山东济宁市济宁一中2024年高二10月阶段性测试数学试题（PDF版，含解析）

济宁市第一中学2024-2025学年度第一学期
高二阶段性测试
数学试卷 2024.10
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分.考试用时 120 分
钟.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡规定的地方.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的
1．已知 A 0, 1,1 ，B 1,1,4 ，平面 的法向量为 2, t,6 ，若 AB// ，则 t （ ）
A． 10 B．3 C．4 D．5

2．如图，G是 ABC的重心，OA a,OB b,OC c，则OG （ ）
1 a 2 b 2 c 2 a 2

b 1

A． B． c
3 3 3 3 3 3
2
C． a
2 b 2 c D 1． a 1 b 1 c
3 3 3 3 3 3

3．已知向量 a 2, 1,2 ，b 4,2, x r r， a//b，则 a b （ ）
A．3 B．9 C．27 D．81
1 2
4．已知事件 A，B是互斥事件， P A ， P B ，则 P A B （ ）6 3
1 4
A． B 1 2． C． D．
18 9 2 3
5．已知点D在VABC确定的平面内，O是平面 ABC外任意一点，若正实数 x, y满足
2x y
OD xOA 2yOB OC ，则 xy 的最小值为（ ）
5 9
A． B． C．2 D．4
2 2
试卷第 1页，共 4页
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6. 已知 a 2, 1,3 c ，b 1,4, 2 ， 7,5, ，若 a，b ， c三向量不能构成空间
向量的一组基底，则实数 的值为（ ）
65
A. 0 B. 5 C. 9 D.
7
7．已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧面积是两底面积的6 3倍，点 E为四边形 ABB1A1的中心，
点 F为棱CC1的中点，则异面直线 BF与 CE所成角的余弦值为（ ）
A 2 39 B 39 C 39 D 3 39． ． ． ．
13 13 26 26
8．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用 x表示第一次抛掷骰子的点数，
用 y表示第二次抛掷骰子的点数，用 x, y 表示一次试验的结果．记“ x y 7 ”为事件A，
“ xy 2k 1 k N* ”为事件 B，“ x 3”为事件C，则 （ ）
A．A与 B相互独立 B．A与 B对立
C． B与C相互独立 D．A与C相互独立
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选
对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分
9．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）
A．设有一大批产品，已知其次品率为 0.1，则从中任取 100件，必有 10件是次品
B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过 10000，所
估计出的概率也不一定很准确．
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
3
D．做 7次抛硬币的试验，结果 3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
7
π
10．设空间两个单位向量OA m, n,0 ,OB 0, n, p 与向量OC 1,1,1 的夹角都等于 ，则
4
cos AOB （ ）
A 2 3 B 1 3． ．
4 4
C 2 3 1 3． D．
4 4
11．如图，在边长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E为线段DD1的中点，点 F 为线段 BB1
的中点，则（ ）
试卷第 2页，共 4页
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A 5．点 A1到直线B1E的距离为 B．直线 FC
30
1到直线 AE的距离为
3 5
C．点 A1到平面 AB
1 1
1E的距离为 D．直线FC3 1
到平面 AB1E的距离为 3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.在一次掷硬币试验中，掷 100次，其中有 48次正面朝上，设反面朝上为事件 A，则事件
A出现的频率为 ．
13．如图，平面 ABFE与平面CDEF夹角为60 ，四边形 ABFE，CDEF都是边长为 2的正
方形，则 B，D两点间的距离是 ．
14．如图所示，在正方体 ABCD A B C D 中，AB＝3，M是侧面 BCC B 内的动点，满足
AM BD ，若 AM与平面 BCC B 所成的角 ，则 tan 的最大值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（本小题 13分）已知空间中三点 A 2,0, 2 ,B 1, 1, 2 ,C 3,0, 4 ，设 a AB,b AC

(1)已知 a kb b，求 k的值；

(2)若 c 6 c

，且 BC，求 c的坐标.
试卷第 3页，共 4页
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16.（本小题 15分）如图，正四面体 ABCD(所有棱长均相等)的棱长为 1，E，F，G，H分别

是正四面体 ABCD中各棱的中点，设 AB=a， AC b， AD c .

