专题14.2 幂的运算（精选精练）（专项练习）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（2024·福建厦门·模拟预测）式子的运算结果与下列运算结果一致的是（ ）
A．3个相乘 B．6个相乘 C．5个相乘 D．2个相乘
2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知 ，则 的值是（ ）
A．35 B．2 C．12 D．10
3．（2024·河北·模拟预测）计算的结果为a8，则“？”的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
4．（24-25八年级上·湖南岳阳·开学考试）若，，则的值为（ ）
A．28 B．14 C．11 D．18
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，则的值等于（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2024·河北石家庄·一模）已知，若，则（ ）
A．4047 B．4048 C． D．
8．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）若，其中m、n、k均为正整数，则的最大值与最小值的差是（ ）
A．1768 B．455 C．252 D．757
9．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）方程，，则（ ）
A．1 B．0 C．1.5 D．2
10．（20-21七年级下·浙江·期中）W细菌为二分裂增殖（1个细菌分裂成2个细菌），30分钟分裂一次，培养皿上约有个细菌，其中W细菌占其中的，在加入T试剂后，如果该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，那么需要（ ）小时T恰好变色．
A． B．4 C．8 D．10
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级下·全国·期末）计算： ．
12．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则的值为 ．
13．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知：，则 ．
14．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）计算的结果是 ．
15．（2024七年级·全国·竞赛）式子的值的个位数是 ．
16．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则 ， ．
17．（22-23七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作．
(1）根据题意，，则 ．
(2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ．
18．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：
①无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数．
②当时，方程组的解也是方程的解．
③若，则．
④无论a取何值，的值始终不变．
其中正确的有 ．（填写序号）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（2024七年级下·江苏·专题练习）计算
(1)． (2)．
20．（本小题满分8分）（2024七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1) (2)
21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·福建厦门·期中）（1）已知，则的值．
（2）已知，求的取值范围．
22．（本小题满分10分）（2024七年级下·全国·专题练习）若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)若，求的值．
(2)若，，用含的代数式表示．
23．（本小题满分10分）（2024·陕西西安·模拟预测）【定义新知】
如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作．
【尝试应用】
（1）_______；
【拓展提升】
（2）若均为整数，且，求证：．
24．（本小题满分12分）（2024·安徽安庆·三模）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：
【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：
______；
【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出_____（用含n的代数式表示）；
【拓展应用】根据以上结论，计算：．
试卷第1页，共3页
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A B C D D A B
1．C
【分析】本题考查了乘方的意义，同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法法则计算出结果，再根据乘方的意义即可判断．
【详解】解：，表示5个a相乘，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算是解题的关键．利用同底数幂的乘法的逆运算法则进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
故选：A
3．B
【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．（是正整数）．根据幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴“？”的值为4．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，熟记同底数幂的乘法法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则化简计算即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】本题考查的是非负数的性质，有理数的乘方，积的乘方，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键．
先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：，
，，
解得，，
．
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查有理数的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，先根据有理数的乘方和相同加数的加法将已知式变形，再根据幂的乘方，同底数幂的乘法即可解答
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴
∴
故选：D
8．D
【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．将2024写成幂的乘积的形式后，求得的最大值与最小值即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴此时取得最小值为；
∵，
∴取得最大值为，
∵，
∴的最大值与最小值的差是757．
故选：D．
9．A
【分析】由题意可得：，，进而可得，，求出，，代入式子求解即可．
【详解】解：∵，，即：，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查幂得乘方的逆运用，将方程变形为：，是解决问题的关键．
10．B
【分析】由题意，先求出W细菌的数量，然后列式进行计算，得到分裂的次数，即可求出时间．
【详解】解：由题意，
W细菌的数量为：（个），
∵该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，
∴设分裂n次达到变色的数量，则
，
∴；
∵每30分钟分裂一次，
∴（小时）；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的应用，以及细胞分裂问题，解题的关键是正确的理解题意．
11．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
【详解】，
故答案为：
12．108
【分析】本题考查同底数幂的逆运算，根据同底数幂的逆运算进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：108．
13．10
【分析】本题考查幂的运算，逆用同底数幂的乘法，以及幂的乘方法则，进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：10．
