专题13.13 轴对称（精选精练）（全章常考知识点分类专题）
【考点目录】
【考点1】识别轴对称图形； 【考点2】利用轴对称图形性质求解；
【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题； 【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；
【考点5】利用轴对称性质求最值； 【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；
【考点7】等腰三角形（三线合一）； 【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；
【考点9】等腰三角形性质与判定求值证明；【考点10】等边三角形的性质与判定求；
【考点11】含30度的直角三角形； 【考点12】课题学习（最短路径问题）.
单选题
【考点1】识别轴对称图形；
1．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）银行是现代金融业的主体，是国民经济运转的枢纽，下列银行标志图案是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形
【考点2】利用轴对称图形性质求解；
3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，和关于直线l对称，l交于点D，若，则五边形的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
4．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点关于点对称的点在x轴上，则m的值为（ ）
A． B． C． D．3
【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，将一张长方形纸条折叠，如果比大，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外面时，此时测得，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；
7．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点5】几何变换（利用轴对称性质求最值）；
9．（15-16八年级上·重庆荣昌·期末）如图，四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（19-20九年级·安徽·阶段练习）如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；
11．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，分别是上的点，且，若，则（ ）°
A．66 B．92 C．96 D．98
12．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
【考点7】等腰三角形（三线合一）；
13．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
14．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，的平分线交于点，平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；
15．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知a，b是等腰三角形的两腰，c为底边，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．或
16．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【考点9】利用等腰三角形的性质与判定求值证明；
17．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
18．（2024·四川泸州·二模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D和点E；②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；③以F为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点G；④过点G作射线交于点H．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点10】利用等边三角形的性质与判定求值证明;
19．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
20．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，，分别以点B，A为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交的延长线于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分线段．其中，正确结论是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【考点11】含30度的直角三角形；
21．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【考点12】课题学习（最短路径问题）.
23．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
24．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
填空题
【考点1】识别轴对称图形；
25．（23-24七年级下·全国·假期作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对称图形的是 ．
26．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，小张和小亮下棋，小张执圆形棋子，小亮执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用表示，两人都将第枚棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放第枚方形棋子的位置可能是 ．
【考点2】利用轴对称图形性质求解；
27．（22-23八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当 时，．
28．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在锐角中，点O为和的角平分线交点，过点O作一条直线l，交线段，分别于点N，点M．点B关于直线l的对称点为，连接，，分别交线段于点E，点F．连接，．若，那么的度数为 （用含有m的代数式表示）．
【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；
29．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向下折叠，点A落在点处，当时， 度．
30．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ．
【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；
31．（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是 ．
32．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为 ．
【考点5】几何变换（利用轴对称性质求最值）；
33．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若点是直线上一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为 ．
34．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 .
【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；
35．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角三角形，连接，若，则 ．
36．（2024八年级上·全国·专题练习）（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ．
【考点7】等腰三角形（三线合一）；
37．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为 ．
38．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰中，点是底边的中点，过点分别作，垂足分别为点，若，则的面积为 ．
【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；
39．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）等腰三角形一个外角是，则该等腰三角形的顶角度数是 ．
40．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形．
【考点9】利用等腰三角形的性质与判定求值证明；
41．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，，D为的垂直平分线上一点，且，，则 ．
42．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为 时，能使？
【考点10】利用等边三角形的性质与判定求值证明.
43．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点，交边于点，若，则的周长为 ．
44．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为G，H，展平纸片，连结，，则与的关系是 ．
【考点11】含30度的直角三角形；
45．（23-24九年级下·青海西宁·开学考试）如图，平分，，，于点，，则 ．
46．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，是等边三角形，．过点A作于点D，点P是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连接，则的最小值为 ．
【考点12】课题学习（最短路径问题）.
