第12章 全等三角形（单元测试·基础卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，于点D，于点F，．证明不是利用“”的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知．若添加一个条件后，可得，则在下列条件中，可以添加的是（ ）
A． B．
C． D．平分
6．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是( )
A． B． C． D．
7．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点处有一激光发射器，激光照射到点处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点处的接收器上，若入射角，，则点处的接收器到轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为
12．如图，D，E是外两点，连接，有，．连接交于点F，则的度数为 ．
13．如图，，为的中点，若，，则 ．
14．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为
16．如图，在中，．点为外一点，于．，，，则的长为 ．
17．如图，在四边形中，E是边的中点，平分，且，若，四边形的周长为18，，则的值为 ．
18．如图，操场上有两根旗杆相距，小强同学从点沿走向，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知旗杆的高为，小强同学行走的速度为．
（1）另一旗杆的高度为 ；
（2）小强从点到达点还需要的时间是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在中，，，，试猜想与的位置关系，并说明理由．
20．（8分）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，E，F为垂足，且；
求证：
(1)
(2)．
21．（10分）如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接．且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
22．（10分）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
23．（10分）（1）【模型建立】如图1，在与中，，，，求证：；
（2）【模型应用】如图2，在与中，，，，三点在一条直线上，与交于点，若点为中点，
①求的度数；
②，求的面积；
24．（12分）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．
【迁移运用】
（1）如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______；
（2）若是的“边垂角”，则与的数量关系是______；
（3）若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．
根据全等三角形的性质得出，，求出，根据平行线的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断．
【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，
两角的夹边也可测量，为已知条件，
故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（），
故选：B．
3．A
【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解.
【详解】在上截取连接,
，
，
∵点是平分线上的一点，
，
在和中,
，
，
，
，
解得
故选A.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
4．B
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可．
【详解】解：∵于点D，于点F，．
∴，
∵，
∴补充：或，
可得：，故A，C不符合题意；
补充，
∴，
∴，故D不符合题意；
补充，
∴，
∴，故B符合题意；
故选B
5．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：A、∵，
∴和不一定全等，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴和不一定全等，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，故C符合题意；
D、∵平分，
∴，
∵，
∴和不一定全等，故D不符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴
又∵，，
∴，，
∴．
故选B
7．A
【分析】本题考查了作图 作已知角的角平分线，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角分线的性质．
作于，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质定理得到，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】解：作于H，
由题中作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．C
【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C作轴于点M，证明得出，进一步得出即可
【详解】解：过点C作轴于点M，如图，
则
根据题意得
∴
∴
又
∴
∴
∴
即点C处的接收器到轴的距离为3，
故选：C
10．D
【分析】①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，即可得到△BCE和△FCE全等，再由AB=AD+2BE即可求解；
②由①可证明△ACD和△ACF全等，再根据即可求解；
③由②即可得解；
④由②即可得解．
【详解】解：①在AE取点F，使．
在Rt△BCE与Rt△FCE中，
∴，
∴△BCE≌△FCE，
，，
，
，
，
，故①正确；
②AB上取点F，使，连接CF．
在与中，，，，
，
．
垂直平分BF，
，
．
又，
，
，故②正确；
③由②知，，，
又，
，故③正确；
④易证，
，
又，
，
，故④正确．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．
11．41°
【分析】根据题意，用SSS证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵AB = CD，
∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD，
在△ACE和△DBF中，
，
∴在△ACE≌△DBF(SSS)，
∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°，
∴∠DBF=180°-55°-84°=41°，
故答案为：41°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．
12．/140度
【分析】设交于点，由已知，推出 ，证明，得，可求得，则，即可得到结论；此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键．
【详解】解：设交于点，
在和中，
，
，
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定及性质，先根据平行线的性质求出，再由可求出，根据全等三角形的性质即可求出的长，再由即可求出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
14．1
【分析】延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解．
