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专题14.3 整式的乘法（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
【要点提示】
（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
【知识点2】单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
【要点提示】
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
【知识点3】单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
【要点提示】
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质利用乘法分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
【知识点4】多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
知识点与题型目录
【知识点一】同底数幂的除法
【题型1】同底数幂的除法运算及逆运算.........................................3;
【知识点二】单项式相乘
【题型2】单项式相乘.........................................................3;
【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值...................................3;
【知识点三】单项式乘以多项式
【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值.......................................4;
【题型5】单项式乘以多项式的应用.............................................4;
【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值.....................................4;
【知识点四】多项式相乘
【题型7】计算多项式乘以多项式...............................................5;
【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值.......................................5;
【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘..........................................5;
【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题......................................5;
【题型11】多项式相乘中的几何问题............................................6;
【知识点五】多项式除以单项式
【题型12】多项式除以单项式..................................................6;
【知识点六】多项式除以单项式
【题型13】整式乘法混合运算..................................................7;
【直通中考与拓展延伸】
【题型14】直通中考..........................................................7;
【题型15】拓展延伸..........................................................8.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】同底数的除法运算及逆运算
【例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算：．
【变式1】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）若，，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，则 ．
【题型2】单项式相乘
【例2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算：
(1)； (2)
【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： ．
【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值
【例3】（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值：，其中，．
【变式1】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ．
【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值
【例4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若，代数式的值是 ．
【题型5】单项式乘以多项式的应用
【例5】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．
(1)用含，的整式表示盒子的外表面积；
(2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？
【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）已知：，则 ．
【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值
【例6】（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值．
【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【变式2】（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）要使中不含有的四次项，则 ．
【题型7】计算多项式乘以多项式
【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
(1)；(2)； (3)
【变式1】（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如果，那么x的值是 ．
【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值
【例8】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，则的值为 ．
【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘
【例9】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值：，其中．
【变式1】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若，则 ．
【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题
【例10】（22-23七年级下·四川达州·期中）已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，求和的值．
【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式与 的乘积中的项系数与的项系数之和为，则常数的值为 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若的积中不含项，则 ， ．
【题型11】多项式相乘中的几何问题
【例11】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）学校需要设计一处长方形文化景观，分为中央雕塑区和四周绿化区．中央雕塑区的长边为（）米，短边为米，绿化区外边沿的长边为（）米，短边为（）米．试比较雕塑区和绿化区的面积大小．（为正数）
【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张如图所示的正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片．如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片 张．
【题型12】多项式除以单项式
【例12】（22-23七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，
(1)求所捂的多项式；
(2)若，求所捂多项式的值．
【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若，则A代表的整式是 ．
【题型13】整式乘法混合运算
【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)已知，求代数式的值．
【变式1】（21-22六年级下·全国·单元测试）等式 中的括号内应填入（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·福建厦门·二模）已知，则的值为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型14】直通中考
【例1】（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
【题型15】拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算： 的值是（ ）
A． B． C．
【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x的值是，则第2024次计算后输出的结果为 ．
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专题14.3 整式的乘法（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
【要点提示】
（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
【知识点2】单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
【要点提示】
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
【知识点3】单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
【要点提示】
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质利用乘法分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
【知识点4】多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
知识点与题型目录
【知识点一】同底数幂的除法
【题型1】同底数幂的除法运算及逆运算.........................................3;
【知识点二】单项式相乘
【题型2】单项式相乘.........................................................4;
【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值...................................5;
