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专题12.9 角平分线的性质（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】角的平分线的性质
(1)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)符号语言：
OC平分∠ADB，
又PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，
PE=PF
【知识点二】角的平分线的判定
(1)判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(2)符号语言：
PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，
又PE=PF
OC平分∠ADB，
【知识点三】角的平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用角平分线性质定理进行求值与证明
【例1】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）证明，即可证明结论成立； （2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立．
（1）证明：∵，
∴
，
∴
∵
（2）证明：∵，
∴
平分，，
【变式1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，平分，点P是射线上一点，交于点M，点N是射线上的一个动点，连接．若，则的长度不可能是（ ）
A．18 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关键．
过点作，如图所示，由角平分线的性质可得，根据点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，从而得到答案．
解：过点作，如图所示：
平分，点是射线上一点，于点，，
由角平分线性质可得，
点射线上的一个动点，连接，
由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，
综合四个选项可知，的长度不可能是，
故选：D．
【变式2】（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为3，且的周长为20，则的面积为 ．
【答案】30
【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．过O作于M，于N，连接，利用角平分线的性质求得，然后利用求解即可．
解：过O作于M，于N，连接，
∵点O到边的距离为3，
∴，
∵的周长为20，
∴
∵，的平分线交于点O，，，
∴，
∴
，
故答案为：30．
【题型2】利用角平分线判定定理进行求值与证明
【例2】如图，于于F，若，
（1）求证：平分；
（2）已知，求的长．
【答案】(1)见详解 (2)12
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案．
（1）证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式1】如图，在中，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作于点E，作于点F，根据可证，从而可知是的平分线，进而可求出的度数．
解：如图，作于点E，作于点F，
∵，
∴．
∵，，
∴
∴，
∴是的平分线．
∴．
故选C．
【变式2】6．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分；
过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答．
解：过点E作，如图所示：
三角形的外角和的平分线交于点E，
，
，
，
平分，
，
故答案为：．
【题型3】综合运用角平分线性质定理与判定定理进行证明与求值
【例3】如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程．
【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)②
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定与性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题．
（1）欲证明，只要证明；
（2）由，推出，由可得；
（3）结论：②；作于于J．利用角平分线的判定定理证明即可．
（1）证明：∵
∴
即
在和中，
∴
∴．
（2）证明：∵
∴
∵
又，
，
∴，
∴
（3）解：结论：②
理由：作于于J．
∵
∴
∴ ，
∴，
∵作于K，于J，
∴
不妨设①成立，则，则显然不可能，故①错误．
故答案为：②．
【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作于N，根据角平分线的性质得出，进而得出．
解：作于N，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴，
又，，
∴，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于 ．
【答案】/34度
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先根据角平分线的判定与性质得出平分，然后利用三角形外角的性质，即可求解．
解：过点D作于H，于E，于F，
∵的平分线与的外角平分线交于点，
∴，，
∴平分，
∴，
∵，
∴
，
故答案为：．
【题型4】通过作图（作角平分线）进行求值或证明
【例4】（23-24八年级上·广东珠海·期中）请回答下列问题：
（1）如图1，已知，利用直尺和圆规，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）如图2所示，是的角平分线分别是上的点，且，求证：．
【分析】（1）根据角平分线的基本作图方法作图即可；
（2）过点作于点，作于点，证明，得出，即可得出答案．
（1）解：如图，作的平分线交于点；
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
则，
平分，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
．
【点拨】本题主要考查了角平分线的基本作图，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，补角的性质，解题的关键作图辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
【变式1】（2024·湖南湘西·模拟预测）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6 B．11 C．14 D．28
【答案】C
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案．
解：由基本作图得到平分，
∴点E到和的距离相等，
∴点E到的距离等于的长度，即点E到的距离为4，
∴．
故选：C．
【变式2】（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，．
解：作图可知平分，
∵是边上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】1．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案
解：∵，
∴，
由作图知，平分，
∴，
又
∴
故选：B
【例2】．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
解：如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
（1）求证：平分
（2）如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
（1）根据是的角平分线和，为边上的高，可得，由得，即可证明；
（2）过点E作于点M，于点N，由角平分线性质可以得，由与的面积相等可得，证明，得出，，
即可得出，再根据垂直模型证明，即可得出结论．
（1）证明：∵为边上的高，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：平分．
（2）过点E作于点M，于点N，
平分，且，，
．
，
，
平分，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
为边上的高，
，
，
．
在和中，
．
.
【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现：
思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D、E，测量、并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程．
（1）已知：点P是的平分线上一点，过点P作于点D，于点E．求证：．
【知识应用】（2）如图2，的平分线与的外角的平分线相交于点O，过点O作于点D，于点E，连接．
①证明：平分；
②若，则________．
【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②
【分析】（1）根据条件证明，从而．
（2）①过点O作于点F， 由（1）的结论易证，根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得到平分；
②根据三角形的内角和，再利用角平分线的定义和“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”，推导出，从而求解．
（1）证明：平分，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）①证明：过点O作于点F，
是的平分线，，，
，
是的平分线，，，
，
，
，，
平分，
②平分，平分，
，，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、角平分线的性质和判定以及三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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专题12.9 角平分线的性质（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】角的平分线的性质
(1)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)符号语言：
OC平分∠ADB，
又PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，
PE=PF
【知识点二】角的平分线的判定
(1)判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(2)符号语言：
PE⊥AD，PF⊥BD，垂足为E、F，
又PE=PF
OC平分∠ADB，
【知识点三】角的平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用角平分线性质定理进行求值与证明
【例1】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
【变式1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，平分，点P是射线上一点，交于点M，点N是射线上的一个动点，连接．若，则的长度不可能是（ ）
A．18 B． C．6 D．
【变式2】（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为3，且的周长为20，则的面积为 ．
【题型2】利用角平分线判定定理进行求值与证明
【例2】如图，于于F，若，
（1）求证：平分； （2）已知，求的长．
【变式1】如图，在中，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】6．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ．
【题型3】综合运用角平分线性质定理与判定定理进行证明与求值
【例3】如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程．
【变式1】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于 ．
【题型4】通过作图（作角平分线）进行求值或证明
【例4】（23-24八年级上·广东珠海·期中）请回答下列问题：
（1）如图1，已知，利用直尺和圆规，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）如图2所示，是的角平分线分别是上的点，且，求证：．
【变式1】（2024·湖南湘西·模拟预测）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6 B．11 C．14 D．28
【变式2】（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】1．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【例2】．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
（1）求证：平分
（2）如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现：
思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D、E，测量、并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程．
（1）已知：点P是的平分线上一点，过点P作于点D，于点E．求证：．
【知识应用】（2）如图2，的平分线与的外角的平分线相交于点O，过点O作于点D，于点E，连接．
①证明：平分；
②若，则________．
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