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专题13.4 等腰三角形（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
【要点提示】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
【知识点二】等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【知识点三】等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【要点提示】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】等腰三角形的定义
【例1】（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）已知等腰三角形的两边，，满足，求此等腰三角形的周长．
【变式1】（22-23七年级下·宁夏银川·期中）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C．或 D．
【变式2】（2023·内蒙古通辽·模拟预测）一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则顶角的度数为 ．
【题型2】“等边对等角”进行求值与证明
【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，过点A作，且，求证：．
【变式1】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏东方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西
【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角三角形，连接，若，则 ．
【题型3】“三线合一”进行求值与证明
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，E为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于F．
（1）求证：； （2）求证：．
【变式1】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（21-22八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，当的周长取最小值4时，则 ．
【题型4】“等角对等边”进行求值与证明
【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，平分，平分．若过点作直线和边平行，与交于点，与交于点，则线段和，之间有怎样的数量关系并证明？
【变式1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ．
【题型5】利用等腰三角形的性质与判定进行证明与求值
【例5】（23-24七年级下·上海·期末）如图，，点D在边上，和相交于点O．
（1）试说明的理由；
（2）若，试判断和的大小关系，并说明理由．
【变式1】（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，和的边交于点，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形中，，，，若的面积为32，则长为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】
（1）如图，在和中，，，，连接，，交于点，延长交于点．
试说明：；
求的度数．
【问题探究】
（2）如图，在和中，，，，连接，，延长，交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由．
【例2】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）
【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点，
① 求 的大小； ，求 的面积；
【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长．
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专题13.4 等腰三角形（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
【要点提示】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
【知识点二】等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【知识点三】等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【要点提示】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】等腰三角形的定义
【例1】（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）已知等腰三角形的两边，，满足，求此等腰三角形的周长．
【答案】11或13
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性，建立关于a、b的二元一次方程，即可分别求出a、b，再根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算即可求得．
解：，
，
，
当这个等腰三角形的腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为3、3、5，
，
能构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为：；
当这个等腰三角形的腰长为5时，则这个等腰三角形的三边长分别为3、5、5，
，
能构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为：；
综上，这个等腰三角形的周长为：11或13．
【点拨】本题考查的是偶次方的非负性、解二元一次方程组，等腰三角形的性质以及三角形三边之间的关系．
【变式1】（22-23七年级下·宁夏银川·期中）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分是腰长和底边两种情况，求出三角形的三边，再根据三角形的三边关系判定求解．
解：①若是腰长，则三角形的三边分别为，，；能组成三角形，
周长，
②若是底边，则三角形的三边分别为能组成三角形，
周长，
综上所述，这个等腰三角形的周长是或
故选：C．
【变式2】（2023·内蒙古通辽·模拟预测）一个等腰三角形，一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则顶角的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为．
解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
，，
，
即顶角的度数为；
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
，，
，
，
即顶角的度数为
综上，顶角的度数为或
故答案为：或．
【题型2】“等边对等角”进行求值与证明
【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，过点A作，且，求证：．
【分析】根据等边对等角得到，再利用平行线的性质可以得到，进而证明，即可得到结论．
证明：∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【变式1】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏东方向，且B，C到A的距离相等，则小岛A相对于小岛C的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西
【答案】C
【分析】根据题意可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，从而求出的度数，然后利用平行线的性质可得，从而求出的度数，即可解答．
解：如图：
由题意得：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东，
小岛A相对于小岛C的方向是南偏西．
故选C
【点拨】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角三角形，连接，若，则 ．
【答案】
【分析】如图所示，过点B作交延长线于E，连接，证明得到，则，再利用面积公式可得答案．
解：如图所示，过点B作交延长线于E，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是以B为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题型3】“三线合一”进行求值与证明
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，E为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于F．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可得；
（2）由“”可证，可得．
（1）证明： ，为线段的中点，
，
，
，
，
；
（2）证明：∵，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【变式1】（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在等腰，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，延长交的延长线于点，证明，得，再证，得，然后由等腰三角形的性质得，即可得出结论．掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键．
解：如图，延长交的延长线于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：B．
【变式2】（21-22八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，当的周长取最小值4时，则 ．
【答案】2或6/6或2
【分析】连接，由于，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据直线l是线段的垂直平分线可知，点C关于直线l的对称点为点B，故BD的长为的最小值，得，由此即可得出结论．
解：连接，
∵，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵直线l是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线l的对称点为点B，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短，
∴，
∴，
解得或6．
故答案为：2或6．
【点拨】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
【题型4】“等角对等边”进行求值与证明
【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，平分，平分．若过点作直线和边平行，与交于点，与交于点，则线段和，之间有怎样的数量关系并证明？
【答案】．理由见解析
【分析】此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．由为角平分线，利用角平分线的性质得到一对角相等，再由与平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，再由，等量代换可得证．
解：．
理由：，分别是，的平分线，
，．
又∵，
，，
，，
即，，
．
【变式1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理．
解：A. ∵，
∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵，
∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意；
C. ∵，
∴，
∴，
∴，则为等腰三角形，故该选项正确，符合题意；
D. ∵，
∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可．
解：∵为，的中点，
∴,，又，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵，，
∴，，
∴，解得，
∴，
故答案为：2．
【题型5】利用等腰三角形的性质与判定进行证明与求值
【例5】（23-24七年级下·上海·期末）如图，，点D在边上，和相交于点O．
（1）试说明的理由；
（2）若，试判断和的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等腰三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理求出，则，利用即可证明；
（2）过点E作，垂足为H ，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求出，结合三角形内角和定理求出，等量代换求解即可．
（1）解：，，
又，，
，
，
，
，
即 ，
在与中，
，
；
（2）如图，过点E作，垂足为H ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
【变式1】（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，和的边交于点，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据等腰三角形性质可知，再根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
解：∵，
∴，
当添加，则，
又∵，，
∴，故选项A不符合题意；
当添加，
又∵，，
∴，故选项B不符合题意；
当添加，
又∵，，
∴，故选项C不符合题意；
当添加，
又∵，，
∴由不能证明和全等，故选项D符合题意；
故选：D．
【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形中，，，，若的面积为32，则长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，作交的延长线于，连接，则为等腰直角三角形，证明，得出，，证明，结合的面积为32，得出，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图，作交的延长线于，连接，
，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∵在，，，
∴，
∴，即，
∵的面积为32，
∴，
∵，
∴
故答案为：8．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
【例2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．
解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，
关于对称，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案为：．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】
（1）如图，在和中，，，，连接，，交于点，延长交于点．
试说明：；
求的度数．
【问题探究】
（2）如图，在和中，，，，连接，，延长，交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2），，理由见解析
【分析】（1）利用证明，即可得出结论；由全等三角形的性质以及三角形外角的性质可得出结论；
（2）利用证明，由全等三角形的性质即可得出；然后，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可求出的度数．
解：（1），
，即，
在和中，
，
，
；
如图，设与交于点，
，
，
，
，
；
（2），，理由如下：
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，，
，
．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【例2】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）
【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点，
① 求 的大小； ，求 的面积；
【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①，②；（3）
【分析】（1）由证即可；
（2）①同（1）得，得，即可得出结论；
②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论；
（3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论．
（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：①，，
，
，
同（1）得：，
，
；
②如图2，过点A作于点G，
则，
由①可知，，
，
点F为中点，
，
又，
，
，，
，，
，
，
；
（3）解：如图3，连接，
同（2）得：，
，，
，
在和中，
，
，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，负值舍去，
即的长为8．
【点拨】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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