(1)用 a,b,c表示 EF，并求 EF的长；

(2)求 EF与GH夹角的大小．
17．（本小题 15分）已知甲、乙两袋中各装有 4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红
球 2个、白球 1个、蓝球 1个，乙袋中有红球 1个、白球 1个、蓝球 2个.
(1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；
(2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.
18．（本小题 17分）在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形， PC PD，
PC PD，O为 CD的中点，二面角 A-CD-P为直二面角.
(1)求证： PB PD；
(2)求直线 PC与平面 PAB所成角的正弦值；
(3)求平面 POB与平面 PAB夹角的余弦值.
19．（本小题 17分）甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮
3 2
答对的概率为 ，乙每轮答对的概率为 .在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮
4 3
结果也互不影响.
(1)求两人在两轮比赛中都答对的概率；
(2)求两人在两轮比赛中至少答对 3道题的概率；
(3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为 2的概率.
试卷第 4页，共 4页
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试卷第 5页，共 4页
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济宁市第一中学 2024-2025 学年度第一学期 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
高二阶段性测试数学答题卡 15.（13分） 16. （15分）
姓名 准考证号
班级
注 1.答题前先将姓名、班级、准考证号填
意 写清楚。2.第Ⅰ卷用 2B 铅笔将对应题
事 目的答案标号涂黑。3.第Ⅱ卷使用黑色 贴条形码处
项 字迹签字笔书写，笔迹清楚。
第Ⅰ卷 选择题（用 2B铅笔填涂）
1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
第Ⅱ卷 非选择题（用 0.5毫米的黑色墨水签字笔书写,在各题目答题区域
内作答,超出答题区域的答案无效）
二、填空题
12．
13．
14．
在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
17. （15分） 18. （17分） 19. （17分）
在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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高二数学参考答案
1.【答案】A

【详解】因为 AB 1,2,3 ， AB// ，
所以 1,2,3 2, t,6 0，即 2 2t 18 0，解得 t 10 .
故选：A.
2.【答案】D

【解析】 G是 ABC的重心，OA a,OB b,OC c，

OG OC CG，CG
2
CD，
3
1 CD CA CB ，2 CA OA OC，CB OB OC，
2 1 1 OG OC CA CB OC 1 1 OB OA，3 2 3 3 3
1 OG a 1
1
b c．
3 3 3
故选：D．
3．A

【详解】向量 a 2, 1,2 ，b 4,2, x 且a / /b，
2 1 2
则 ，解得 x 4，所以b 4, 2, 4 ，
4 2 x

所以 a

b 2,1, 2 ，

所以 a b 2 2 12 2 2 3 .
故选：A.
4.【答案】C
【详解】∵ P B 1 P B 2 1， P B ，∴ P B ，
3 3
∵事件 A，B是互斥事件，∴ P A B P A P B 1 1 1 ．故选：C
6 3 2
5．B
【详解】由 A,B,C,D四点共面，可知 x 2y 1 1，即 x 2y 2，
x 0, y 0 2x y 2 1 1 x 2y 2 1 1 5 2x 2y 由 ，
xy y x 2 y x 2

y x
答案第 1页，共 12页
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1 5 2 2 x 2 y 9 2x 2y
2
，当且仅当 x y y x ，即 时等号成立，2 y x 2 3
故选：B