47．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ．
48．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且，当取得最小值时，AE的长为 ．
试卷第1页，共3页
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A D A C D C B
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C B C C B C C D A D
题号 21 22 23 24
答案 D B C B
1．D
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
2．D
【分析】此题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【详解】解：A． 圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意；
B． 正方形有4条对称轴，故此选项不符合题意；
C． 梯形中的等腰梯形是轴对称图形，只有1条对称轴，故此选项不符合题意；
D．等边三角形有3条对称轴，故此选项符合题意．
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质．根据轴对称图形的性质，得到每边的长度即可求出周长．
【详解】解：∵和关于直线l对称，l交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴五边形的周长为：．
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，过A作轴于H，则，，由轴对称的性质得到，证明，得到，据此可得答案．
【详解】解：过A作轴于H，
∵点，
∴，，
∵点A与点关于点对称，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了平行线性质及折叠的性质． 根据平行线的性质、折叠的性质得到，进而求出，结合“比大”求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵长方形纸条折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵比大，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
根据折叠的性质得出，根据三角形外角的性质得出，再次利用三角形外角的性质即可求出的度数．
【详解】解：如图，设与交于点，
，
根据折叠的性质，，
，，
，
，
，
故选：．
7．C
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，由作图方法可知，则可证明得到，进一步可证明垂直平分，据此可得答案．
【详解】解：由作图方法可知，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
根据现有条件无法得到，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
故选：D．
9．C
【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、此时的周长有最小值，由对称性求出，则有，即可求．
【详解】
解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，
∵，
∴，，
∴的周长，此时的周长有最小值，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关键．
10．B
【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解．
【详解】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值，
当垂直于即移到位置时，的长度最小，
的最小值即为的长度，
，
，即的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．
11．C
【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，即，同理得出，因为，运用平角性质算出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答．本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及平角，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．
【详解】解：，
，
如图：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在中，
故选：B．
12．B
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过E作于M，
平分，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
13．C
【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，垂线段最短等知识．如图，连接，过点作于点．根据等腰三角形的三线合一的性质得出点与点重合，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断出最后利用三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：如图，连接，过点作于点．
∵为中点，，
∴点与点重合，
垂直平分线段，
，
，
，
，
故选：C．
14．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的判定、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．根据直角三角形的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，由此即可判断①正确；假设成立，可求出，根据已知条件即可判断②错误；先证出，是等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断③正确；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可判断④正确．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，结论①正确；
假设成立，
∵，，
∴，但已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论②错误；
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，是等腰三角形，
∴，垂直平分（等腰三角形的三线合一），结论③正确；
∴，
∴，
∴，
∴，结论④正确；
综上，正确的结论是①③④，
故选：C．
15．B
【分析】该题主要考查了等腰三角形的定义以及整式加减运算，解题的关键是得出．
根据题意得出，代入即可求解；
【详解】解：∵a，b是等腰三角形的两腰，
∴，
∴，
故选：B．
16．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
根据题意分两种情况，当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，讨论求解即可；
【详解】解：分两种情况：
当是锐角三角形时，如图：
是的垂直平分线，
，
，
；
当是钝角三角形时，如图：
是的垂直平分线，
，
，
，
；
综上所述：这个等腰三角形的顶角为或，
故选：C．
17．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
，，
是的平分线，是的平分线，
