三角形的性质和角平分线定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定条件．
【变式1】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，，垂足为，并且，，，，点是边上一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，由三角形的内角和定理和角的和差求出，角平分线的性质定理得，垂线段定义证明最短，求出长的最小值为．
重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．
解：过点作交于点，如图所示：
，
，
又，，，，
，
是的角平分线，
又，，
，
又，
，
又点是直线外一点，
当点在上运动时，点运动到与点重合时最短，其长度为长等于，
即长的最小值为．
故选：．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）．
【答案】6或12或18
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质是解题关键．
此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分两种情况或进行计算即可．
解：①当在线段上，时，，
，
，
，
∴的运动时间为秒；
②当在线段上，时，，
这时，因此时间为0秒（舍去）；
③当在上，时，，
，
，
，
点的运动时间为(秒)；
④当在上，时，，
，
，
，
点的运动时间为(秒)，
∴点的运动时间为6或12或18．
故答案为：6或12或18．
【题型4】全等三角形的综合问题
【例4】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题．
(1)【问题初探】如图1：在中，，，为边上的中线，则的取值范围为__________．
(2)【类比分析】如图2：在中，，，是的中线，于点C，且．求的长度．
(3)【拓展延伸】如图3：在中，于点F，在右侧作于点A，且，在左侧作于点A，且，连接DE，延长交于点O．求证：点O为中点．
【答案】(1) (2)18 (3)证明见解析
【分析】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质：
（1）延长到点，使，连接，证明，得到，再根据在中，，即，求解即可；
（2）延长到点F，使，连接，先证明，得到，，再证明E、C、F三点共线，得到，然后证明，得到解决问题；
（3）过点E作交延长线于M，先证明，得到，再证明，得到，即可得出结论．
（1）解：如图，延长到点，使，连接，
∵为边上的中线，
，
，
，
，
中，
∴，
，
；
（2）解：延长到点F，使，连接，如图4，
∵为边上的中线，
，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴E、C、F三点共线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）证明：过点E作交延长线于M，如图4，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴O为中点．
【变式1】（23-24八年级上·重庆渝中·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，，，下列说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等．
根据已知条件，结合图形依据“”可判定和全等，故①正确；与不一定相等，故无法证明，故②错误；由定理可知，故③正确；由①可知，再根据三角形的面积公式，然后由可知④正确．
解：①在和与中，
∴，故①正确；
②∵与不一定相等，
∴无法证明，故②错误；
③由①知，
在与中，
∴，
∴，故③正确；
④由③知，
又
故④正确，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，延长到E，使得，连接，过点A作，且．连接与的延长线交于D点，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题重点考查了全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
作，交的延长线于点，可证明，得，因为，所以以，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案．
解：作，交的延长线于点，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故答案为：．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则 ．
【答案】2
【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案．
解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数；
，
解得：，
故答案为：．
【例2】（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，．
(1)如图1，点在延长线上，且．
①若，求的长；
②判断和的关系，并证明；
(2)如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长．
【答案】(1)①8；②且，证明见详解 (2)3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）①利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由，即可获得答案；②延长，交与，由全等三角形的性质可得，结合，，易得，即可证明；
（2）首先证明，由全等三角形的性质可得，易得，故当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，再证明，由全等三角形的性质可得，故，即可获得答案．
（1）解：①∵，动点，分别在边和射线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
②且，证明如下：
如下图，延长，交与，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
如下图，
当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【例2】（23-24七年级下·重庆·期末）在中，和的角平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【分析】（）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解；
（）在上截取，连接，证明，，再根据性质即可求证；
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
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专题12.21 全等三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
一般三角形 直角三角形
判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL）
性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）
备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等
【知识点一】全等三角形的判定与性质
【知识点二】全等三角形的证明思路
【知识点三】角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
【知识点四】全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.
1． 证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.
(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3) 等式性质.
2． 证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明.
(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.
(3) 利用角平分线的判定进行证明.
(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.
(5) 对顶角相等.
3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
4． 辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
5. 证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用全等三角形的性质与判定求值或证明
【例1】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点 ，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
【变式1】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ．
【题型2】添加辅助线证明三角形全等并求值
【例2】（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式1】（20-21八年级上·陕西咸阳·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【变式2】如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ．
【题型3】全等三角形的动态问题
【例3】（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 中， 射线 点P为射线上的动点(点P不与点A重合)，连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后， 得到线段， 连接、．
(1)试说明 的理由；
(2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化 若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)；
(3)当时， 过点Q作垂直射线， 垂足为E，那么 (用m、 n的代数式表示) ．
【变式1】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，，垂足为，并且，，，，点是边上一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）．
【题型4】全等三角形的综合问题
【例4】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题．
(1)【问题初探】如图1：在中，，，为边上的中线，则的取值范围为__________．
(2)【类比分析】如图2：在中，，，是的中线，于点C，且．求的长度．
(3)【拓展延伸】如图3：在中，于点F，在右侧作于点A，且，在左侧作于点A，且，连接DE，延长交于点O．求证：点O为中点．
【变式1】（23-24八年级上·重庆渝中·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，，，下列说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【变式2】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，延长到E，使得，连接，过点A作，且．连接与的延长线交于D点，则的长为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则 ．
【例2】（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，．
(1)如图1，点在延长线上，且．
①若，求的长；
②判断和的关系，并证明；
(2)如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长．
【例2】（23-24七年级下·重庆·期末）在中，和的角平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
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