7.2.2 复数的乘、除运算 练习（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.2　复数的乘、除运算
一、选择题
1.已知复数z=(2+i)2,则z的虚部为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.3i C.4 D.4i
2.= (　 )
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
3.[2024·广州增城一中高一月考] 已知i是虚数单位,则复数(1-i)(2+i)的模为 (　 )
A.2 B. C.10 D.
4.若复数z满足z(1+i)=|-i|,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.已知-2+i是关于x的方程2x2+mx+n=0的一个根,其中m,n∈R,则m+n= (　 )
A.18 B.16 C.9 D.8
6.定义运算=ad-bc,则符合条件=0(i是虚数单位)的复数z在复平面内对应的点位于 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.(多选题)[2024·长沙雅礼中学高一月考] 设z1,z2为复数,则下列结论中正确的是 (　 )
A.z1=|z1|2
B.=|z2|2
C.若z1z2=|z1|2,则=z2
D.若|z1|=1,则|z1+2i|的最大值为3
8.(多选题)已知集合M={m|m=in,n∈N*},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是 (　 )
A.(1-i)(1+i) B.
C. D.(1-i)2
二、填空题
9.已知复数z满足(1-i)z=2i-1(i为虚数单位),则|z|= 　　　　.
10.写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z=　　　　.
11.[2024·宁波镇海中学高一期中] 已知复数z满足方程(1+ai)z=bi,其中i为虚数单位,a,b∈R.若z·=1,则b2+a的最小值为　　　　.
三、解答题
12.计算:(2-3i)·++.
13.[2024·新余一中高一月考] 已知关于x的方程x2-ax+ab=0,其中a,b为实数.
(1)设x=1-i(i是虚数单位)是该方程的根,求a,b的值;
(2)证明:当>,且a>0时,该方程无实数根.
14.已知复数z1=(a+i)2(a∈R),z2=4-3i,其中i是虚数单位.
(1)若z1=iz2,求实数a的值;
(2)若是纯虚数,a是正实数,求+++…+.
7.2.2　复数的乘、除运算
1.C　[解析] ∵z=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i,∴z的虚部为4.故选C.
2.C　[解析] ==2+i.故选C.
3.D　[解析] 因为(1-i)(2+i)=2+i-2i-i2=3-i,所以复数(1-i)(2+i)的模为=.故选D.
4.A　[解析] 由z(1+i)=|-i|==2,得z===1-i,则=1+i,所以z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1),该点位于第一象限.故选A.
5.A　[解析] 方法一:由题意得2(-2+i)2+m(-2+i)+n=0,化简得-2m+n+6+(m-8)i=0,所以解得所以m+n=18.故选A.
方法二:因为-2+i是关于x的实系数方程2x2+mx+n=0的一个根,所以-2-i也是方程2x2+mx+n=0的根,所以由根与系数的关系得-2+i-2-i=-,(-2+i)(-2-i)=,解得m=8,n=10,所以m+n=18.
6.C　[解析] 由题意可知,=0,则z·2i-(-i)×(1+i)=0,可得z===--i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为,该点位于第三象限.故选C.
7.AD　[解析] 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z1|2=a2+b2,故A正确;=(c+di)2=c2-d2+2cdi,而|z2|2=c2+d2,故B错误;当z1=0,z2(z2≠0)取任意的复数时,都有z1z2=|z1|2,但≠z2,故C错误;|z1+2i|的几何意义为单位圆上的点与点(0,-2)之间的距离,易知|z1+2i|的最大值为3,故D正确.故选AD.
8.BC　[解析] 根据题意,M={m|m=in,n∈N*},当n=4k+1(k∈N)时,in=i,当n=4k+2(k∈N)时,in=-1,当n=4k+3(k∈N)时,in=-i,当n=4k+4(k∈N)时,in=1,∴M={-1,1,i,-i}.对于选项A,(1-i)(1+i)=2 M;对于选项B,==-i∈M;对于选项C,==i∈M;对于选项D,(1-i)2=-2i M.故选BC.
9.　[解析] 因为(1-i)z=2i-1,所以z====,所以|z|==.
10.1+2i(答案不唯一)　[解析] 设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+3=(a+bi)2+3=a2-b2+3+2abi为纯虚数,∴a2-b2+3=0且2ab≠0,可取a=1,b=2,此时z=1+2i.
11.　[解析] ∵z·=|z|2=1,∴|z|=1,即=1,∴b2=a2+1,∴b2+a=a2+a+1=+≥,∴b2+a的最小值为.
12.解:原式=(2-3i)·++=(2-3i)(1+i)+1+1=5-i+1+1=7-i.
13.解:(1)∵x=1-i是该方程的根,∴1+i也是该方程的根,由一元二次方程根与系数的关系得1-i+1+i=a,(1-i)(1+i)=ab,解得a=2,b=2.
(2)证明:∵>,且a>0,∴-=>0,
∴4a(4b-a)>0,即4ab-a2>0,
∴Δ=a2-4ab<0,∴原方程无实数根.
14.解:(1)因为z1=(a+i)2,z2=4-3i,z1=iz2,所以(a+i)2=a2-1+2ai=3+4i,所以解得a=2,故实数a的值为2.
(2)依题意得===,因为是纯虚数,所以解得a=2或a=-,又因为a是正实数,所以a=2,所以=i,所以+++…+=i+i2+i3+i4+…+i2024=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2021+i2022+i2023+i2024)=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+…+(i-1-i+1)=0+0+…+0=0.