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专题13.15 等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型分类讲解）
第一部分【模型归纳与题型目录】
模型1:角平分线+平行线→等腰三角形
模型2:角平分线+垂线→等腰三角形
模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形
模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形
模型5:等边三角形中含定角问题
模型6:等边三角形中含“手拉手”
模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形
模型8:倍长中线构造等腰三角形
题型目录
【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形..................................3
【题型2】角平分线+垂线（中线）→等腰三角形............................5
【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形..............8
【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形.............11
【题型5】等边三角形中含定角问题......................................14
【题型6】等边三角形中含“手拉手”....................................16
【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形.................................19
【题型8】倍长中线构造等腰三角形......................................23
【题型9】拓展延伸....................................................26
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形
【例1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ．
【答案】4
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，从而得到．
解：是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键．
【变式1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，平分，．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的性质以及三角形外角的性质等知识，根据角平分线定义求出根据平行线的性质得出，由得出，由三角形外角性质得出，从而得出．
解：∵平分，且，
∴
∴
∵，
∴
∵，
∴,
∴，
∴
故选：C．
【变式2】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，的平分线交于点，平分，且交于点，若，则 cm．
【答案】10
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
故答案为：10．
【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形
【例2】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，平分，，垂足为，，若，则的长为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定；延长长于点，根据平分，，证明证出再证明，即可求解；
解：延长长于点，
则，
平分，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，先证，推出，根据等腰三角形“三线合一”可得，根据，可得，通过等量代换即可求解．
解：平分，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
故选C．
【变式2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，平分且于E，，若，的周长为20，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形判定，全等三角形判定及性质，解二元一次方程组．根据题意设，再证明为等腰三角形，利用题干线段周长数据列出二元一次方程组即可得到本题答案．
解：设，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∵，的周长为20，
∴，解得：，
∴，
故答案为：8．
【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形
【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，．在上取一点C，延长到点，使，连结；在上取一点D，延长到点，使，连结；……，按此操作进行下去，在以点为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，，，，……均为等腰三角形，
∴由三角形内角和定理，三角形外角的性质可得，，，，
，，，然后作答即可．
解：由题意知，，，，……均为等腰三角形，
∴由三角形内角和定理，三角形外角的性质可得，，，，
，，，
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设，则，根据等边对等角得出．然后在中，利用三角形内角和定理列出方程，解方程即可求出的大小．
解：设，，则，．
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，∵，
∴＝180°，
解得，
∴．
故答案为：．
【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，交于点，则图中等腰三角形共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．
解：∵，，
∴为等腰三角形，，
∵
∴，
∴，为等腰三角形，
∵平分，
∴，
∴，，
∴为等腰三角形，为等腰三角形，
同理可得：为等腰三角形，为等腰三角形，为等腰三角形．
综上所述：共有七个等腰三角形．
故选C．
【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形
【例4】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，高与角平分线相交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长度．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，对顶角相等，等边三角形的判定和性质．
（1）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出，根据直角三角形两个锐角互余可得，，结合对顶角相等得出，即可证明；
（2）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据等角对等边可得，根据等边三角形的三条边相等可得，根据根据直角三角形中所对的边是斜边的一半求得，即可求解．
解：（1）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
故．
【变式1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点F，求证：是等腰三角形．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形来那个锐角互余，三角形外角性质，角平分线的定义等知识，首先根据直角三角形两锐角互余求得，然后根据三角形外角的性质求得，根据等角对等边求得，从而求得是等腰三角形．
证明：在中，，
，
是边上的高，
，
，
是的角平分线，
，
，即，
，
是等腰三角形．
【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，中，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．正确结论有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质．根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出．
解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵（对顶角相等），
∴，故②正确；
假设，
∵，
∴，
∴，
∴只有时，故③错误；
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴，故④正确．
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴,故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②④⑤．
故选：C．
【题型5】等边三角形中含定角问题
【例5】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，等边中，，和相交于，垂足为，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据定理得出，故可得出，再由三角形外角的性质得到，，再根据可知，根据直角三角形的性质即可得出结论．
解：是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
∴，
，
，
．
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知：如图，点D，E 分别是等边三角形的两边上的点，且.
(1)求证：； (2)求的度数.
【答案】(1)见解析(2)
【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键.
（1）根据等边三角形的性质和已知即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到．利用三角形内角和定理进行解答即可.
