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专题12.3 三角形全等的判定（SSS与SAS）
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形全等的判定方法——边边边（SSS）
（1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
（2）书写格式：
如图，在△ABC和△中，
（3）书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来
【知识点二】三角形全等的判定方法——边角边（SAS）
（1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
（2）书写格式：
如图，在△ABC和△中，
（3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【知识点三】找等角和等边常用途径
（1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤平行线的性质得到相相等等.
（2）找等角的常用途径：①公共边相等；②对顶角相等；③等边加（减）等边，其和（差）相等；④由中线得到的线段相等等等.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用SSS证明三角形全等
【例1】如图，.
求证：（1）； （2）
【答案】（1）见解析；（2）理由见解析.
【分析】（1）证明三角形即可解题, （2）利用全等得到∠A=∠D,即可解题.
（1）证明：
，即
在和中，
（2）
理由如下：由（1）得：
（内错角相等，两直线平行）
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和平行线的判定,属于简单题，熟悉全等三角形的判定方法和平行线的判定定理是解题关键.
【变式1】如图，AB=CD，BD=AC，用三角形全等的判定“SSS”可证明 ≌ 或 ≌ ．
【答案】 △ABC △DCB △ABD △DCA
解答：△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA，理由是：
∵在△ABC和△DCB中
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
同理△ABD≌△DCA，
故答案为△ABC，△DCB，△ABD，△DCA．
【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，点为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；④连接并延长交于点．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查尺规作角，全等三角形的判定和性质，三角形的外角和，解题的关键是根据题意，则，则，根据，三角形的外角和，即可．
解：由作图可知，在和中，
，
∴，
∴，即，
∴．
故选：D．
【题型2】用SSS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值
【例2】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，交于点．
（1）线段与有怎样的数量关系？证明你的结论．
（2）与有怎样的数量关系？证明你的结论．
【答案】(1)，见解析 (2)，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边、三角形的外角性质：
（1）先通过证明，得，然后结合等角对等边，即可作答．
（2）根据以及三角形的外角性质，即可作答．
（1）解：，理由如下：
∵
∴
∴
；
（2）解：，理由如下：
由（1）知
∵
．
【变式1】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，由题意可证，可得，再根据三角形内角和即可得．
证明：如图，设交于点，
在和中，
，
，
，
，,，
．
故答案为：．
【变式2】（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据证明，得出即可得出答案．
解：∵在和中
，
∴，
∴．
故选：A．
【题型3】用SAS证明三角形全等
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图，，请添加一个条件，使．
（1）你添加的条件是______（只需添加一个条件）；
（2）利用（1）中添加的条件，求证：．
【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由题意得到，推出，，再根据判定定理得添加一个条件为，即可使；
（2）根据三角形全等的判定定理证明即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，，
由得添加一个条件为，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）证明：，
，
，
即，
在和中，
，
．
【变式1】（22-23八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，，，将绕D逆时针旋转90°至，连接AE，若，则的面积是 ．
【答案】3
【分析】由旋转可得，可求得，可求得的面积．
解：如图，过D作于点H，过E作交的延长线于F，则四边形是矩形，，
∴，
∴
∴，
∴，且，
∴，
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等图形是解题的关键．
【变式2】如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法：
①；
②和面积相等；
③；
④；
⑤．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．5个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
解：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确
∴，故①正确，
∵，
∴，故⑤正确，
∴，故③正确，
∵，点A到的距离相等，
∴和面积相等，故②正确，
综上所述，正确的有5个，
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键．
【题型4】用SAS证明三角形全等与三角形性质综合
【例4】（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，．
（1）如图1，试说明：
①；
②；
（2）当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)，证明见解析
【分析】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
（1）①根据已知条件得到，根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形性质得到即可得到结论；
（2）根据角的和差得到，根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论．
（1）解：①证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∴；
（2）猜想：，
证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴
【变式1】（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ．
【答案】/140度
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键．
设交于点G，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，则，于是得到问题的答案．
解：设交于点G，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（ ）
A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先通过和都是等腰直角三角形，得出再证明，结合面积公式代入数值，进行计算，即可作答．
解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
故选：B．
【题型5】通过用SSS和SAS证明三角形全等进行求值
【例5】（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
解：连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1】（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
【答案】3
【分析】证明，得到，即可得解．
解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，首先证明，根据全等三角形的性质可得，，再证明，．解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
解：在和中
，
，
，，
在和中
，
，
在和中
，
，
综上，图中全等三角形共有3对，
故选：C．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．
求证：．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题．
证明：，
，即，
在和中，
，
．
【例2】（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.
