7.1.1　数系的扩充和复数的概念 练习（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　复数
7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
一、选择题
1.[2024·金华一中高一期中] 复数z=1-i(i为虚数单位)的虚部为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.-1
C.i D.-i
2.以2i-的虚部为实部,以i-2的实部为虚部的新复数是 (　 )
A.2+I B.2-2i
C.-+i D.+i
3.在下列复数中,满足方程x2+10=0的是 (　 )
A.±10 B.±
C.±i D.±10i
4.若A,B,C分别表示复数集、实数集和纯虚数集,则 (　 )
A.A=B∪C B.B∪C={0}
C.B=A∩C D.B∩C=
5.若2+(a-2)i(a∈R)是实数,(b-1)+i(b∈R)是纯虚数,则复数a+bi为 (　 )
A.2-i B.1-2i
C.2+i D.1+2i
6.[2024·长沙长郡中学高一月考] 复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是 (　 )
A.a≤0
B.a<0且a=-b
C.a>0且a≠b
D.a>0且a=|b|
7.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(λ,θ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
8.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法中正确的是 (　 )
A.若a≠0,则ai是纯虚数
B.虚部为-的虚数有无数个
C.实数集是复数集的真子集
D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
9.(多选题)下列说法中正确的是 (　 )
A.1+i2=0
B.若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i
C.若x2+y2=0,则x=y=0
D.若z=(a-1)+(a2+2a-3)i>-2,a∈R,则a=1
二、填空题
10.已知x,y∈R,i为虚数单位,若x+3i=(y-2)i,则x+y=　　　　.
11.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
12.定义运算=ad-bc,若(x+y)+(x+3)i=,x,y∈R,则z=y-xi=　　　　.
三、解答题
13.当实数m取什么值时,复数z=m2-m-6+(m2-3m-10)i满足下列条件
(1)复数z为实数;
(2)复数z为纯虚数;
(3)复数z为0.
14.已知i为虚数单位,集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i},且M∩N≠ ,求整数a,b的值.
15.已知复数z1=2+mi(m∈R),z2=tan θ+icos 2θ(θ∈R),若z1=z2,则实数m=　　　　.
16.已知lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然数m,n的值.
第七章　复数
7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
1.B　[解析] 复数z=1-i的虚部为-1.故选B.
2.B　[解析] 以2i-的虚部为实部,以i-2的实部为虚部的新复数是2-2i.
3.C　[解析] ∵x2+10=0,∴x2=-10=10i2,∴x=±i,故选C.
4.D　[解析] ∵A,B,C分别表示复数集、实数集和纯虚数集,∴A B,A C,B∩C= ,故选D.
5.C　[解析] 由题意得a-2=0,b-1=0,∴a=2,b=1,∴a+bi=2+i.故选C.
6.A　[解析] 若复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数,则有a+|a|=0,可得a≤0,故选A.
7.A　[解析] ∵z1=z2,∴消去m得4sin2θ=λ+3sin θ,∴λ=4-.∵-1≤sin θ≤1,∴当sin θ=时,λ取得最小值-,当sin θ=-1时,λ取得最大值7,∴-≤λ≤7,即λ的取值范围是,故选A.
8.BCD　[解析] 对于A,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为-的虚数可以表示为m-i(m∈R),有无数个,故B正确;根据复数的分类,可知C正确;两个复数相等一定能推出它们的实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.故选BCD.
9.AD　[解析] 对于A,因为i2=-1,所以1+i2=0,故A正确;对于B,两个虚数不能比较大小,故B错误;对于C,当x=1,y=i时,x2+y2=0,故C错误;对于D,若z=(a-1)+(a2+2a-3)i>-2,则解得a=1,所以D正确.故选AD.
10.5　[解析] 因为x+3i=(y-2)i,所以解得所以x+y=5.
11.(-∞,-1)∪(3,+∞)　[解析] 由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,即实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
12.2+i　[解析] 由题意得(x+y)+(x+3)i=(3x+2y)+yi,所以x+y=3x+2y,x+3=y,解得x=-1,y=2,所以z=y-xi=2+i.
13.解:(1)复数z为实数的充要条件是z的虚部为0,即m2-3m-10=0,解得m=-2或m=5,
所以当m=-2或m=5时,z为实数.
(2)复数z为纯虚数的充要条件是z的虚部不为0,实部为0,即解得m=3,
所以当m=3时,z为纯虚数.
(3)复数z为0的充要条件是z的实部与虚部同时为0,即解得m=-2,所以当m=-2时,z为0.
14.解:由题意得(a+3)+(b2-1)i=3i①,或8=(a2-1)+(b+2)i②,或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i③.
由①得解得
由②得解得
由③得即
a,b无整数解,不符合题意.
综上,a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2.
15.-　[解析] ∵复数z1=2+mi(m∈R),z2=tan θ+icos 2θ(θ∈R),且z1=z2,∴∴m=cos 2θ====-.
16.解:因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,所以lo(m+n)-(m2-3m)i是实数,从而有由①得m=0或m=3.当m=0时,代入②得n<2,又m+n>0,m,n为自然数,所以n=1;当m=3时,代入②得n<-1,与n是自然数矛盾.综上可得,m=0,n=1.