6.D解：因为 a 2, 1,3 ，b 1,4, 2 ，
a

所以 与b 不共线，又 a，b ， c三向量不能构成空间向量的一组基底，
a

所以 ，b ， c三向量共面，
2x y 7

所以存在唯一的实数对 x, y ，使 c xa yb ，即 x 4y 5，

3x 2y
65
解得 ．故选：D
7
7.【详解】法一：如图所示，取 A1B1的中点 G，连接 FG，EG，
因为点 E为四边形 ABB1A1的中心，所以 EG / /CF ，且 EG CF，
所以四边形CFGE为平行四边形，所以FG / /CE，
所以 BFG或其补角就是异面直线 BF与 CE所成的角．
设该三棱柱的底面边长为 2，正三棱柱 ABC A1B1C1的侧面积是底面积的6 3倍，
则3 2AA 3 1 2 2
2 6 3 ，
4
所以 AA1 6．连接 BG，
则 BG 62 12 37， BF 22 32 13， FG 32 ( 3)2 2 3．
2 2 2
在 BFG中，由余弦定理得 cos BFG BF FG BG 13 12 37 39 ，所以异面
2BF FG 2 13 2 3 13
答案第 2页，共 12页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}
直线 BF 39与 CE所成角的余弦值为 ，
13
AC 2 3 3法二：设 ，则由题得 2CC1 2 2
2 6 3，所以CC1 6．
4
以 A为坐标原点，AC， AA1所在直线分别为 y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
3 1 则 B 3,1,0 ，C 0,2,0 ，E , ,3 ，F 0, 2,3 ，所以 BF 3,1,3 ，CE
3 3
, ,3 ，
2 2 2 2
3 3
3 1 3 3
故 cos BF ,CE 2 2 39 ，
3 1 9 3
13
9 9
4 4
39
所以异面直线 BF与 CE所成角的余弦值为 ．
13
3
法三：设 AC 2，则由题得3 2CC1 2 2
2 6 3，所以CC1 6．
4
uur r uuur r π
设CA a，CB b，CC1 c，则 a c，b c， a，b的夹角为 ，3

a b 2， c 6
1
， BF CF CB c b，
2
1 1 1 CE CA CB CC 1 1 11 a b c，2 2 2 2 2 2
1 2 2c b 1 c c b b 9 0 4 13 ，
2 4
2 2 2
a b c a b c 2a b 4 4 36 2 2 2 1 4 3，
2

1 c b 1

a 1 b 1 c 1
2 1 1 2

cos BF,CE B F C E
2 c a b b 2 2 2 所以 4 2 2
BF CE 1 c b 1
1 1 a b c 13 2 3
2 2 2 2
9 2 1 39
，
13 2 3 13
答案第 3页，共 12页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}
所以异面直线 BF与 CE 39所成角的余弦值为 .
13
故选：B．
8.【答案】D
【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6 6 36个；
其中事件 A “ x y 7 ”包含的样本点有：
1,6 ， 2,5 ， 3, 4 ， 4,3 ， 5,2 ， 6,1 共6个；
事件 B “ xy 2k 1 k N* ”，包含的样本点有：
1,1 ， 3,3 ， 5,5 ， 1,3 ， 1,5 ， 3,1 ， 3,5 ， 5,1 ， 5,3 共9个，
事件C “ x 3”，包含的样本点有： 1,1 ， 1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,5 ， 1,6 ，
2,1 ， 2, 2 ， 2,3 ， 2, 4 ， 2,5 ， 2,6 ，
3,1 ， 3,2 ， 3,3 ， 3, 4 ， 3,5 ， 3,6 共18个，
所以A与 B不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故 B 错误；
因为A与 B不能同时发生，所以A与 B是互斥事件，则 P AB 0，
6 1 9 1
又 P A ， P B ，所以 P AB P A P B ，
6 6 6 6 6 4
所以A与 B不相互独立，故 A错误；
事件 BC包含的样本点有： 1,1 ， 3,3 ， 1,3 ， 1,5 ， 3,1 ， 3,5 共6个，
因为 P BC 1 P B P C ，所以 B与 C不相互独立，故 C错误．
6
又事件 AC包含的样本点有： 1,6 ， 2,5 ， 3, 4 共3个，
所以 P C 1 ， P A P C 1 3 1 ，则 P AC P A P C ，
2 12 36 12
所以A 与 C 相互独立，故 D正确；
故选：D
9．ACD
【详解】对于 A: 从中任取 100件，可能有 10件，A错误；
对于 B:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越
稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确.
答案第 4页，共 12页
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对于 C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C
错误；
3
对于 D: 做 7次抛硬币的试验，结果 3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是 ，
7
3
不是概率为 ，D错误；
7
故选: ACD.
10．AC

