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专题13.1 轴对称（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】轴对称图形
轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
【要点提示】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【知识点二】轴对称
1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
【要点提示】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【知识点三】轴对称与轴对称图形的性质
1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【知识点四】线段的垂直平分线
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】轴对称图形的识别
【例1】（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在四边形中，，点分别在，上，．
（1）判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）；
（2）求证：．
【答案】(1)是 (2)见解析
【分析】（1）连接，证明得到，证明，即可得到答案；
（2）由（1）得，即可得到答案．
解：（1）如图，连接，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
该图形沿直线折叠后能够完全重合，
该图形是轴对称图形，
故答案为：是；
（2）证明：由（1）得，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称图形的定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【变式1】下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对称图形的是 ．
【答案】直角梯形
【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形概念进行分析即可；
解：线段、角、圆、等腰三角形和正方形都能找到一条(或多条) 直线，使图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
直角梯形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
所以不是轴对称图形的是直角梯形，
故答案为：直角梯形．
【题型2】成轴对称的两个图形的识别与判断
【例2】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）图中点的对应点是点______，的对应边是______；
（2）若，，求的度数．
【答案】(1)， (2)
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算．
（1）本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可．
（2）本题根据轴对称性质推出，从而得出，最后根据即可解题．
（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是，
故答案为：，．
（2）解：，
，
，
．
【变式1】（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．
解：A．图案不成轴对称，故不符合题意；
B．图案成轴对称，故符合题意；
C．图案不成轴对称，故不符合题意；
D．图案不成轴对称，故不符合题意；
故你：B．
【变式2】（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】5
【分析】根据轴对称的性质解决问题即可；
解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，
∴S△CEF=S△BEF，
∴阴影部分的面积=S△ABC=×10=5，
故答案为：5；
【点拨】本题考查轴对称的性质，轴对称的两个图形是全等图形；掌握轴对称的性质是解题关键．
【题型3】由轴对称的性质特征求值
【例3】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，O为内部一点，，P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点．
（1）请指出当是什么角度时，会使得的长度等于7？并完整说明的长度为何在此时等于7的理由．
（2）承（1）小题，请判断当不是你指出的角度时，的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
【答案】(1)时，．证明见解析 (2)的长度小于7，理由见解析
【分析】本题考查轴对称的性质、三角形的三边关系，（1）连接、，根据轴对称的性质可得，，然后判断出点P、B、R三点共线时，再根据平角的定义求解；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．
解：（1）如图，时，，证明如下：
连接、，
∵P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点，
∴，，
∵，
，
∴点P、B、R三点共线，
∴；
（2）的长度小于7，理由如下：
当，则点P、B、R三点不在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
即的长度小于7．
【变式1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关键．
利用轴对称图形的性质得出，，结合图形即可求解．
解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，
，，
，，
，，
∵，
∴，
故选：D．
【变式2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用平行线的性质得到，则由平角的定义可得，然后根据轴对称的性质得到，则可得∠CDB的度数，进而问题可求解．
解：∵
∴，
∴,
∵点B关于直线的对称点为，
∴，
∴．
故答案为：.
【题型4】利用轴对称的性质求最值
【例4】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．
（1）如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接．
①若，则是什么特殊三角形？为什么？
②若，试判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值．
【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析
(2)的最小值为5．
【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系；
（2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值．
解：（1）①是等边三角形，
∵点P关于对称的点为G，
∴，，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
②，
当时，，
∴G、O、H在同一直线上，．
∵，
∴；
（2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，
∴ 最小值为．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵点Q与关于对称，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即的最小值为5．
【点拨】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·山东日照·期中）已知，点P是内部任意一点，点M，N分别在上，当的周长取得最小值时，，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理．根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可证，，然后证明，利用四边形内角和可得答案．
解：作P关于的对称点C、D，连接CD交于N、M．
此时周长有最小值；
∵P关于的对称点C、D，
∴OB垂直平分垂直平分PD，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在四边形中，可得：，
∴，
∴，即，
故选：D．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，全等三角形的性质和判定，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案．
解：如图，在上截取，连接，，
是的平分线，
在与中
点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时，
是动点，
也是动点，当与垂直时，最小，即最小．
此时，由面积法得．
故答案为：．
【题型5】折叠问题
【例5】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，点M，N分别在长方形纸条的边和上，将长方形纸条沿折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点，，折叠后与相交于点E．
（1）若，求的度数；
（2）设，．
①请用含α的代数式表示β；
②当α的值为_________时，是等边三角形；当α的值为______时，是直角三角形．
【答案】(1) (2)①②，是等边三角形；时，是直角三角形．
【分析】（1）根据题意，得长方形纸条，折叠性质，得，，结合，利用平行线的性质求的度数即可；
（2）①根据(1)得，根据折叠的性质，得即，解答即可．
②根据是等边三角形，得到，结合，解得；当是直角三角形时，．
解：（1）∵将长方形纸条进行折叠，
∴，，
∴
∴，
∵，
∴．
（2）①根据(1)得，根据折叠的性质，得即，
故．
②解：根据是等边三角形，得到，又，
解得；
当是直角三角形时，．
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，平行线的性质，特殊三角形的性质，熟练掌握折叠性质，平行线性质是解题的关键．
【变式1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，在四边形纸片中，，，将纸片折叠，使点C，D落在边上的点，处，折痕为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理，折叠的性质，根据四边形内角和定理得到，进而由折叠的性质得到，再由平角的定义得到，由此利用三角形内角和定理即可求出答案．
解：∵四边形中，，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【变式2】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则 °．
【答案】
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，平角的定义解答即可．本题考查了折叠的性质和平行线的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键．
解：根据折叠的性质，得，
故；
由长方形纸片，
∴，
∴，
故答案为：70．
【题型6】线段垂直平分线的性质
【例6】（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点．
（1）请说明：；
（2）若的面积为4， 求的面积．
【答案】(1)见详解 (2)8