，，
，，
，都是等腰三角形．故①正确，
，，即有，故②正确，
的周长．故③正确，
不一定相等，故④错误，
故选：C．
18．D
【分析】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，证明，，推出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由作图可知，
∴
∴，
∴
∴，
∴．
故选：D．
19．A
【分析】根据等边可得，再根据可以得出，过点作于点，进而证明全等三角形，将线段一分为二，分别求出两段的长度，进而求出的长度．
【详解】解：等边，
，．
．
，
．
．
过点作于点，
．
，
．
在和中，
．
．
，
．
在中，，
∴，
．
故选：A．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键．
20．D
【分析】连接，，根据等角对等边可得，再利用三角形的外角性质可得，然后根据题意可得：，，从而可得是的垂直平分线，进而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，进而利用三角形的面积公式，进行计算可得，最后再根据等边三角形的判定可得是等边三角形，从而可得，即可解答．
【详解】解：连接，，
，
，
是的一个外角，
，
由题意得：，，
是的垂直平分线，
，
，，
，
，
，，
是等边三角形，
，
所以，上列结论，其中正确的是①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．D
【分析】先根据角的直角三角形的性质得到，证明，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
由题意得：，平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．B
【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解．
【详解】解： ∵，
∴，
由作图知：平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面积为8，
∴的面积是，
故选B．
23．C
【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．
∴，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴M、C、N共线，
∵，
∵，
∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小，
最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
24．B
【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长到点G使得，延长到点F使得，连接交、于点、，则这时的周长最小，根据无变形的内角和求出的度数，根据轴对称的性质得到，，然后计算解题即可．
【详解】解：延长到点G使得，延长到点F使得，
∵，
∴、垂直平分、，
连接交、于点、，
则，，
∴，这时的周长最小，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
故选：B．
25．直角梯形
【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据轴对称图形概念进行分析即可；
【详解】解：线段、角、圆、等腰三角形和正方形都能找到一条(或多条) 直线，使图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
直角梯形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
所以不是轴对称图形的是直角梯形，
故答案为：直角梯形．
26．
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义确定第4枚方形的位置，即可解答．此题主要考查了轴对称图形的性质以及点的坐标，正确得出原点位置是解题关键．
【详解】解：如图：符合题意的点为．
故答案为：．
27．36
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
【详解】解：与关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：36．
28．
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，轴对称性质等知识，
过点O作，，，，，根据角平分线的性质定理得到，然后证明出，得到，，然后求出，然后根据对称的性质得到，进而求解即可．
【详解】如图所示，过点O作，，，，
∵点O为和的角平分线交点，
∴
∵点B关于直线l的对称点为，
∴平分，平分
∴，
∴
∵，
∴
∴
同理可得，
∴
∵点B关于直线l的对称点为，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
29．70
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理．先根据已知条件求出的度数，然后根据折叠可知：∠AED＝∠A′ED＝45°，再利用平行线的性质求出，最后利用三角形内角和求出即可．
【详解】解：由折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：70．
30．/41度
【分析】本题考查了折叠的性质，由长方形和折叠的性质结合题意可求出．再根据，即可求出答案．掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：由长方形的性质可知：
，
∴，
即，
由折叠的性质可知，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
31．/75度
【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得出，推出，由角平分线的定义得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：由作法可得：垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
32．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，延长交于点，过点作，证明，得到，进而得到，证明，得到，再根据等积法，得到，等量代换，即可得出结果．
【详解】解：延长交于点，过点作，
∵，
∴，，
∴，，
∵点P为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
33．
【分析】本题考查了最短线段问题及线段的垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，过点A作，交直线于点G，连接，此时的值最小，根据面积法求得，再根据线段垂直平分线的性质可得答案．
【详解】如图，过点A作，交直线于点G，连接，此时的值最小，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
34．/40度
【分析】本题考查轴对称最短问题、三角形的内角和定理．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，
，，
，
，
，
故答案为：．
35．
【分析】如图所示，过点B作交延长线于E，连接，证明得到，则，再利用面积公式可得答案．
【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于E，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是以B为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
36．2
