第13章 轴对称（单元测试·基础卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列常见的手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（ ）
A． B．垂直平分线段
C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上
3．如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点关于点对称的点在x轴上，则m的值为（ ）
A． B． C． D．3
5．如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图翻折纸带，若，则（ ）
A． B． C． D．70°
7．如图，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接．若，，则的周长是（ ）
A． B．8 C．11 D．13
8．如图，在中，，，点P为直线上一点，且，连接，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
9．如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如果点和点关于y轴对称，那么的值是 ．
12．如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为 ．
13．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，，则的周长为 ．
14．如图，"，点E、F分别在射线上，，的面积为10，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则 的面积最小值为 ．
15．如图，点E在上，与相交于点F，，，，则的度数为 ．
16．如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为 ．
17．如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）．
18．如图，在中，于点，将沿着翻折得到，延长交于点，连接，设，以下四个结论：
（1）点是的中点；
（2）直线是的垂直平分线；
（3）；
（4）；
其中一定正确的是 （填写序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图1，在中，，垂足为．如图2，将沿所在直线翻折，使点落在边上，记为．
（1）若，求的度数．
（2）若，则的度数为______（用含的代数式表示）．
20．（8分）如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（10分）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（10分）如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）连接，垂直平分吗？说明理由．
23．（10分）如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，，．
（1）求的度数；
（2）求证：是等边三角形；
（3）连接，若，，求的长．
24．（12分）【问题提出】如图1，在中，，D是延长线上的点．连，以为边作（E、D在同侧），使，连．若，判断与的位置关系，并说明理由．
(1)【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当D在线段上，时，直接写出的度数 ；
(2)再探究具体情形、如图1，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，．点E为外一点，于D，．求的长．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
根据轴对称图形的定义：在一个平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：符合轴对称图形的定义只有A选项；
故选：A．
2．D
【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等是解题的关键．
【详解】解：与关于直线对称，为上任意一点，
垂直平分，
∴，与面积相等，故A，B，C选项不符合题意；
直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意．
故选：D．
3．A
【分析】此题考查轴对称的性质，由点E和点F分别是点D关于和的对称点，得，再根据，所以，即可求出答案．
【详解】解：点E和点F分别是点D关于和的对称点，
，
，
，
，
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，过A作轴于H，则，，由轴对称的性质得到，证明，得到，据此可得答案．
【详解】解：过A作轴于H，
∵点，
∴，，
∵点A与点关于点对称，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，
∴，
∵，
∴，
∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为．
故选：D
6．D
【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，先由平行线的性质得出，，因为折叠得，再结合平角概念列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：
∵纸带的两边平行
∴，
∵翻折
∴
∴
故选：D
7．B
【分析】本题考查了垂直平分线的作图及性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据作图可得线段的垂直平分线交于点，可得，再根据三角形的周长计算方法即可求解．
【详解】解：根据作图可得，线段的垂直平分线交于点，
∴，
∵的周长为：，
∴，
故选：B ．
8．C
【分析】本题考查了三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．注意点P为直线上一点，分别作图，运用三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质分别列式计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：
以点C为圆心，为半径画弧，分别交直线于两点，即,连接
∵，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
故选：C
9．B
【分析】本题考查角平分线，等腰三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定．根据角平分线的定义，则，；根据平行线的性质可证得，，然后根据等角对等边，则，，最后根据三角形的周长，即可．
【详解】∵，分别是，的角平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】作于点，根据角平分线的性质得，由知．本题主要考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质．
【详解】解：如图，作于点，
为的平分线，
，
，
则，
∴
故选：C．
11．5
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标为互为相反数，纵坐标相同进行求解即可．
【详解】解：∵和点关于y轴对称，
∴，
∴，
故答案为：5．
12．/度
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用平行线的性质得到，则由平角的定义可得，然后根据轴对称的性质得到，则可得∠CDB的度数，进而问题可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴,
∵点B关于直线的对称点为，
∴，
∴．
故答案为：.