【详解】 空间两个单位向量OA m,n, 0 ，OB 0,n, p 与向量OC 1,1,1 的夹角都等于
π
，
4

AOC BOC ， OC 3，
4

OA OC OA OC cos AOC 6 ，
2
6
又OA OC m n， m n ，
2

又OA为单位向量， m2 n2 1，

m2 2 3

6 m2
2 3
m n 4

4
联立 2 ，得 或 ，
m2 n
2 1 n2 2 3 2 2 3 4
n
4

OA m,n, 0 ，OB 0,n, p ，
cos AOB n 2 2 3 .
4
故选：AC.
11．ABD
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1 1,0,1 ，B1 1,1,1 ，E 0,0,
1 F 1,1, 1 ， ，
2 2
C1 0,1,1 ， 1,0,0 ．
答案第 5页，共 12页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}
1 u B1E 2 2 1

因为 B E 1, 1, ， 1

, ,

1 ， AB (0,1,0)．
2 B1E 3 3 3 1 1
2
设 a1 A1B1 0,1,0 ，所以 a1 u1 ，3
4 5
所以点 A1到直线 B1E的距离为 a 2 (a u )2 1 ，故 A正确．9 3

因为 AE

1,0,
1
， FC1 1,0,
1
，所以 AE∥FC ，
2 2 1
所以 AE∥F1C，所以点 F 到直线 AE的距离即为直线 FC1到直线 AE的距离．

u AE
2 5 5
,0, 1 AF 0,1, 2 ， ．
AE 5 5 2

设 a2 AF 0,1,
1 5
，所以2 a2 u 2
，
10
2
所以直线 FC

1到直线 AE
5 5 30
的距离为 ，故 B正确．4 10 5

设平面 AB1E的一个法向量 n (x, y, z)，



1 n AB1 y z 0,
又 AB1 (0,1,1)， AE

1,0,

，所以 2 1 n AE x z 0. 2
y 2 取 z 2，则 ， x 1，所以n (1, 2,2)，

n n

1 2 2
所以 0 , ,n 3 3 3 ．
2
又 A1A (0,0,1)，所以点 A1到平面 AB1E的距离为 A1A n0 ，故 C错误．3
因为 FC1∥AE，FC1 平面 AB1E，所以 FC1 / /平面 AB1E，
答案第 6页，共 12页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}
所以 FC1到平面 AB1E的距离即为点 F 到平面 AB1E的距离．
AB E n 1 , 2 2 ,

FB 又平面 1 的单位法向量 0 ， 1 0,0,
1
，
3 3 3 2
1
所以直线 FC1到平面 AB1E的距离为 FB1 n0 3 ，故 D正确．
故选：ABD
12．0.52
【详解】由题意可得反面朝上次数为100 48 52，
52
所以设反面朝上为事件 A，则事件 A出现的频率为 P A 0.52 .
100
故答案为：0.52 .
13【答案】 2 2
【详解】因为四边形 ABFE、CDEF都是边长为2的正方形，则 AE EF ，DE EF，

又平面 ABFE与平面CDEF夹角为60 ，即 AED 60o，则 EA,ED 60 ，

因为DB DE EA AB EA ED AB，由图易知 AB EA， AB ED，
2
所以 DB EA ED AB
2 2 2
EA ED AB 2EA ED 2EA AB 2ED AB
4 4 4 2 2 2 cos60 0 0 2 2，
即 B，D两点间的距离是 2 2 .
故答案为： 2 2 .
14.【答案】 2
【解析】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
则 A 3,0,0 ,B 3,3,0 ,D 0,0,3 ，
设M x,3, y x, y 0,3 ，

则 AM x 3,3, y ,BD 3, 3,3 ，
因为 AM BD ，

所以 AM BD x 3,3,y 3, 3,3 3 x 3 9 3y 0 ，
答案第 7页，共 12页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}
所以 y x，则M x,3, x ，
因为 AB 平面 BCC B ，
所以 AMB即为 AM与平面BCC B 所成角，即 AMB，
则 tan
AB 3 3

