第11章 三角形（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，自行车的主要结构设计成三角形，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和是180°
C．节省材料 D．三角形的稳定性
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3、3、7 B．4、5、9 C．7、12、17 D．5、8、15
3．如图，的三边长均为整数，且周长为24，是边上的中线，的周长比的周长大3，则长的可能值有（ ）个．
A．7 B．5 C．6 D．4
4．如图，在中，，为的中点，连接并延长，交于点，过点作于点，延长交于点.下面说法错误的是（ ）
A．是的角平分线 B．是的边上的高线
C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线
5．如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接，分别将，对折，使、分别落在直线上的点和处，折痕分别为、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，平分，点E在的延长线上，过点E作于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，2，3．，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如果一个正n多边形的内角和是它外角和的两倍，则n的值为 ．
12．已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，则的周长为 ．
13．如图，，平分，平分，则 °.
14．如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ．
15．如图，已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点、点在上，连接、、，平分，平分，若，，则的度数为 ．
16．如图，在中，为中线，E为上一点，，连接与交于点O，若的面积为18，则的面积为 ．
17．如图，中，，点F是边上一点，点E在边上运动，将沿直线翻折得到，连接，当时，则 ．
18．如图，在中，为的外角，与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线相交于点，当两条角平分线无交点时，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知如图，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若于点，若平分，，求的度数．
20．（8分）如图，在中，、分别为的中线和高，为的角平分线．
（1）若的面积是24，则的长是 ；
（2）若，，求的度数．
21．（10分）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵__________，
∴__________．
∵，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
22．（10分）如图，在四边形中，，．
（1）如图1，若，则________度；
（2）如图2，若的平分线交于点，且，试求出的度数；
（3）①如图3．若和的平分线交于点，试求出的度数；
②如图4，为五边形内一点：，分别平分，，请直接写出与的数量关系．
23．（10分）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？
24．（12分）综合与探究
【问题发现】
在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．
（1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整．
，分别是和的平分线， ，． ， ， ……
【问题探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明．
【问题拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中．
①请说明与之间的数量关系．
②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数．
试卷第1页，共3页第11章 三角形（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，自行车的主要结构设计成三角形，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和是180°
C．节省材料 D．三角形的稳定性
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3、3、7 B．4、5、9 C．7、12、17 D．5、8、15
3．如图，的三边长均为整数，且周长为24，是边上的中线，的周长比的周长大3，则长的可能值有（ ）个．
A．7 B．5 C．6 D．4
4．如图，在中，，为的中点，连接并延长，交于点，过点作于点，延长交于点.下面说法错误的是（ ）
A．是的角平分线 B．是的边上的高线
C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线
5．如图，在中，的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接，分别将，对折，使、分别落在直线上的点和处，折痕分别为、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，平分，点E在的延长线上，过点E作于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，2，3．，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如果一个正n多边形的内角和是它外角和的两倍，则n的值为 ．
12．已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，则的周长为 ．
13．如图，，平分，平分，则 °.
14．如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ．
15．如图，已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点、点在上，连接、、，平分，平分，若，，则的度数为 ．
16．如图，在中，为中线，E为上一点，，连接与交于点O，若的面积为18，则的面积为 ．
17．如图，中，，点F是边上一点，点E在边上运动，将沿直线翻折得到，连接，当时，则 ．
18．如图，在中，为的外角，与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线相交于点，当两条角平分线无交点时，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知如图，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若于点，若平分，，求的度数．
20．（8分）如图，在中，、分别为的中线和高，为的角平分线．
（1）若的面积是24，则的长是 ；
（2）若，，求的度数．
21．（10分）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵__________，
∴__________．
∵，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
22．（10分）如图，在四边形中，，．
（1）如图1，若，则________度；
（2）如图2，若的平分线交于点，且，试求出的度数；
（3）①如图3．若和的平分线交于点，试求出的度数；
②如图4，为五边形内一点：，分别平分，，请直接写出与的数量关系．
23．（10分）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？
24．（12分）综合与探究
【问题发现】
在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．
（1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整．
，分别是和的平分线， ，． ， ， ……
【问题探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明．
【问题拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中．
①请说明与之间的数量关系．
②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查生活中数学知识的应用，熟记三角形的稳定性是解决问题的关键．
【详解】解：自行车的主要结构设计成三角形，其依据是三角形的稳定性，
故选：D．
2．C
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，判断即可．
【详解】解：A、，不满足三角形的三边的基本关系，故该选项错误；
B、，不满足三角形的三边的基本关系，故该选项错误；
C、，满足三角形的三边的基本关系，故该选项正确；
D、，不满足三角形的三边的基本关系，故该选项错误；
故选：C．
【点拨】本题考查对三角形的三边的基本关系的理解和运用，熟记知识点是关键．
3．D
【分析】依据的周长为24，的周长比的周长大3，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到整数值．
【详解】解：是边上的中线，
，
的周长为24，的周长比的周长大3，
，
解得，
又的三边长均为整数，的周长比的周长大3，
为整数，
边长为奇数，
，7，9，11，
即的长可能值有4个，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
4．D
【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的定义进行判断即可．
【详解】解：A．，则是的角平分线，故选项正确，不符合题意；
B．于点，则是的边上的高线，故选项正确，不符合题意；
C．，于点，则是的角平分线和高线，故选项正确，不符合题意；
D．无法判断是的边上的中线，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的定义是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线的定义；
根据三角形内角和定理求出，再根据三等分线求出可解答．
【详解】解：∵，
的三等分线、与的三等分线、分别交于点D、E，，
，，
∴
∵在中，°，
∴，
故选：B．
6．A
【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得．
【详解】解：如图，延长交于点，
，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键．
7．C
【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，设，由折叠的性质得：，，则，，再由平角的定义得，则，由此解出即可得出的度数．
【详解】解：设，
由折叠的性质得：，，
，，
，
，
解得：，
．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形中两锐角互余的性质，熟练掌握其内容是解题的关键．由，可得，根据，可得，而，由此可求出．
【详解】解： ，，
，
，
，
，
．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据垂直的定义得出，再根据外角的性质得出，根据角平分线的性质得出，最后根据三角形的外角的性质得出结果．
【详解】解：，
，
，
，
，
平分，
，
故选：C
10．C
【分析】本题考查三角形内角和定理以及三角形的外角性质，
图1：根据三角形内角和定理求出的度数，继而得出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数；图2：利用三角形的外角性质并结合，，得出及，即可求出的度数；图3：利用三角形外角的性质并结合，，得出的度数，根据三角形内角和定理即可求出的度数，即可求出结论．利用三角形内角和定理及三角形的外角性质求出，，的度数是解题的关键．
【详解】解：图1：
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
图2：
∵是的外角，，
∴，
∵，，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴；
图3：
∵是的外角，是的外角，，
∴，，
∴
，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
11．6
【分析】此题考查了多边形内角和与外角和，根据多边形内角和公式和多边形外角和为，可列方程，再解方程即可．
【详解】解：依题意，，
解得：，
故答案为：6．
12．9
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出、的值，再解绝对值方程可得或，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出的周长．
【详解】解：∵，
∴且，
∴、，
∵a为方程的解，
∴或，
又，
∴，
则的周长为，
故答案为：9．
【点拨】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
13．90
【分析】先根据平行线性质得出，再根据角平分线定义进行求解即可.