解：（1）证明：∵是等边三角形，
∴，．
又∵，
∴．
（2）∵
∴．
∴．
【变式2】（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①；②；
A．① B．② C．①② D．都错
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．由“”可证，根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可求．
解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
故①②正确，符合题意；
故选：C
【题型6】等边三角形中含“手拉手”
【例6】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，A、C、B三点共线，与都是等边三角形，相交于点P，且分别与交于点M，N．
(1)求证： (2)求的度数
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，关键是根据等边三角形的性质解答．
（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据三角形的内角和相等，对顶角相等，即可求解；
解：（1）证明：与都是等边三角形，
，
,
,
在和中
，
（2）解：，
，
在和中，
，
又，
【变式1】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ．
【答案】3
【分析】根据等边三角形的性质，,解答即可．
本题考查了等边三角形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
解：∵是等边三角形，
∴，，
，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
答案为：3．
【变式2】（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及垂线段最短，全等三角形的性质与判定：先通过等边三角形的性质证明，得，因为，所以是等边三角形，则当时，的周长最小，此时，即可作答．
解：∵和都是等边三角形，且，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
则的周长，
∴当时，有最小值，
∵等边三角形的三线合一，
∴．
故答案为：．
【题型7】倍半角→等腰三角形
【例7】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，为上一个动点．
(1)已知，求证：．
下面是两位同学分享的思路：
小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证．
小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形．
请你选择一种思路，完成证明
(2)已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）延长到，使，连接．证得等腰，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
（2）延长到E，使，连接CE，证得等腰和等腰，然后利用等三角形的性质与三角形外角的性质、三角形内角和定理即可求解．
解：（1）证明：延长到，使，连接．
∵，
∴为线段的中垂线，
∴，
∴．
在中，．
又，
∴．
在中，，
∴．
∴
∴．
即．
（2）解：延长到E，使，连接CE，
∵，
∴为线段的中垂线，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
【变式】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，分别为的高，角平分线，下列四个结论：
①；②；③；④．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
在上取一点F，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，再由三角形外角的性质及等量代换即可判断③；在上截取，利用全等三角形的判定和性质及等量代换可判断②③；设，则，分别表示出各个角即可判断④．
解：如图所示，在上取一点F，使得，连接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
如图在上截取，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，故②错误；
设，则，
∴，，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
【题型8】倍长中线构造等腰三角形模型
【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,延长到使得，连接，证明，根据全等三角形的性质可得到，等量代换得到，再由已知条件即可解决问题；
解：如图，延长到使得，连接，
∵是的中线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故选：D．
【变式】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F，若，，则求的度数为 ．
【答案】/32度
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长到G使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，即可得到，进而利用三角形内角和解答即可．
解：如图，延长到G使，连接，
在与中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：
第三部分【拓展延伸】
【题型9】拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·北京·期末）如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论：
①；
②为等腰三角形；
③的周长等于的周长；
④．其中正确的是
【答案】①②④
【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的三边关系等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．
①根据角平分线的定义、平行线的性质，借助于等量代换可求出；
②同理可得②的结论；③用特殊值法，当为等边三角形时，连接，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出，
进而得，便可得出：的周长不等于的周长；
④利用两次三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，进行等量代换，可求的和之间的关系式．
解：①∵是的角平分线，
∴，
又，
，
，故①正确；
②同理，
，
为等腰三角形，故②正确；
③假设为等边三角形，则，如图，连接，
∵，
，
的周长，
∵F是的平分线的交点，
∴第三条平分线必过其点，即平分，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
即的周长的周长，故③错误；
④在中，（1），
在中，，
即（2），
得，故④正确；
故答案为：①②④
【例2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．
如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F．
（1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明；
【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究：
（2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由；
（3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形PMN为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）见解析
【模型】综合模型
【分析】本题考查垂直平分线性质及画法，角平分线性质，中线定义
（1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案；
（2）根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案；
（3）画出线段的垂直平分线找出点，根据垂直平分线性质写出真命题即可．
解：（1）解：，证明如下：
∵BD是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AE是的中线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：可以，证明如下：
当，
∵，
∴，
∴，
∵BD是的角平分线，
∴，
∴；
（3）解：存在，
∵根据题意描述，点在线段的垂直平分线上，作图如下：
真命题：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
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专题13.15 等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型分类讲解）
第一部分【模型归纳与题型目录】
模型1:角平分线+平行线→等腰三角形
模型2:角平分线+垂线→等腰三角形
模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形
模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形
模型5:等边三角形中含定角问题
模型6:等边三角形中含“手拉手”
模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形
模型8:倍长中线构造等腰三角形
题型目录
【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形..................................3
【题型2】角平分线+垂线（中线）→等腰三角形............................4
【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形..............4
【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形..............5
【题型5】等边三角形中含定角问题.......................................6
【题型6】等边三角形中含“手拉手”.....................................7
【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形..................................8
【题型8】倍长中线构造等腰三角形.......................................9
【题型9】拓展延伸.....................................................9
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形
【例1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ．
【变式1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，平分，．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，的平分线交于点，平分，且交于点，若，则 cm．
【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形
【例2】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，平分，，垂足为，，若，则的长为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，平分且于E，，若，的周长为20，则的长为 ．
【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍等腰三角形
【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，．在上取一点C，延长到点，使，连结；在上取一点D，延长到点，使，连结；……，按此操作进行下去，在以点为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，则的大小为 ．
【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，交于点，则图中等腰三角形共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形
【例4】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，高与角平分线相交于点．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长度．
【变式1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的高，是的角平分线，与交于点F，求证：是等腰三角形．
【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，中，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．正确结论有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型5】等边三角形中含定角问题
【例5】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，等边中，，和相交于，垂足为，求的度数．
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知：如图，点D，E 分别是等边三角形的两边上的点，且.
（1）求证：；
（2）求的度数.
【变式2】（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①；②；
A．① B．② C．①② D．都错
【题型6】等边三角形中含“手拉手”
【例6】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，A、C、B三点共线，与都是等边三角形，相交于点P，且分别与交于点M，N．
（1）求证：
（2）求的度数
【变式1】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ．
【变式2】（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是 ．
【题型7】倍半角→等腰三角形
【例7】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，为上一个动点．
（1）已知，求证：．
下面是两位同学分享的思路：
小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证．
小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形．
请你选择一种思路，完成证明
（2）已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）．
【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，分别为的高，角平分线，下列四个结论：
①；②；③；④．
其中所有正确结论的序号是 ．
【题型8】倍长中线构造等腰三角形模型
【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F，若，，则求的度数为 ．
第三部分【拓展延伸】
【题型9】拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·北京·期末）如图，中，分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论：
①；
②为等腰三角形；
③的周长等于的周长；
④．其中正确的是
【例2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．
如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F．
（1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明；
【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究：
（2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由；
（3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形PMN为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．
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