【知识点三】单项式乘以多项式
【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值.......................................7;
【题型5】单项式乘以多项式的应用.............................................8;
【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值....................................10;
【知识点四】多项式相乘
【题型7】计算多项式乘以多项式..............................................11;
【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值......................................12;
【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘.........................................14;
【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题.....................................15;
【题型11】多项式相乘中的几何问题...........................................16;
【知识点五】多项式除以单项式
【题型12】多项式除以单项式.................................................18;
【知识点六】多项式除以单项式
【题型13】整式乘法混合运算.................................................19;
【直通中考与拓展延伸】
【题型14】直通中考.........................................................21;
【题型15】拓展延伸.........................................................22.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】同底数的除法运算及逆运算
【例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可．
解：
．
【变式1】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）若，，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了逆用同底数幂除法法则和幂的乘方的运算法则，先逆用同底数幂除法法则、然后再运用幂的乘方的运算法则将化成含有和的形式，然后代入即可解答．
解：，
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法计算，先根据题意得到，再根据幂的乘方计算和同底数幂除法计算法则得到，据此求解即可．
解：∵，
∴
∴
，
故答案为：．
【题型2】单项式相乘
【例2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算：
(1)； (2)
【答案】(1)0； (2)
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握公式是解题的关键．
（1）根据单项式乘以单项式，幂的乘方，合并同类项解答即可．
（2）根据积的乘方，单项式乘以单项式解答即可．
解：（1）
．
（2）
．
【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整混合运算，熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则、单项式乘以单项式法则是解题的关键．
先计算乘方，再计算运用单项式乘以单项式法则计算即可．
解：
故选：D．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，合并同类项，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可．
解：
，
故答案为：．
【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值
【例3】（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值：，其中，．
【答案】，
【分析】此题考查了整式的混合运算，首先根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则化简，然后代入求解即可，解题的关键掌握运算法则．
解：
当，时，
原式
．
【变式1】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】此题考查了单项式的乘法运算，按照单项式乘单项式计算单项与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案．
解：∵，单项式与的积为，
∴，，
故选：A．
【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值
【例4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
先根据单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，即可化简，然后把代入化简式计算即可．
解：，
，
．
当时，原式．
【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
解：
．
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若，代数式的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．首先根据，可得，把代入，然后把代入化简后的算式计算即可．
解：∵，
∴，
∴
．
∵，
∴，
∴原式
．
故答案为：．
【题型5】单项式乘以多项式的应用
【例5】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．
(1)用含，的整式表示盒子的外表面积；
(2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？
【答案】(1)（平方分米）； (2)360元
【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（2）把a与b的值代入计算，再根据每平方分米喷漆价格为15元，求出喷漆的费用即可．
解：（1）根据题意得：
（平方分米）
∴盒子的外表面积为平方分米；
（2）当，时，
（平方分米）
则喷漆的费用为（元）．
答：喷漆共需要360元．
【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设这个多项式为，根据题意可得，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
解：设这个多项式为，
∵计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，
∴，
∴，
∴正确的结果为，
故选．
【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）已知：，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的乘法的应用，熟练掌握求高次式子时的思路：降次是解题的关键．将变形为，利用降次的思想求即可．
解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值
【例6】（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值．
【答案】-7
【分析】把x（x﹣m）+n（x+m）去括号、合并同类项，然后根据与+5x-6对应项的系数相同，即可求得m、n的值，然后代入求值即可．
解：x（x﹣m）+n（x+m）
＝﹣mx+nx+mn
＝+（n﹣m）x+mn，
∴，
则m（n﹣1）+n（m+1）＝n﹣m+2mn＝5﹣12＝﹣7．
【点拨】此题考查单项式乘多项式和代数式求值，解题关键在于掌握运算法则．
【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案．
解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）要使中不含有的四次项，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了多项式的混合运算．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有的四次项，可得，即可求解．
解：
，
∵中不含有的四次项，
∴，
∴．
故答案为：2
【题型7】计算多项式乘以多项式
【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
(1)；(2)； (3)
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】本题考查了多项式的乘法：
（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；
（3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．
解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
【变式1】（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【变式2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如果，那么x的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及解一元一次方程，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的法则进行计算，然后解一元一次方程即可．
解：
，
解得，
故答案为：1．
【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值
【例8】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的计算法则，多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
解：
，
当时，原式．
【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得，从而得到，再代入，即可求解．
解：根据题意得：，
∴，
即，
∴，
∴．
故选：D
【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，则的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查整式的化简求值，把要求的式子展开化简后，利用整体思想求值即可．
解：∵，
∴．
故答案为：5．
【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘
【例9】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的化简求值．熟练掌握平方差公式，完全平方公式，多顶式乘多项式法则，是解题的关键．
先根据平方差公式，完全平方公式，多顶式乘多项式法则展开，合并同类项化简，最后将字母的值代入求解即可．
解：
，
当时，
原式．
【变式1】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了多项式的乘法，根据多项式的乘法法则展开对比得到，求出m、n的值，即可得到答案.