【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后利用证明，再利用证明，从而可得，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
解：（1）平分，
，
垂直平分，
，
，
；
（2）垂直平分，
，，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的面积为4，
的面积的面积，
的面积为8．
【变式1】（2024·吉林·三模）如图，在中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是尺规作角平分线和垂直平分线，熟知角平分线的作法和垂直平分线性质是解答此题的关键．
根据题意得到是的角平分线，垂直平分，进而求解即可．
解：由作图知，是的角平分线，
∴，故A不符合题意；
由作图知垂直平分，
∴，，故C，D不符合题意；
无法证明，故B符合题意，
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ．
【答案】85
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数．
解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：85．
【题型7】线段垂直平分线的判定
【例7】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
（1）求证：点P在线段的垂直平分线上；
（2）已知，求的度数．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
（1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可；
（2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．
解：（1）证明：连接、，
垂直平分，垂直平分，
，，
点P在线段的垂直平分线上；
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，，
，，
在中，，，
，
即，，
在四边形中，，
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，点O为对角线、的交点，在探究筝形性质时，我们得到以下结论：①图中有三对全等三角形．②互相平分．③．其中错误的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积．根据可证明，从而得到，可证明，；再由线段垂直平分线的判定定理可得垂直平分；再由三角形的面积公式可得，即可．
解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴图中有三对全等三角形，故①正确；
∵，，
∴垂直平分，
根据题中的条件无法得到平分，故②错误；
∵，
∴，故③错误；
故选：C
【变式2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．
【答案】/18度
【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答．
解：连接，，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵在正五边形中，，
∴，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了作图﹣作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
利用基本作图得到，平分，，接着证明得到，然后利用求解．
解：由作法得，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【例2】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到，由，得到，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证．
解：（1）证明：为的中点，
．
；
在和中，
；
（2）证明：
垂直平分，
．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长，相交于Q点，证明，则，求出，则可得的度数；当在下方时，延长交于Q点，证明，则．求出，则可得的度数．
本题考查了矩形中的折叠问题，分类讨论，掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．
解：①如图，在上方时，
延长，相交于Q点，
由折叠知：，，
，
，
，
，
，
，，
，
由折叠知：，
，
，
；
②如图，在下方时，
延长，交于Q点，
由折叠知：，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由折叠知：，
，
．
故答案为：或
【例2】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：
①；
②；
③；
④；
⑤若，则．
其中，一定正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】由折叠的性质可得；由折叠的性质可得，，则，，，由，可得，，则，由，可得，则，进而可判断②的正误；由题意知，无法判断与的关系，进而可判断③的正误；由，则，，可得，即，进而可判断④的正误；根据，可得，整理得，即，则，进而可判断⑤的正误；
解：由折叠的性质可得；①正确，故符合要求；
由折叠的性质可得，，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，②正确，故符合要求；
∵，无法判断与的关系，③错误，故不符合要求；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，④正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，⑤正确，故符合要求；
综上：①②④⑤正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
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专题13.1 轴对称（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】轴对称图形
轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
【要点提示】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【知识点二】轴对称
1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
【要点提示】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【知识点三】轴对称与轴对称图形的性质
1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【知识点四】线段的垂直平分线
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】轴对称图形的识别
【例1】（23-24八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在四边形中，，点分别在，上，．
（1）判断该图形是否是轴对称图形 （填“是”或“否”）； （2）求证：．
【变式1】下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对称图形的是 ．
【题型2】成轴对称的两个图形的识别与判断
【例2】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）图中点的对应点是点______，的对应边是______；
（2）若，，求的度数．
【变式1】（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
【题型3】由轴对称的性质特征求值
【例3】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，O为内部一点，，P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点．
（1）请指出当是什么角度时，会使得的长度等于7？并完整说明的长度为何在此时等于7的理由．
（2）承（1）小题，请判断当不是你指出的角度时，的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
【变式1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为 ．
【题型4】利用轴对称的性质求最值
【例4】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．
（1）如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接．
①若，则是什么特殊三角形？为什么？
②若，试判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值．
【变式1】（23-24八年级上·山东日照·期中）已知，点P是内部任意一点，点M，N分别在上，当的周长取得最小值时，，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．
【题型5】折叠问题
【例5】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，点M，N分别在长方形纸条的边和上，将长方形纸条沿折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点，，折叠后与相交于点E．
（1）若，求的度数；
（2）设，．
①请用含α的代数式表示β；
②当α的值为_________时，是等边三角形；当α的值为______时，是直角三角形．
【变式1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，在四边形纸片中，，，将纸片折叠，使点C，D落在边上的点，处，折痕为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间把一张长方形纸片沿折叠，，则 °．
【题型6】线段垂直平分线的性质
【例6】（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，的平分线交于点，垂直平分，垂足为点．
（1）请说明：；
（2）若的面积为4， 求的面积．
【变式1】（2024·吉林·三模）如图，在中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ．
【题型7】线段垂直平分线的判定
【例7】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
（1）求证：点P在线段的垂直平分线上；
（2）已知，求的度数．
【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，点O为对角线、的交点，在探究筝形性质时，我们得到以下结论：①图中有三对全等三角形．②互相平分．③．其中错误的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）．
【例2】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为 ．
【例2】（23-24七年级下·湖北孝感·期末）如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：
①；
②；
③；
④；
⑤若，则．
其中，一定正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
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