第11章 三角形（单元测试·基础卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列由几根木条用钉子钉成如下图形，其中不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得，那么点与点之间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的高的线段是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
4．在中，，，是的平分线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形，连接，过点D作交的延长线于点E，且，若的面积为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，于D，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，、分别平分和，，分别平分和，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，与均为直角三角形，交于点F，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知直线，，，射线的反向延长线交于点F，若，则m的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
10．如图，三角形中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作点F．，则的最小值为（ ）
A．6 B．4.8 C．2.4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，中国古建筑中的亭台楼阁塔很多都采用六边形结构．六边形的内角和为 ．
12．在中，如果，，的长为奇数，那么 ．
13．如图，，直线分别交于，平分，若，则的度数为 ．
14．如图，在中，、分别是边上的高和中线，，，则＝ ．
15．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为 ．
16．如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为 ．
17．如图，在中，平分交于点，平分交于点，若，，则的度数为 ．
18．在教材第88页，我们遇到过如图的五角星，得出了这个结论．英才班的同学对这个题目产生兴趣，画出了正六边形、正八边形，并延长每条边使其相交，形成如图的“六角星”、“八角星”图，并计算出六角星6个角的和以及八角星8个角的和，请根据以上信息推导延长正n边形每条边相交形成的“n角星”图的n个角的和是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．如图，在中，，，是的角平分线．
（1）尺规作图：以点D为顶点，射线为一边，在的内部作，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求的度数．
20（8分）如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，交延长线于点，且，求的度数．
21．（10分）如图，在中，于点，，平分，点在上，，．
（1）①请问和的数量关系是 ，
②请证明①中的结论；
（2）求的度数．
22．（10分）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：
（1）小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度．
（2）小涵：如图2，已知D是中点，，，求．
（3）小宇：如图3，已知平分，，，求．
23．（10分）等面积法是一种常用的、重要的数学解决问题的方法．请尝试利用这种数学方法解决下面问题：在中，．
（1）如图①，，求的面积及的长；
（2）如图②、点D、点P分别在边上，将沿着折叠（为折痕），使点A和点B重合，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，作，垂足分别为点E、点F，则，求（或）的长；
（4）如图③，点P在边上，且，点Q是边上一点（不与点A、点B重合），垂足分别为点E、点F．直接写出的值．
24．（12分）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：
多边形的边数 4 5 6 … n
从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __
多边形对角线的总条数 2 5 9 … __
（1）请在表格中的横线上填上相应的结果；
（2）求十二边形总共有多少条对角线；
（3）过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由.
试卷第1页，共3页第11章 三角形（单元测试·基础卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列由几根木条用钉子钉成如下图形，其中不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得，那么点与点之间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的高的线段是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
4．在中，，，是的平分线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形，连接，过点D作交的延长线于点E，且，若的面积为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，于D，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，、分别平分和，，分别平分和，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，与均为直角三角形，交于点F，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知直线，，，射线的反向延长线交于点F，若，则m的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
10．如图，三角形中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作点F．，则的最小值为（ ）
A．6 B．4.8 C．2.4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，中国古建筑中的亭台楼阁塔很多都采用六边形结构．六边形的内角和为 ．
12．在中，如果，，的长为奇数，那么 ．
13．如图，，直线分别交于，平分，若，则的度数为 ．
14．如图，在中，、分别是边上的高和中线，，，则＝ ．
15．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为 ．
16．如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为 ．
17．如图，在中，平分交于点，平分交于点，若，，则的度数为 ．
18．在教材第88页，我们遇到过如图的五角星，得出了这个结论．英才班的同学对这个题目产生兴趣，画出了正六边形、正八边形，并延长每条边使其相交，形成如图的“六角星”、“八角星”图，并计算出六角星6个角的和以及八角星8个角的和，请根据以上信息推导延长正n边形每条边相交形成的“n角星”图的n个角的和是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．如图，在中，，，是的角平分线．
（1）尺规作图：以点D为顶点，射线为一边，在的内部作，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求的度数．
20（8分）如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，交延长线于点，且，求的度数．
21．（10分）如图，在中，于点，，平分，点在上，，．
（1）①请问和的数量关系是 ，
②请证明①中的结论；
（2）求的度数．
22．（10分）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：
（1）小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度．
（2）小涵：如图2，已知D是中点，，，求．
（3）小宇：如图3，已知平分，，，求．
23．（10分）等面积法是一种常用的、重要的数学解决问题的方法．请尝试利用这种数学方法解决下面问题：在中，．
（1）如图①，，求的面积及的长；
（2）如图②、点D、点P分别在边上，将沿着折叠（为折痕），使点A和点B重合，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，作，垂足分别为点E、点F，则，求（或）的长；
（4）如图③，点P在边上，且，点Q是边上一点（不与点A、点B重合），垂足分别为点E、点F．直接写出的值．
24．（12分）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格：
多边形的边数 4 5 6 … n
从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __
多边形对角线的总条数 2 5 9 … __
（1）请在表格中的横线上填上相应的结果；
（2）求十二边形总共有多少条对角线；
（3）过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了三角形的稳定性．三角形具有稳定性，根据三角形的性质，四边形的性质可得答案．
【详解】解：选项C中含有四边形，不具有稳定性，
而选项A、B、D含有三角形具有稳定性，
故C符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，设，根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：设，，
∴
∴
∴点与点之间的距离不可能是，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了三角形的高，“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高”，根据三角形的高的画法即可得，正确认识三角形的高是解题的关键．
【详解】解：由三角形的高的定义可知，选项C中的线段是的高，
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键，先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义即可求得的度数．
【详解】解：∵中，，，
，
∵平分，
，
故选：C．
5．B
【分析】连接，根据平行线间的距离相等得出和的高相等，底相同，从而得到面积相等，再根据三角形中线的性质得出和的面积相等，从而求出四边形的面积．本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，平行线间的距离相等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，
，
与间的距离相等，
即和的高相等，底相同，
和的面积相等，
，
和的面积相等，
和的面积相等，
的面积为，
的面积为，
四边形的面积为，
故选：B．
6．C
【分析】根据等腰三角形的性质，求出，由垂直的定义，即得的度数．本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质．
【详解】解：，，
，
又，
，
．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查三角形的内角和定理， 以及角的平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键.
