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专题12.7 全等三角形的判定（HL）（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）
（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
（2）书写格式：
如图，在Rt△ABC和△Rt中，
【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法
判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.
【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路
已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；
已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;
已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用“HL”证明直角三角形全等
【例1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，
（1）求证：；
（2）若，求的度数
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理：
（1）先证，再证即可；
（2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
（1）证明：，，
和是直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
【变式1】如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由图示可知为公共边，若想用判定证明和全等，必须添加．
解：∵，，
∴，
.，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意；
.，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
.，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
.，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
故选：．
【点拨】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，，于点D，于点E，，若，则 ．
【答案】/度
【分析】证得，即可求解；
解：∵，，
∴是直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查三角形的全等证明及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
【题型2】全等的性质与“HL”综合
【例2】（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知：如图为的高，为上一点，交于且有，．
（1）问与的数量和位置关系分别是什么？并说明理由．
（2）直接写出的度数．
【答案】(1)，，见解析； (2)
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键．
（1）由已知得，由，，，根据“”证明，得，所以，则；
（2）由全等三角形的性质得，而，所以．
解：（1），，
理由：由已知得，
为的高，
于点，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）的度数是，
理由：由（1）得，
，
，
．
【变式1】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，中，，于点D，于点F，交于点E，，连接交于点G．下列结论：①；②；③．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，外角的性质，先根据，，证明，得到，，，结合，，继而得到，得，判断即可．
解：∵，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
故①②③都正确．
故选D．
【变式2】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，M为边的中点，于点E ，于点F，且．若，则 °．
【答案】50
【分析】证明，可得，利用三角形内角和计算即可得答案．此题考查了直角三角形全等的证明方法和性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键．
解：∵M为边的中点，于点E ，于点F，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：50．
【题型3】全等三角形的综合问题
【例3】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】(1)见详解； (2)1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由角平分线的定义以及垂直的定义，利用即可证明；
（2）先利用证明，得到，继而得到，而，则，即可求解．
（1）证明：∵平分，
∴．
又∵，，
∴．
在和中：
，，，
∴．
（2）解：∵平分且，，
∴．
∵
∴，
∵
∴
∴
即
在和中
，，
∴．
∴．
又∵，，
即，
又∵，
∴．
∴．
∴．
【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明得出，即可判断①②；证明即可判断③；证明得出，即可判断④，从而得出答案．
解：，，，
，
，，故②正确，符合题意；
，即，故①正确，符合题意；
，
，
，，
，故③正确，符合题意；
，
，
，
，
，
，，
，
，
和不一定相等，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①②③，
故选：A．
【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，平分，，，以下四个结论：
①，
②，
③，
④．正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由即可判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明，可判断②；不能证明与不一定全等，即可判断③；根据和互余，和互余，而，可得，即可判断④．
解：∵，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，而与不一定垂直，
∴与不一定全等，
故与不一定相等，故③错误；
∵，
∴和互余，和互余，而，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·陕西·中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
【点拨】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
【例2】（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
解：如图，
由图可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选C．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，从点O引射线，，点A，B分别在射线，上，点C为平面内一点，连接，，有．
（1）如图1，若，则和的位置关系是______；
（2）如图2，若，，请求出和的度数的等量关系式；
（3）在（2）的条件下，过点C作交射线于点D，当时，求的度数．
【答案】(1)； (2)；(3)
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质、三角形的外角性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到，结合题意判定，根据全等三角形的性质得出，即可判定；
（2）根据全等三角形的性质及题意得到，再利用三角形内角和定理及三角形外角性质即可得解；
（3）根据三角形外角性质、平行线的性质及题意即可得解．
（1）证明：，过程如下
，
，
在和中，
，
，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
由（2）得，，
，
．
【例2】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：．
（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）结论仍然成立；理由见解析
【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
（1）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论；
（2）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论．
证明：如图，延长到，使，连接，
则，
又，
∴，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图，延长到，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
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专题12.7 全等三角形的判定（HL）（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）
（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
（2）书写格式：
如图，在Rt△ABC和△Rt中，
【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法
判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.
【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路
已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；
已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;
已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用“HL”证明直角三角形全等
【例1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，
（1）求证：；
（2）若，求的度数
【变式1】如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，，于点D，于点E，，若，则 ．
【题型2】全等的性质与“HL”综合
【例2】（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知：如图为的高，为上一点，交于且有，．
（1）问与的数量和位置关系分别是什么？并说明理由．
（2）直接写出的度数．
【变式1】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，中，，于点D，于点F，交于点E，，连接交于点G．下列结论：①；②；③．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式2】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，M为边的中点，于点E ，于点F，且．若，则 °．
【题型3】全等三角形的综合问题
【例3】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，平分，，，以下四个结论：
①，
②，
③，
④．正确的是 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·陕西·中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．
【例2】（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，从点O引射线，，点A，B分别在射线，上，点C为平面内一点，连接，，有．
（1）如图1，若，则和的位置关系是______；
（2）如图2，若，，请求出和的度数的等量关系式；
（3）在（2）的条件下，过点C作交射线于点D，当时，求的度数．
【例2】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：．
（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
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