第12章 全等三角形（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，平分，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，是中点，为上一点，连接并延长至点，使得，连接，若、平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AD与BC交于点O，，添加一个条件后能使用“边角边”基本事实判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，已知，补充一个条件，可使，那么补充的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点A坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的为（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ．
12．如图，中，D为的中点.，，则的取值范围为 .
13．如图，，，，，则等于 ．
14．小明与爸妈在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小明时，小明距离地面的高度是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．
16．如图，中，一内角和一外角的平分线交于点D，连接，，则 ， ．
17．如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则 ．
18．如图，在中，延长到E，使得，连接，过点A作，且．连接与的延长线交于D点，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
20．（8分）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F．
（1）求证：；
（2）若恰好平分，，求的长
21．（10分）（1）模型的发现：
如图1，在中，，，直线经过点A，且B，C两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点D、E．问：、和的数量关系．
（2）模型的迁移：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若B、C两点在直线的异侧，请说明、和的数量关系，并证明．
22．（10分）如图，在四边形中，于点F，交BC于点G，交的延长线于点E，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接AG，若，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是面积的2倍．
23．（10分）如图1，在中，，点D在的延长线上，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，若点F为的中点，的延长线交于点G，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，求的面积．
24．（12分）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．
【迁移运用】
（1）如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ；
（2）若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ；
（3）若是的“边垂角”，且．
①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：；
对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证．
②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积．
试卷第1页，共3页第12章 全等三角形（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，平分，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，是中点，为上一点，连接并延长至点，使得，连接，若、平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AD与BC交于点O，，添加一个条件后能使用“边角边”基本事实判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，已知，补充一个条件，可使，那么补充的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点A坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的为（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ．
12．如图，中，D为的中点.，，则的取值范围为 .
13．如图，，，，，则等于 ．
14．小明与爸妈在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小明时，小明距离地面的高度是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．
16．如图，中，一内角和一外角的平分线交于点D，连接，，则 ， ．
17．如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则 ．
18．如图，在中，延长到E，使得，连接，过点A作，且．连接与的延长线交于D点，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
20．（8分）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F．
（1）求证：；
（2）若恰好平分，，求的长
21．（10分）（1）模型的发现：
如图1，在中，，，直线经过点A，且B，C两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点D、E．问：、和的数量关系．
（2）模型的迁移：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若B、C两点在直线的异侧，请说明、和的数量关系，并证明．
22．（10分）如图，在四边形中，于点F，交BC于点G，交的延长线于点E，且．
（1）求证：；
（2）如图2，连接AG，若，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是面积的2倍．
23．（10分）如图1，在中，，点D在的延长线上，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，若点F为的中点，的延长线交于点G，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，求的面积．
24．（12分）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．
【迁移运用】
（1）如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ；
（2）若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ；
（3）若是的“边垂角”，且．
①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：；
对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证．
②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵，
，
在中，，，
．
故选：D
2．C
【分析】证，得，，，则，当时，，即可得出结论．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
，，，
，
当时，，
故选项、、不符合题意，选项符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线定义等知识，证明是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理是解题的关键．
证明，则，由平分，可得，则，计算求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：D．
4．B
【分析】根据全等三角形的判定对四个选项进行依次判定即可.