根据三角形内角平分线的交角的基本图形和解题方法即可得到答案.
【详解】解：
，
又∵、分别平分和 ，
，
，
∵分别平分和，
，
，
，
故选B
8．C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理得到，进而得到，即可解题．
【详解】解：，，，，
，
，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，平行线的性质．设，，推出，，据此列式计算即可求解．
【详解】解：延长，如图，
设，，则，，
∵，
∴，
∴，，，
∴
，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：B．
10．B
【分析】本题考查最短路径问题，垂线段最短，熟练掌握垂线段最短和利用面积法求线段长是解题的关键．
过C作于F，交于E，此时，值最小，最小值等于，利用面积法求出长即可求解．
【详解】解：过C作于F，交于E，
则的最小值为．
∵，，，
∴，
∴，
即的最小值为：4.8，
故选：B．
11．
【分析】本题考查了多边形内角和，根据内角和公式（其中n表示多边形的边数），即可完成求解．
【详解】解：六边形的内角和为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系（三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边）．据此列式解答即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵是奇数，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
14．6
【分析】本题主要考查三角形的面积，利用三角形的面积公式求出，可得结论．
【详解】，，
∴
，
是的中线，
．
故答案为：6．
15．/度
【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理，观察图形、计算角度是解题的关键．
【详解】解：∵把一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，，
∴图中的对顶角，，，
，
∴，
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了旋转性质以及平行线的性质，三角形的内角和为180度，先根据旋转的方向，再逐一把满足条件的图作出来，再结合图形以及运用平行线的性质列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：
当与边平行时，
∵，
∴，，
∴，
即，
∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．
∴，
∴；
如图：
当与边平行时，
∵，
∴，，
∴，
即，
∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．
∴，
∴；
综上：边恰好与边平行，t的值为或
故答案为：10.5或28.5
17．
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理，计算，再根据角平分线的定义，求出和的度数，最后根据三角形外角的性质计算，得出答案即可，熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分交于点，平分交于点，
∴，，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了正多边形外角和．分别根据正多边形外角和求得正五边形，正六边形，正八边形的各个角的和，得出规律，据此求解即可．
【详解】解：正五边形，如图，
，
∴，
∴；
正六边形，如图，
，
∴，
∴；
正八边形，如图，
，
∴，
∴；
；
∴正n边形的n个角的和是．
故答案为：．
19．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，三角形内角和定理，平行线的性质和判定等知识，
（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法求解即可；
（2）首先根据三角形内角和定理得到，然后根据平行线的性质和判定求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和等相关知识，熟记平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）先根据得出，再与等量代换得到，即可证得；
（2）先根据三角形的外角性质得，再由得，再由平分得，最后根据三角形的内角和计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
，
∴；
（2）解：，，
，
∵，
，
平分，
，
．
21．(1)①，②证明过程见详解
(2)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行的判定与性质，以及垂线的性质的综合应用．根据同位角相等，两直线平行，判定是解题的关键．(1)运用角平分线的性质求出，结合垂线的性质和应用求得，；（2）通过平行的判定和性质，三角形内角和定理求得．
【详解】（1）①和的数量关系为：
②证明：
平分，
，
于点
，
，
故答案为：
（2）由（1）得，
，
，
，
，
故，
故答案为：
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键．
（1）根据即可求解；
（2）根据、、、即可求解；
（3）根据三角形的内角和定理求出即可求解．
【详解】（1）解：∵，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵D是中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴．
23．(1)；
(2)
(3)DE
(4)3
【分析】（1）根据直角三角形面积公式求得三角形的面积，根据求得；
（2）由三角形面积公式得出结果；
（3）根据得出，从而得出，结合，得出结果；
（4）根据得出，结合化简得出结果．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
由得，
，
∴；
（2）解：；
（3）解：如图，
由得，
，
由折叠得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）解：由（3）知：，，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，面积法等知识，解决问题的关键是熟练掌握面积法．
24．(1)，
(2)一个十二边形总共有54条对角线
(3)三角形个数的和不可能为2016，理由见解析
【分析】本题考查n边形对角线的总条数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键．
（1）由表格中的数据探求得出最终结果；
（2）把代入求值即可；
（3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得．
【详解】（1）解：由表格中的数据得：
从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为：条，
多边形对角线的总条数为：条；
故答案为：，；
（2）解：把代入计算得：.
故一个十二边形总共有54条对角线；
（3）解：设这个多边形的边数为，
由题意得，，
解得，，
因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016．