BM ，x 3 2 x2 2x2 6x 9
所以当 x
3
时， tan 取得最大值 2 .2
故答案为： 2 .
1
15．(1) k
5

(2) c (4, 2, 4)

或 c ( 4, 2, 4)

【详解】（1）因为 A 2,0, 2 ,B 1, 1, 2 ,C 3,0, 4 ， a AB,b AC，

所以 a = (-1,-1,0),b (1,0, 2) a = - ， +kb = (k-1,-1,-2k)，..........................3
又 a kb b，所以(a +kb)×b = k-1+ 4k = 0 1，得到 k ..................................6
5

（2）因为 c BC (2 , , 2 )，又 c 6，所以 4 2 2 4 2 6，.................10
解得 2或 2，.........................12

所以 c的坐标为 c (4, 2, 4)或 c ( 4, 2, 4) ........................................13
1 1 1
16．(1)EF a b c 2，
2 2 2 2
(2)90

【详解】（1）因为 E，F分别为棱 BC，AD的中点，且 AB=a， AC b， AD c，
答案第 8页，共 12页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}
1 1 1 1 可得 EF EB BA AF CB AB AD AB AC AB AD2 2 2 2
1 uuur 1 uuur uuur r r r
AB AC 1 AD 1 a 1 b 1 c，..............................4
2 2 2 2 2 2
a

因为正四面体 ABCD的棱长为 1，则 b c 1，且 a b a c b c
1
，
2
2
EF 1a 1
1 2 1 1 b c 1

可得 a 2 b 2 c 2 1 1 1 a b a c b c
2 2 2 4 4 4 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
，.......................................9
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2

即 EF 2 2 ，所以 EF的长为 .................................................10
2 2
1 1 1
（2）由题意得GH GA AD
1
DH AB AD DC AB AD AC AD2 2 2 2
1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 r 1 r r
AB AC AD a b 1 c，................................12
2 2 2 2 2 2
1
因此 EF GH a b c2
1 a b c 1 a 2 b 2 c 2 2a c
2

4
1
1 1 1 1 2
4 2
0，.............................14


即 EF GH ，即 EF与GH的夹角为90 ....................15
5
17．(1)
16
(2) 78
【详解】（1）设甲袋中的红球为 r1,r2，白球为w，篮球为b，
乙袋中的红球为 R，白球W，篮球为 B1,B2 ，
则从两袋中各取一球，所有基本事件如下：
r1,R , r1,W , r1,B1 , r1,B2 ， w,R , w,W , w1,B1 , w,B2 ，
r2 ,R , r2 ,W , r2 ,B1 , r2 ,B2 ， b,R , b,W , b,B1 , b,B2 ，
故基本事件的总数为16 .........................................3
设A为“取到的两球颜色相同”，则A含有的基本事件如下：
r1,R , r2 ,R , w,W , b,B1 , b,B2 , ..........................................5
P A 5 5共 5个基本事件，则 ............................................................7
4 4 16
（2）如（1）中所设，从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，总的基本事件如下：
答案第 9页，共 12页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}
r1, r2 ,R , r1, r2 ,W , r1, r2 ,B1 , r1, r2 ,B2 ， r1,w,R , r1,w,W , r1,w,B1 , r1,w,B2 ，
r1,b,R , r1,b,W , r1,b,B1 , r1,b,B2 ， r2 ,b,R , r2 ,b,W , r2 ,b,B1 , r2 ,b,B2 ，
r2 ,w,R , r2 ,w,W , r2 ,w,B1 , r2 ,w,B2 ， b,w,R , b,w,W , b,w,B1 , b,w,B2 ，
基本事件的总数为 24，............................10
设 B为“取到至少一个红球”，其对立事件设为C，则C为“没有取到红球”，
C含有的基本事件如下： b,w,W , b,w,B1 , b,w,B2 ，共有 3个，...............13
故 P C 3 1 1 7 ，故 P B 1 P C 1 ..........................15
24 8 8 8
18．(1)证明见解析
(2) 10
5
1
(3)
5
【详解】（1）因为 PC PD，O为 CD的中点，
所以 PO CD．.......................................1
又因为平面 PCD 平面 ABCD，平面 PCD 平面 ABCD CD， PO 平面 PCD，
所以 PO 平面 ABCD．....................2
因为CD 2， PC PD，PC PD，所以 PO 1．
取 AB的中点 E，连接OE，则OE⊥CD，
以点 O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为 x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系
O xyz，........................................4
则 0,0,0 ，D 1,0,0 ，C 1,0,0 ，B 1,2,0 ， 0,0,1 ， A 1,2,0 ．