解：∵，，
∴，
解得
∴，
故选：C
【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，进而求出的值，进一步求出代数式的值即可．
解：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：8．
【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题
【例10】（22-23七年级下·四川达州·期中）已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，求和的值．
【答案】，
【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，运用多项式乘多项式的运算法则进行求解即可．
解：
，
由题意得，，，
解得，．
【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式与 的乘积中的项系数与的项系数之和为，则常数的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则得，然后根据“乘积中的项系数与的项系数之和为”，据此得到，解此方程即可求出．
解：
，
乘积中的项系数与的项系数之和为，
，
，
故答案为：A．
【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若的积中不含项，则 ， ．
【答案】 3 9
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据乘积中不含项，即含项的系数为0进行求解即可．
解：
，
∵的积中不含项，
∴，
∴，
故答案为：3；9．
【题型11】多项式相乘中的几何问题
【例11】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）学校需要设计一处长方形文化景观，分为中央雕塑区和四周绿化区．中央雕塑区的长边为（）米，短边为米，绿化区外边沿的长边为（）米，短边为（）米．试比较雕塑区和绿化区的面积大小．（为正数）
【答案】绿化区面积大于雕塑区面积．
【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与图形面积，先分别列式计算绿化区面积，雕塑区面积，再作差比较大小即可．
解：绿化区面积为
．
雕塑区面积为．
因为，
由为正数，所以得，即，
所以，绿化区面积大于雕塑区面积．
【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查整式与图形，根据题意，结合图形，分别判断得到答案即可．
解：．图中阴影部分面积用整个长方形的面积空白部分的面积，即，故该选项不符合题意；
．图中阴影部分面积用右边阴影部分长方形的面积左边阴影部分正方形的面积，即，故该选项不符合题意；
．只有左边阴影部分正方形的面积右边上面阴影部分长方形的面积，缺少右边下面长方形的面积，故该选项符合题意；
．图中阴影部分面积用上面阴影长方形的面积右边下面长方形的面积，即故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张如图所示的正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片．如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片 张．
【答案】7
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，计算出长为，宽为的大长方形的面积以及A类、B类卡片和长方形C类卡片的面积，即可得出答案．
解：长为，宽为的大长方形的面积为，
A类卡片的面积为：，
B类卡片的面积为：，
C类卡片的面积为：，
∴要拼成一个长为，宽为的大长方形，需要块A类卡片，块B类卡片，块C类卡片，
故答案为：．
【题型12】多项式除以单项式
【例12】（22-23七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，
(1)求所捂的多项式；
(2)若，求所捂多项式的值．
【答案】(1); (2)4.
【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式除以单项式：
（1）根据乘除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案；
（2）把代入（1）所求结果中计算求解即可．
解：（1）
，
∴所捂的多项式为；
（2）当时，
．
【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据一个因数等于积除以另一个因数，即可解答．
解：∵，
∴，
故选：B．
【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若，则A代表的整式是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是多项式除以单项式，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的的运算转化为单项式的除法运算．根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
解：
．
故答案为：．
【题型13】整式乘法混合运算
【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)；16; (2).
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
（1）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可；
（2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再整体代入进行计算即可．
解：（1）
，
当，时，
原式
．
（2）
，
∵，
∴，
∴原式
．
【变式1】（21-22六年级下·全国·单元测试）等式 中的括号内应填入（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用整式的乘法运算法则、乘除法互为逆运算及幂的运算法则求解．
解：由原式，得
∴括号中式子应为．
故选C．
【点拨】本题主要考查整式的乘法运算、乘除法互为逆运算、幂的运算法则等知识；能够运算乘、除法互为逆运算的性质，对原等式进行变形是解题关键．
【变式2】（2024·福建厦门·二模）已知，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键．先根据得出，然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可．
解：∵，
∴，
．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型14】直通中考
【例1】（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
【答案】
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
解：根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
故答案为：．
【点拨】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
【题型15】拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：
；
；
；
…
根据规律计算： 的值是（ ）
A． B． C．
【答案】A
【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解．
本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．
解：由；
；
；
…
观察发现： ，
当，时，得
，
∴，
∴．
故选：A．
【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x的值是，则第2024次计算后输出的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值，仔细计算，观察出即从第2次开始，以、、为一个循环组循环出现，是解题的关键．总结规律后结合，即可得到答案．
解：第1次输出的结果为：；
第2次输出的结果为：；
第3次输出的结果为：；
第4次输出的结果为：；
第5次输出的结果为：；
第6次输出的结果为：
…，
则从第1次输出开始，以、、为一个循环组循环出现，
∵，
∴第次输出的结果为．
故答案为：．
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