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专题13.10 最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【模型一： 两定交点型】如图1，直线和的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；
图1
【模型二： 两定一动型】如图2，直线和的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小（同侧转化为异侧）；
图2
【模型三： 一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。
图3
【模型四： 两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。
图4
【模型五： 一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图5
【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图6
【考点1】两定一动型； 【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【考点3】一定两动（垂线段最短）型； 【考点4】两定两动型；
【考点5】一定两动（等线段）转化型；.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点1】两定一动型；
【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上的一个动点，则周长的最小值 ．
【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，，P为内一点，A为上一点，B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是 ．
【考点3】 一定两动型（垂线段最短）；
【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，，点P、Q分别是边、上的动点，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．
【考点4】两定两动型；
【例4】如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式】（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ．
【考点5】一定两动（等线段）转化型；
【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（ ）
A．75° B．90° C．95° D．105°
【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ．
【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
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专题13.10 最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【模型一： 两定交点型】如图1，直线和的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；
图1
【模型二： 两定一动型】如图2，直线和的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小（同侧转化为异侧）；
图2
【模型三： 一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。
图3
【模型四： 两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。
图4
【模型五： 一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图5
【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图6
【考点1】两定一动型； 【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【考点3】一定两动（垂线段最短）型； 【考点4】两定两动型；
【考点5】一定两动（等线段）转化型；.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点1】两定一动型；
【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B关于直线的对称点为点C，故当点P与点D重合时，的值最小，即可得到周长最小．
解：∵垂直平分，
∴点B，C关于对称．
∴当点P和点D重合时，的值最小．
此时，
∵，
周长的最小值是，
故选：C．
【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上的一个动点，则周长的最小值 ．
【答案】24
【详解】 设与的交点为点F，连接，先根据折叠的性质可得，，，，再根据两点之间线段最短可得当点E与点F重合时，周长最小，进而求解即可．
解：如图，设与的交点为点F，连接，，
由折叠的性质得：，，，，
，
周长，
要使周长最小，只需最小，
由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，最小值为，
∴周长为：．
故答案为：24．
【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，，P为内一点，A为上一点，B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间线段最短的知识画出图形是解题的关键．
如图：作P点关于的对称点，连接，此时的周长最小为，求出即可．
解：如图：作P点关于的对称点，然后连接，
∵点与点P关于直线对称，点与点P关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由三角形的内角和定理可知：，
∴，
∴．
故选：B．
【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是 ．
【答案】18
【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
解：如图，连接，过点作交的延长线于，
∵，且，
∴，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
面积的最小值是
故答案为：18．
【考点3】 一定两动型（垂线段最短）；
【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，，点P、Q分别是边、上的动点，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】作过于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，进行求解即可．
解：作过于的对称点，过点作，交于点，交于点，
∵，
∴当三点共线时，最小，
∵垂线段最短，
∴时，最小，
连接，
∵关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴；
故选B．
【点拨】本题考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称，解决线段和最小，以及点到直线，垂线段最短，是解题的关键．
【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，全等三角形的性质和判定，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案．
解：如图，在上截取，连接，，
是的平分线，
在与中
点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时，
是动点，
也是动点，当与垂直时，最小，即最小．
此时，由面积法得．
故答案为：．
【考点4】两定两动型；
【例4】如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出.
解：∵，平分，
∴，
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，
则，，，，，
∴，，，，
当在一条直线上，且时，取最小值，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D.
【点拨】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键.
【变式】（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，
，，
，
，
故答案为：．
【考点5】一定两动（等线段）转化型；
【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（ ）
A．75° B．90° C．95° D．105°
【答案】C
【分析】先构造△CFH全等于△AEC，得到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE，当FH+BF最小时，即是BF+CE最小时，此时求出∠AFB的度数即可．
解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接HB，交AC于F，此时△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小，
∵AC=BC，
∴CH=AC，
∵∠HCB=90°，AD⊥BC，
∴AD//CH，
∵∠ACB=50°，
∴∠ACH=∠CAE=40°，
∴△CFH≌△AEC，
∴FH=CE，
∴FH+BF=CE+BF最小，
此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度．
【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键．
解：∵点是边的中点，
∴，
在上取点，使得，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ．
【答案】12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6
∴2∴2∴则的最大值与最小值的差为12．
故答案为：12
【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．
【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】12
【分析】过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，在中，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：
在中，，
，
，
当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
是等边三角形，
，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
的最小值为12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题．
解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形
∵，
∴的最大值为14，
故选：C．
【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，等边三角形的性质与判定等等，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，根据轴对称的性质可得，，，，则可得，进一步可得当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形，则根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小，利用面积法求出的长即可得到答案．
解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵周长，
∴当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形，
∴，
根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小，
∵的面积是，，即，
∴，即周长最小6，
故选C．
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