PB 1,2, 1 ， PD 1,0, 1 ，

因为 PB PD 1 0 1 0，..........................5
答案第 10页，共 12页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}
所以 PB PD．
（2）设平面 PAB的一个法向量为 = , , ，

m

AP 0 x 2 y z 0
则 ，即 2x 0 ，..................................7 m AB 0

解得 x 0，令 y 1，则 z 2，则m 0,1,2 ．..............................9
设直线 PC与平面 PAB所成的角为 ，

又 PC 1,0, 1 ，

m

PC 0,1, 2 1,0, 1 2
sin cos m,PC 10则 ，m PC 1 4 1 1 5 2 5
10
所以直线 PC与平面 PAB所成的角的正弦值为 ．..............10
5

（3）设平面 POB的一个法向量为 n a,b,c ，
n

OP 0 c 0
则 ，即 a 2b 0 ,...................................12 n OB 0

解得 c 0，令b 1，则 = 2，故 n 2,1,0 ．..................14
设平面 POB与平面 PAB的夹角为 ，
m n 0,1,2 2,1,0
则 cos cos m, n
1 1
．m n 1 4 4 1 5 5 5
1
故平面 POB与平面 PAB的夹角的余弦值为 ．........................17
5
19．(1) 14
2
(2)
3
5
(3) .
16
【详解】（1）依题意，设事件M “甲两轮都答对问题”，N “乙两轮都答对问题”，
P M 3 3 9所以 ,P N 2 2 4
4 4 16 3 3 9
因为事件M ,N相互独立，
所以两人在两轮比赛中都答对的概率为 P MN P M P N 9 4 1 . ........5
16 9 4
（2）设事 A “甲第一轮答对”， B “乙第一轮答对”，
答案第 11页，共 12页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}
C “甲第二轮答对”，D=“乙第二轮答对”，
E “两人在两轮比赛中至少答对 3道题”，
则 E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD，
由事件的独立性与互斥性，
可得 P(E) P(ABCD) P(ABCD) P(ABCD) P(ABCD) P(ABCD)
P(A)P(B)P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D) P(A)P(B)P
(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D).
3 2 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 2 3 1 2

4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3
2
故两人在两轮比赛中至少答对 3道题的概率为 ....................................10
3
（3）设事件 A2 , A3分别表示甲三轮答对 2个，3个题目，
B2 ,B3分别表示乙三轮答对 2个，3个题目，
3
则 P A 3 3 3 1 272 ,P A
3 27 ，
4 4 4 64 3 4 64
P B 3 2 2 1 4 2
3
,P B 82 3 ，.............................153 3 3 9 3 27
设事件Q “两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为 2”，
则Q A2B2 A3B3，且 A2 , A3 ,B2 ,B3分别相互独立，
P Q P A B P A B P A P B P A P B 27 4 27 8所以 2 2 3 3 2 2 3 3 64 9 64 27
5
............................17
16
5
所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为 2的概率为 .
16
答案第 12页，共 12页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}
试卷第 13页，共 1页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}
试卷第 14页，共 1页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}
答案第 1页，共 1页
{#{QQABTQKAggiIAJAAAQgCAwFoCEGQkBGAAYgORBAEsAAASBNABCA=}#}