【详解】已知
A，时不构成全等的条件，故错误，不符题意；
B，时，在△AOC和△BOD中
∴(SAS)，使用了“边角边”，故符合题意；
C，时，在△AOC和△BOD中
∴(AAS)，使用了“角角边”，故不符合题意；
D，时，在△AOC和△BOD中
∴(ASA)，使用了“角边角”，故不符合题意，
故选B
【点拨】本题考查三角形全等的判定定理的应用，理解区分各种判定定理是关键．
5．A
【分析】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：由题意知，，
添加后，满足，不能判定，故A选项符合题意；
添加后，满足，能判定，故B选项不合题意；
添加后，满足，能判定，故C选项不合题意；
添加后，满足，能判定，故D选项不合题意；
故选A．
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，在数轴上表示不等式的解集，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长到点，使，连接，根据三角形的中线定义可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用三角形的三边关系求得的范围，再进行选择即可．
【详解】解：延长到点，使，连接，
是边上的中线，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
只有选项A符合要求，
故选：A
7．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．过C作直线轴，过B作于E，过A作于D，于是得到，得到，根据全等三角形的性质得到，根据点，点，得到，于是得到结论．
【详解】解：过C作直线轴，过B作于E，过A作于D，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
∴．
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识．过点作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得，同理，可知，，，进而可知，即，在上时最小．由是的角平分线，可知，由“直角三角形两锐角互余”可得，则，由此可得结论．
【详解】解：在上，作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，，如图，则，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，同理，
∴，，，
∴，即：，在上时最小．
是的角平分线，
，
∵，
，则，
．
故选C．
9．B
【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长．
【详解】解：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CE=CF，
∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=，
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
10．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．可证，所以可由绕点旋转而得到；由可得，，因为，等量代换；因为，所以，因为，，，所以，即，因为，可得；过作，可证，，所以，，据此可证明．
【详解】解：为的角平分线，
，
，，
，
可由绕点旋转而得到，故①符合题意，
，
，
，
，
，
，
，故②符合题意，
，
，
，，
，
，
，
，
，故③符合题意，
过作，交延长线于点，
，为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，故④符合题意，
故选：B．
11．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意直接证明，即可得出，即可求解．
【详解】解：在中，
，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，理解倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．延长至E，使得，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】延长至E，使得，连接，如图，
∵点D是BC的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．3；
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
14．
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，垂线定义，由直角三角形的性质得出，根据可证明，由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答．证明是解题的关键．
【详解】解：由题意可知：，，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵水平距离、分别为和，
∴，
∵
∴．
故答案为：．
15．3
【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论．
【详解】解：如图，连接AD．
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF＝5﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16． /40度 /70度
【分析】本题考查的三角形的外角的性质，角平分线的判定与性质，关键是掌握三角形的外角等于不相邻两个内角的和，利用和是 和的外角的性质便可求得．过点D作交BA的延长线于F，于点H，于点T，证明，进而可求出的度数．
【详解】解：的平分线与的外角的平分线相交于点，
，，
是的外角，
，
，
，
，
，
，
．
过点D作交BA的延长线于F，于点H，于点T，如下图所示：
∵是的平分线，
∴．
在和中
，
，
∴．
同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
17．102°
【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，如图，先根据SAS证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，进而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根据SAS证明△CDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，
∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，
又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，
∴∠EDC＝∠FDC，
∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠E=∠DFC=102°；
故答案为：102°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义以及对顶角相等的性质等知识，正确添加辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
18．
【分析】此题重点考查了全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
作，交的延长线于点，可证明，得，因为，所以以，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：作，交的延长线于点，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
19．(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键．
（1）证明，则，进而可证；
（2）由题意得，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为9．
20．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的内角和定理．
（1）证明即可得证结论；
（2）由得到，又，从而，因此，再由，即可证明，进而得到，．
【详解】（1）证明：∵是边上的高，
∴．
在和中
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（1）（2）
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得出结论；
（2）仿照（1）的方法证明；
本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【详解】解：（1），
理由如下：，，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2），
证明如下：，
，
直线，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
22．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是解题的关键；
（1）用即可证明；
（2）先证明，则，再证明，则，由与同底等高，得，再证明，则，最后与同底等高，
得，所以．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴在和中，
，
∴；
（2）
∵
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵ ，,
∴，
∴
∵
∴与同底等高，
∴,
∴
∵，∴，
∴,
∴，
∴，∵，
∴，
∴，
∵
∴与同底等高，
∴，
∴，
∴的面积为面积的2倍．
23．(1)见详解
(2)见详解
(3)80
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）根据，可得，然后根据，可证明，继而可得出；
（2）延长至，使，连接，证，可得出，证，从而证得，通过，得到；
（3）求出，由（2）可求出，则的面积可求出．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：延长至，使，连接，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
即；
（3）解：如图，∵，
，
，
，
，
，
．
24．(1)
(2)或
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论；
②连接，过点作与延长交于点，根据等腰三角形性质证明即可得到答案．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是；
（2）解：若是的“边垂角”，分两种情况
①如图，是的“边垂角”，
，
，
，
，
②如图，
是的“边垂角”，
，
，
，
，
综上所述，与的数量关系是或；
（3）解：①延长交于点，
是的“边垂角”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点关于直线对称点为点，
，
，
；
②连接，过点作与延长交于点，
是的“边垂角”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
．
【点拨】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键．