【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可．
【详解】解： 为，的中点，
，，
又，
，，
，
，
，，
设，
，，
，，
，
解得，
，
故答案为：2．
37．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据平分，，证出，得到，即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
38．
【分析】由等腰三角形的性质得，由，得，根据证明得，，求出的长，进而可求出的面积．
【详解】解：∵点D是等腰的底边的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰三角形的“三线合一”，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．
39．或
【分析】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，要注意分两种情况讨论求解．学会分类讨论思想解决数学问题是解题的关键．根据外角与相邻的内角的和为求这个内角的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【详解】解：一个外角是，
与这个外角相邻的内角是，
当角是顶角时，它的顶角度数是，
当角是底角时，它的顶角度数是，
综上所述，它的顶角度数是或．
故答案为：或．
40．或10
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程解决实际问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
根据点P，Q的移动时间与速度，表示出，的长，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，根据建立方程求解即可．
【详解】解：点P，Q移动时，
，．
分两种情况：
①当点在线段上时，
若是等腰三角形，则，
即，
解得，；
②当点在的延长线上时，
，
若是等腰三角形，又，
则是等边三角形，
∴，
即，
解得，；
综上所述，当或时，是等腰三角形．
故答案为：或10．
41．/36度
【分析】连接，过点D作交于点，与交于点，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，等量代换得出，根据三条边对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等得出，根据等角对等边得出，推得，根据等边对等角得出，结合对顶角相等得出，即，据此设，则，根据三角形内角和定理列出方程，求得，即．
【详解】解：连接，过点D作交于点，与交于点，如图：
∵D为的垂直平分线上一点，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
设，则，
故，
解得：，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角的性质等．熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
42．5或11
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
【详解】解：①点在线段上时，过点作于，如图2所示：
则，
，
平分，
，
又，
∴，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点在线段的延长线上时，过点作于，如图3所示：
同①得：，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使．
故答案为：5或11．
43．15
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质可，从而利用等腰三角形的性质可得，进而利用三角形外角的性质可得，然后结合已知可得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长为15，
故答案为：15，
44．相等
【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握翻折变换的性质、证明三角形全等是解题的关键．由翻折知，垂直平分，则；又由翻折知，，；从而得是等边三角形，则得；再证明得，即可得两角的关系．
【详解】解：由第一次翻折知，垂直平分，
；
又由第二次翻折知，，；
，
是等边三角形，
，
，；
点的对应点为点H，
；
，
，
，
．
故答案为：相等．
45．
【分析】本题主要考查角平分线的性质及含的直角三角形的性质，能够熟练运用性质是解题关键．过作于，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得，即可求得．
【详解】 解：如图，过作于，
∵，，，
∴（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，（在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半），
∴，
故答案是：．
46．1
【分析】连接，先证，则可得，由此可知Q点在过B点且与成角的直线上运动．根据垂线段最短可知，当时，最小，求出的值即可．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及垂线段最短．熟练掌握以上知识，找出Q点的运动轨迹是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵和都是等边三角形，
，，，
，
即，
，
，
∵是等边三角形，，
，，
，
，，
，
∴Q点在过B点且与成角的直线上运动．
当时，最小，
此时，
∴的最小值为1．
故答案为：1．
47．2
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键．
【详解】解：∵点是边的中点，
∴，
在上取点，使得，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
48．
【分析】作，点关于的对称点，过点作的平行线，过点作的平行线，由矩形,，，得到，，，根据对称的性质得到，由，得到，由是平行四边形，得到，，进而得到，由，点到当点在点时，取得最小值，长即为所求，由，求出，由为梯形的中位线，求出，根据，即可求解，
本题考查了，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，特殊角三角函数，梯形的中位线，解题的关键是：通过对称、平移找到．
【详解】解：过点作，垂足为，作点关于的对称点，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，连接与交于点，
∵矩形,，，
∴，，，
∵、关于对称，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
在中，
∴当点在点时，取得最小值，长即为所求，
∵，，
∴，
∴,
∴，
∵为中点，，
∴为梯形的中位线，
∴，
∴，
故答案为：．专题13.13 轴对称（精选精练）（全章常考知识点分类专题）
【考点目录】
【考点1】识别轴对称图形； 【考点2】利用轴对称图形性质求解；
【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题； 【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；
【考点5】利用轴对称性质求最值； 【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；
【考点7】等腰三角形（三线合一）； 【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；
【考点9】等腰三角形性质与判定求值证明；【考点10】等边三角形的性质与判定求；
【考点11】含30度的直角三角形； 【考点12】课题学习（最短路径问题）.