【详解】∵
∴
∵平分，平分
∴
∴
故填：90.
【点拨】本题考查平行线性质和角平分线定义，熟练掌握性质是关键.
14．
【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解，
本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．/81度
【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．先过点B作，根据角平分线的定义，得出，再设，根据，可得，根据，可得，最后解方程组即可得到，，进而得出结论．
【详解】解：过点B作，如图：
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
中，由，
可得①，
由，
可得②，
由①②联立方程组，
解得，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，面积与等积变换，等底等高的三角形面积相等，正确分析三角形各部分之间的关系是解题的关键．
首先根据三角形中线的性质和得到，，设，然后表示出，，然后根据列方程求解即可．
【详解】连接
∵在中，为中线，的面积为18，
∴
∵
∴，
设，则，，
∴，
∵为中线，
∴
∴
解得
∴．
故答案为：．
17．或
【分析】本题主要考查了图形的翻折，三角形内角和定理，解题关键是分情况讨论．
如图1，由，，得，，得，即可得；如图2，同理得．
【详解】解：如图1，由，，
得，，
得，
得；
如图2，同理，，
得，
得；
故答案为：或．
18．3
【分析】本题考查图形变化的规律，三角形内角和定理及整体思想的运用是解题的关键.利用整体思想结合三角形的内角和定理即可依次求出的度数，根据发现的规律即可解决问题.
【详解】，
，
，
又 和 分别平分和,
,,
，
，
和 分别平分 和
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
∴无法组成三角形，即两条角平分线无交点，
故的值为.
故答案为: .
19．(1)，理由见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，直角三角形两锐角互余，
（1）根据平行线的性质和判定求解即可；
（2）首先根据平行线的性质得到，然后由角平分线的概念得到，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】（1），理由如下：
∵
∴
∵
∴
∴；
（2）∵，
∴
∵平分，
∴
∵
∴．
20．(1)12
(2)
【分析】此题主要考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角定理和外角定理，理解三角形的中线、高和角平分线，熟练掌握三角形的内角定理和外角定理是解决问题的关键．
（1）根据的面积是24得，进而得，再根据为的中线可得的长；
（1）先根据三角形外角定理得，进而根据角平分线定义得，然后在中可求出，继而可得的度数．
【详解】（1）为的高，的面积是24，，
，
即，
，
为的中线，
，
故答案为：12．
（2）是的外角，
，
，，
，
为的角平分线，
，
在中，，
，
．
21．（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4）
【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．
（1）过点B作交于一点E，即可作答．
（2），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答．
（3）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答．
（4）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答．
【详解】解：（1）依题意，边上的高如图所示：
（2）；
证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）过点B作交于一点G，
∵，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
（4）过点B作交于一点，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
22．(1)65
(2)
(3)①，②，理由见解析
【分析】本题考查了多边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据四边形内角和为，结合已知条件求解即可；
（2）根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，进一步根据四边形内角和定理计算即可得出答案；
（3）①先根据四边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可得出答案；②由五边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：，，，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴；
（3）解：四边形中，
∴，
∵和的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴；
②∵五边形的内角和为，
∴，
∵和的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴．
23．或或
【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．分为两种情况讨论：当点在上时：当点在上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．
【详解】解：如图1，当点在上，
中，，，，点是的中点，
，．
的面积等于10，
，
，
即，
．
如图2，当点在上，
是的中点，
．
，
，
当点Ｐ在点Ｅ的左边时，，
当点Ｐ在点Ｅ的右边时，．
综上所述，当或或时，的面积会等于10，
故答案为或或．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①，②或
【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
（1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论；
（2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论；
（3）①先根据角平分线的性质得，，
，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论；
【详解】[问题发现]
（1），分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
；
[问题探究]
（2），分别是，的平分线，
，，
，，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
[问题拓展]
（3）①是的平分线，是的平分线，
，，
，
，
，
由（2）知，
；
②延长至点F，
是的外角的平分线，
是的外角的平分线，
，
是的平分线，
，
即，
，
即，，
，
在中，与都是锐角，
当时，
，
，
，
，
当时
，
，
，
，
综上所述，的度数为 或 ．