（1）先证明，再结合已知条件可得结论；
（2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论.
（1）证明：∵
∴，即
∵，
∴
（2）∵，，
∴，
∵，
∴
2、拓展延伸
【例1】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF
（1）若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
（2）若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
（3）若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析.
【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.
证明：（1）∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF.
（2）成立.理由如下：
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF.
（3）AD与CB不一定平行，理由如下：
∵只给了两组对应相等的边，
∴不能判定△ADE≌△CBF，
∴不能判定∠A与∠C的大小关系，
∴AD与CB不一定平行，
【点拨】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
【例2】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于．
（1）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：
①；
②；
（2）当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长．
【答案】(1)见解析，见解析；(2)．
【分析】（1）由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案；
由得到，，即可求出答案；
（）与（）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案，
本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
证明：由（）知：，
∴，，
∵，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
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专题12.3 三角形全等的判定（SSS与SAS）
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形全等的判定方法——边边边（SSS）
（1）基本事实：三条边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
（2）书写格式：
如图，在△ABC和△中，
（3）书写强调：在书写两个三角形全等时的条件“边角边”时，要按照边角边的顺序来书写，即要把夹角写在中间，以突出两边及其夹角分别相等；在列举三角形全等时，一般把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧，并用大括号将其括起来
【知识点二】三角形全等的判定方法——边角边（SAS）
（1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
（2）书写格式：
如图，在△ABC和△中，
（3）重点强调：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【知识点三】找等角和等边常用途径
（1）找等角的常用途径：①公共角相等；②对顶角相等；③等角加（减）等角，其和（差）相等；④同（等）角的余（补）角相等；⑤平行线的性质得到相相等等.
（2）找等角的常用途径：①公共边相等；②对顶角相等；③等边加（减）等边，其和（差）相等；④由中线得到的线段相等等等.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用SSS证明三角形全等
【例1】如图，.
求证：（1）； （2）
【变式1】如图，AB=CD，BD=AC，用三角形全等的判定“SSS”可证明 ≌ 或 ≌ ．
【变式2】（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，点为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；④连接并延长交于点．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型2】用SSS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值
【例2】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，交于点．
（1）线段与有怎样的数量关系？证明你的结论．
（2）与有怎样的数量关系？证明你的结论．
【变式1】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，．若，则 ．
【变式2】（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【题型3】用SAS证明三角形全等
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图，，请添加一个条件，使．
（1）你添加的条件是______（只需添加一个条件）；
（2）利用（1）中添加的条件，求证：．
【变式1】（22-23八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，，，将绕D逆时针旋转90°至，连接AE，若，则的面积是 ．
【变式2】如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法：
①；
②和面积相等；
③；
④；
⑤．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．5个 C．3个 D．4个
【题型4】用SAS证明三角形全等与三角形性质综合
【例4】（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，．
（1）如图1，试说明：
①；
②；
（2）当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
【变式1】（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（ ）
A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6
【题型5】通过用SSS和SAS证明三角形全等进行求值
【例5】（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
【变式1】（2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
【变式2】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．
求证：．
【例2】（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
2、拓展延伸
【例1】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF
（1）若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
（2）若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
（3）若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
【例2】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于．
（1）当直线绕点旋转到图的位置时，求证：
①；
②；
（2）当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长．
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