单选题
【考点1】识别轴对称图形；
1．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）银行是现代金融业的主体，是国民经济运转的枢纽，下列银行标志图案是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形
【考点2】利用轴对称图形性质求解；
3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，和关于直线l对称，l交于点D，若，则五边形的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
4．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点关于点对称的点在x轴上，则m的值为（ ）
A． B． C． D．3
【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，将一张长方形纸条折叠，如果比大，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外面时，此时测得，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；
7．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点5】几何变换（利用轴对称性质求最值）；
9．（15-16八年级上·重庆荣昌·期末）如图，四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（19-20九年级·安徽·阶段练习）如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；
11．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，分别是上的点，且，若，则（ ）°
A．66 B．92 C．96 D．98
12．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
【考点7】等腰三角形（三线合一）；
13．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
14．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，的平分线交于点，平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；
15．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知a，b是等腰三角形的两腰，c为底边，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．或
16．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【考点9】利用等腰三角形的性质与判定求值证明；
17．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（ ）
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
18．（2024·四川泸州·二模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D和点E；②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；③以F为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点G；④过点G作射线交于点H．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点10】利用等边三角形的性质与判定求值证明;
19．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
20．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，，分别以点B，A为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交的延长线于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分线段．其中，正确结论是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【考点11】含30度的直角三角形；
21．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【考点12】课题学习（最短路径问题）.
23．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
24．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
填空题
【考点1】识别轴对称图形；
25．（23-24七年级下·全国·假期作业）在线段、角、圆、等腰三角形、直角梯形和正方形中，不是轴对称图形的是 ．
26．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，小张和小亮下棋，小张执圆形棋子，小亮执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用表示，两人都将第枚棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放第枚方形棋子的位置可能是 ．
【考点2】利用轴对称图形性质求解；
27．（22-23八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当 时，．
28．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在锐角中，点O为和的角平分线交点，过点O作一条直线l，交线段，分别于点N，点M．点B关于直线l的对称点为，连接，，分别交线段于点E，点F．连接，．若，那么的度数为 （用含有m的代数式表示）．
【考点3】利用轴对称性质解决折叠问题；
29．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向下折叠，点A落在点处，当时， 度．
30．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为 ．
【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定证明与求值；
31．（23-24九年级下·吉林·开学考试）如图，在中，，的平分线交于点D，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是 ．
32．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为 ．
【考点5】几何变换（利用轴对称性质求最值）；
33．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若点是直线上一动点，是直线上的一动点，，，，，则的最小值为 ．
34．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 .
【考点6】等腰三角形（等边对等角与等角对等边）；
35．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角三角形，连接，若，则 ．
36．（2024八年级上·全国·专题练习）（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ．
【考点7】等腰三角形（三线合一）；
37．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为 ．
38．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等腰中，点是底边的中点，过点分别作，垂足分别为点，若，则的面积为 ．
【考点8】利用等腰三角形求角或边长（分类讨论）；
39．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）等腰三角形一个外角是，则该等腰三角形的顶角度数是 ．
40．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形．
【考点9】利用等腰三角形的性质与判定求值证明；
41．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，，D为的垂直平分线上一点，且，，则 ．
42．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为．过点作于点．在点P的运动过程中，当t为 时，能使？
【考点10】利用等边三角形的性质与判定求值证明.
43．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点，交边于点，若，则的周长为 ．
44．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为G，H，展平纸片，连结，，则与的关系是 ．
【考点11】含30度的直角三角形；
45．（23-24九年级下·青海西宁·开学考试）如图，平分，，，于点，，则 ．
46．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，是等边三角形，．过点A作于点D，点P是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连接，则的最小值为 ．
【考点12】课题学习（最短路径问题）.
47．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ．
48．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且，当取得最小值时，AE的长为 ．
试卷第1页，共3页