【详解】解：延长交于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴， ，
∴阴影部分的面积；
故答案为：1．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键．
15．
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标．
【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°．
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD．
在△ABO和△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD＝AO，CD＝BO，
∵A（4，0），B（0，6），
∴BD＝4，CD＝6，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键．
16．5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
方法一：过作，交的延长线于，证，得，，再证，得，则，即可求解．
方法二：在上截取，连接，设交于，先证明，再证明，得出，由等腰三角形三线合一的性质得，即可得出答案．
【详解】解：方法一：过作，交的延长线于，如图所示：
则，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
方法二：在上截取，连接，设交于，如图2所示：
，，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
17．
【分析】延长DE交AB于G，根据平分，且，证明≌，得到，，再利用E是边的中点，证明≌得到，利用周长公式即可求得答案．
【详解】解：延长DE交AB于G，如图
∵平分，且，
∴，
在和中，
∴≌
则，
又∵E是边的中点，
∴
在和中，
∴≌
则，
,
则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定种类，解题的关键是作辅助线．
18． 9 18
【分析】（1）根据题意证明，进而根据即可求得的长；
（2）由（1）可知，进而根据时间等于路程除以速度即可求解．
【详解】（1），
又
故答案为：
（2），小强同学行走的速度为
（秒）
小强从点到达点还需要的时间是秒
故答案为：
19．，理由见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．证明，推出，可得结论．
【详解】解：结论：，
理由：连接．
在与中，
，
，
，
，即．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明是解答的关键．
（1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余证明即可得结论．
【详解】（1）证明：∵于E点，于F点
∴在与中
∴
∴；
（2）证明：在直角三角形中，
∴
∴
∵E、C，F三点共线
∴
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理：
（1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明；
（2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案．
【详解】（1）证明：是的角平分线，，，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）证明，即可证明结论成立；
（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：∵，
∴
，
∴
∵
（2）证明：∵，
∴
平分，，
23．（1）见解析；（2）①；②
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．
（1）首先得到，然后证明出即可；
（2）首先由得到，然后证明出，得到，进而求解即可；
【详解】解：（1），
，
在和中，
，
；
（2）①
，
，
在和中，
，
，
，
；
②作于点，如图所示：
，
，
∵若点为中点，
∴，
在和中，
，
，
，
，
又点为中点，
；
24．(1)
(2)或
(3)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理：
（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是；
（2）解：若是的“边垂角”，分两种情况
①如图，是的“边垂角”，
，
，
，
，
②如图，
是的“边垂角”，
，
，
，
，
综上所述，与的数量关系是或；
（3）解：延长交于点，
是的“边垂角”，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点关于直线对称点为点，
，
，
；第12章 全等三角形（单元测试·基础卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，于点D，于点F，．证明不是利用“”的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知．若添加一个条件后，可得，则在下列条件中，可以添加的是（ ）
A． B．
C． D．平分
6．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是( )
A． B． C． D．
7．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点处有一激光发射器，激光照射到点处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点处的接收器上，若入射角，，则点处的接收器到轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为
12．如图，D，E是外两点，连接，有，．连接交于点F，则的度数为 ．
13．如图，，为的中点，若，，则 ．
14．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为
16．如图，在中，．点为外一点，于．，，，则的长为 ．
17．如图，在四边形中，E是边的中点，平分，且，若，四边形的周长为18，，则的值为 ．
18．如图，操场上有两根旗杆相距，小强同学从点沿走向，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知旗杆的高为，小强同学行走的速度为．
（1）另一旗杆的高度为 ；
（2）小强从点到达点还需要的时间是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在中，，，，试猜想与的位置关系，并说明理由．
20．（8分）如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，E，F为垂足，且；
求证：
(1)
(2)．
21．（10分）如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接．且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
22．（10分）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
23．（10分）（1）【模型建立】如图1，在与中，，，，求证：；
（2）【模型应用】如图2，在与中，，，，三点在一条直线上，与交于点，若点为中点，
①求的度数；
②，求的面积；
24．（12分）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．
【迁移运用】
（1）如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______；
（2）若是的“边垂角”，则与的数量关系是______；
（3）若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：．
试卷第1页，共3页