14．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方计算可得．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则．
【详解】解：（，
故答案为：．
15．2
【分析】本题考查了积的乘方运算，以及数字的规律，解题的关键是正确找到的个位数．
根据题意，分别找出和的个位数即可．
【详解】解：原式＝，
∵……，
∴的个位数是每四个数一个循环，即2、4、8、6、2……，
∵
∴的末位数是6；
∵
∵
∴的个位数为2
故答案为：2．
16．
【分析】此题考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用，把原式分别变形为，，再整体代入即可．
【详解】解：∵，
∴，，
故答案为：，
17． 3
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用，
（1）根据定义可得，由即可得出．
（2）由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式．
【详解】解：（1）由定义可知即，
∵，
∴，
（2）由定义可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为3；．
18．③④
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，把a看作已知数表示出方程组的解，利用二元一次方程解的定义，以及相反数性质判断即可．
【详解】
得：，
解得，
把代入得
①当时，解得，
∴当时，x，y的值互为相反数，故①错误；
②当时，，此时，，方程组的解不是方程的解，故②错误；
③若，则，即，把，代入得，解得，故③正确；
④，即无论a取何值，的值始终不变，故④正确；
综上所述，正确的有③④．
故答案为：③④．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和积的乘方法则．
（1）利用同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，进行计算；
（2）利用积的乘方法则，让各个因式分别乘方，再把所得结果相乘即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)
(2)0
【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
（1）首先利用幂的乘方运算化简，进而利用同底数幂的乘法运算得出即可；
（2）首先利用幂的乘方运算化简，进而利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则得出即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
21．（1）6
（2）
【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂相乘，解不等式，掌握幂的乘方与同底数幂相乘的法则和解不等式是解决问题的关键．
（1）利用幂的乘方与同底数幂相乘的法则进行计算，即可得出答案．
（2）由，得出，代入，求解即可．
【详解】解：（1），，
，
，
，
，
，
（2），
，
，
，
解得．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．
（1）由题意得出，即可得出答案；
（2）将代入可得答案．
【详解】（1）解：．
，
，
；
（2）解：，
，
．
23．（1）3；（2）证明见解析
【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算：
（1）根据新定义求解即可；
（2）根据新定义得到，则可证明，再由同底数幂乘法计算法则得到，即可证明．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
24．【规律探究】；【解决问题】；【拓展应用】
【分析】本题考查实践探索问题、整式的混合运算等知识点，仔细观察图形与算式的关系，发现规律为立方数的和等于最大正方形面积是解题的关键．
（1）计算大正方形面积，然后将36开方即可解答；
（2）可转化为大正方形面积，其边长为，再求面积化简即可；
提公因式8转化为，然后运用规律计算即可．
【详解】解：规律探究：大正方形的面积．
故答案为：．
解决问题：由上面表示几何图形的面积探究可得：，
又，
∴．
故答案为：．
拓展应用：．
故答案为：．专题14.2 幂的运算（精选精练）（专项练习）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（2024·福建厦门·模拟预测）式子的运算结果与下列运算结果一致的是（ ）
A．3个相乘 B．6个相乘 C．5个相乘 D．2个相乘
2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知 ，则 的值是（ ）
A．35 B．2 C．12 D．10
3．（2024·河北·模拟预测）计算的结果为a8，则“？”的值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
4．（24-25八年级上·湖南岳阳·开学考试）若，，则的值为（ ）
A．28 B．14 C．11 D．18
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，则的值等于（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2024·河北石家庄·一模）已知，若，则（ ）
A．4047 B．4048 C． D．
8．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）若，其中m、n、k均为正整数，则的最大值与最小值的差是（ ）
A．1768 B．455 C．252 D．757
9．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）方程，，则（ ）
A．1 B．0 C．1.5 D．2
10．（20-21七年级下·浙江·期中）W细菌为二分裂增殖（1个细菌分裂成2个细菌），30分钟分裂一次，培养皿上约有个细菌，其中W细菌占其中的，在加入T试剂后，如果该培养皿中的W细菌的数量达到后会使T变色，那么需要（ ）小时T恰好变色．
A． B．4 C．8 D．10
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级下·全国·期末）计算： ．
12．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）若，则的值为 ．
13．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知：，则 ．
14．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）计算的结果是 ．
15．（2024七年级·全国·竞赛）式子的值的个位数是 ．
16．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则 ， ．
17．（22-23七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作．
(1）根据题意，，则 ．
(2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ．
18．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：
①无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数．
②当时，方程组的解也是方程的解．
③若，则．
④无论a取何值，的值始终不变．
其中正确的有 ．（填写序号）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（2024七年级下·江苏·专题练习）计算
(1)． (2)．
20．（本小题满分8分）（2024七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1) (2)
21．（本小题满分10分）（23-24八年级上·福建厦门·期中）（1）已知，则的值．
（2）已知，求的取值范围．
22．（本小题满分10分）（2024七年级下·全国·专题练习）若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)若，求的值．
(2)若，，用含的代数式表示．
23．（本小题满分10分）（2024·陕西西安·模拟预测）【定义新知】
如果是整数，且，那么我们规定一种记号，例如，那么记作．
【尝试应用】
（1）_______；
【拓展提升】
（2）若均为整数，且，求证：．
24．（本小题满分12分）（2024·安徽安庆·三模）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：
【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：
______；
【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出_____（用含n的代数式表示）；
【拓展应用】根据以上结论，计算：．
试卷第1页，共3页