13．13
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：的垂直平分线分别交于点E、F，
，
，
的周长为，
故答案为：13．
14． /度
【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，连接，过点作交的延长线于，，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，
∵，且，
∴，
∵点关于对称的点为，点关于对称的点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
∴的面积的最小值为，
故答案为：；．
15．/70度
【分析】本题主要考查全等三角形的性质、等边对等角和三角形内角和定理，根据题意得，结合全等三角形的性质有和，利用等边对等角和三角形内角和定理可求得和，即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
则，
那么，．
故答案为：．
16．3
【分析】过点作于，先根据含的直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的三线合一性质求出，即可得出．本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作于；如图所示：
则，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
故答案为：3．
17．50
【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，可知此时最小，此时，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】解：作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，如图所示．
根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，,
∴，
∴，
故答案为：50．
18．①②③
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据等腰三角形三线合一的性质以及翻折的性质可判断①②，根据三角形内角和定理和平角的定义可判定③④．
【详解】解：∵，，
∴，
即点是的中点，故①正确．
∵将沿着翻折得到，
∴，，，，
∴，且平分，
即直线是的垂直平分线；故②正确．
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确．
∵，
∴，
∴，故④错误．
综上①②③正确，
故答案为：①②③
19．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义以及性质，折叠的性质，掌握翻折的性质是解本题的关键；
（1）先得到，再根据折叠的性质得，根据三角形外角性质即可求解；
（2）由已知条件可得出点落在线段上时，同（1）解题过程一样求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
由翻折的性质可得出，
∵，
；
（2）∵，且点落在线段上时，
∵，
，
由翻折可知
．
20．见解析．
【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点作于点即可．
【详解】解：如图，点即为所求．
21．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，由此可得 ，进而得，据此可得出结论；
（2）根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，从而得为等边三角形，则，在中根据得，由此得，进而可得的长．
【详解】（1）证明：在中，
是边上的中线
， ，
（2）是线段的垂直平分线
为等边三角形
在中，，
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及含度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、含度角的直角三角形是解决问题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)垂直平分，见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识：
（1）根据，可得，可利用证明，即可；
（2）根据，可得，再由，可得，即可；
（3）根据，可得，再根据等腰三角形的性质解答，即可．
【详解】（1）证明：，
，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
．
（3）解：结论：垂直平分线段．理由如下：
∵，
，
，
，
垂直平分线段．
23．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征：
（1）利用等边三角形的性质及可得，进而可得，则可求解；
（2）利用可证得，进而可得，再根据等边三角形的判定即可证结论；
（3）连接，可得，进而可得，再根据即可求解；
熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
（3）解：连接，如图：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
24．(1)
(2)详见解析
(3)5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟记相关结论进行几何推理是解题关键．
（1）证即可求解；
（2）过D作，交的延长线于F，证得，即可求解；
（3）过A作交的延长线于F，证可得，再证即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴是等边三角形
∵，
∴是等边三角形
∴
∴
即：
∴
∴，
故答案为：
（2）解：过D作，交的延长线于F，如图所示：
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
即，
∵
∴，
∴，
∵，
∴
∴
（3）解：过A作交的延长线于F，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴
∴，
∴．第13章 轴对称（单元测试·基础卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列常见的手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（ ）
A． B．垂直平分线段
C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上
3．如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点关于点对称的点在x轴上，则m的值为（ ）
A． B． C． D．3
5．如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图翻折纸带，若，则（ ）
A． B． C． D．70°
7．如图，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，连接两弧交点的直线交于点，连接．若，，则的周长是（ ）
A． B．8 C．11 D．13
8．如图，在中，，，点P为直线上一点，且，连接，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
9．如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如果点和点关于y轴对称，那么的值是 ．
12．如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为 ．
13．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，，则的周长为 ．
14．如图，"，点E、F分别在射线上，，的面积为10，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则 的面积最小值为 ．
15．如图，点E在上，与相交于点F，，，，则的度数为 ．
16．如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为 ．
17．如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）．
18．如图，在中，于点，将沿着翻折得到，延长交于点，连接，设，以下四个结论：
（1）点是的中点；
（2）直线是的垂直平分线；
（3）；
（4）；
其中一定正确的是 （填写序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图1，在中，，垂足为．如图2，将沿所在直线翻折，使点落在边上，记为．
（1）若，求的度数．
（2）若，则的度数为______（用含的代数式表示）．
20．（8分）如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（10分）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（10分）如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）连接，垂直平分吗？说明理由．
23．（10分）如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，，．
（1）求的度数；
（2）求证：是等边三角形；
（3）连接，若，，求的长．
24．（12分）【问题提出】如图1，在中，，D是延长线上的点．连，以为边作（E、D在同侧），使，连．若，判断与的位置关系，并说明理由．
(1)【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当D在线段上，时，直接写出的度数 ；
(2)再探究具体情形、如图1，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)如图3，在中，．点E为外一点，于D，．求的长．
试卷第1页，共3页
