7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 练习（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
一、选择题
1.已知i为虚数单位,复数z1=2+i,z2=1-2i,则z1+z2等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1+i B.2-i
C.3-i D.-i
2.设复数z=-1-i(i为虚数单位),则2-z的模为 (　 )
A. B.5
C. D.10
3.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=3+4i,则z1+z2= (　 )
A.-6 B.6
C.8i D.-8i
4.已知复数z在复平面内对应的点为(-1,1),则 (　 )
A.z-1是实数 B.z-1是纯虚数
C.z-i是实数 D.z+i是纯虚数
5.[2024·丽水五校高一期中] 已知复数z=a+bi(a,b∈R),i是虚数单位,若z-2=2+3i,则复数z的虚部为 (　 )
A. B.2
C.i D.2i
6. 在复平面内,一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,则第4个顶点对应的复数为 (　 )
A.-1+2i B.-1+3i
C.3i D.-+3i
7.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O为坐标原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是 (　 )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8.(多选题)设复数z的共轭复数为,若z-=-14i,||=5,则z可能为 (　 )
A.1-7i B.1+7i
C.-1-7i D.-1+7i
9.(多选题)已知复数z1=2-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1,复数z2满足|z2-i|=1,则下列结论正确的是 (　 )
A.点P1的坐标为(2,-2)
B.=2+2i
C.|z1-z2|的最大值为+1
D.|z1-z2|的最小值为-1
二、填空题
10.化简:(1+2i)+(i+i2)+|3+4i|=　　　　.
11.已知复数z1=2+i,z2=2-3i. 若|z|=5,且复数z的实部为复数z1-z2的虚部,则复数z= 　　　　　.
12.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,且z1+z2=-i,其中i为虚数单位,则|z1-z2|=　　　　.
三、解答题
13.(1)计算:+(2-i)-.
(2)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.
14.已知复平面内平行四边形ABCD,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.
(1)求点D对应的复数;
(2)求平行四边形ABCD的面积.
15.在复平面内,已知复数z满足|z-1|=|z+i|(i为虚数单位),记z0=2+i对应的点为Z0,z对应的点为Z,则点Z0与点Z之间距离的最小值为　　　　.
16.[2024·安庆一中高一期中] 定义一种运算:(a,b)=ac+bd.
(1)已知z为复数,且(3,)=7-3i,求|z|;
(2)已知x,y为实数,(y+sin 2x,2)-(1,sin2x)也是实数,将y表示为x的函数.
7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
1.C　[解析] 由题意,z1+z2=(2+i)+(1-2i)=3-i.故选C.
2.C　[解析] ∵z=-1-i,∴2-z=3+i,故|2-z|==.故选C.
3.B　[解析] 依题意得z2=3-4i,所以z1+z2=6.故选B.
4.C　[解析] 由题意得z=-1+i,则z-1=-2+i,故A,B错误;z-i=-1,为实数,故C正确;z+i=-1+2i,不是纯虚数,故D错误.故选C.
5.A　[解析] z-2=a+bi-2(a-bi)=-a+3bi=2+3i,则解得则复数z的虚部为.故选A.
6.B　[解析] 在复平面内,设复数1+2i,-2+i,0对应的点分别为A(1,2),B(-2,1),O(0,0),则⊥且||=||,所以该正方形以OA,OB为邻边.设第4个顶点为D(x,y),则=,即解得所以D(-1,3),即第4个顶点对应的复数为-1+3i,故选B.
7.B　[解析] 由题可知,以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故△AOB一定是直角三角形.故选B.
8.AC　[解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由题意可得解得或所以z=1-7i或-1-7i.故选AC.
9.ABC　[解析] 复数z1=2-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1,则P1(2,-2),=2+2i,故A,B正确;由复数z2满足|z2-i|=1,可得z2在复平面内对应的点的集合是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆,连接CP1,则|z1-z2|的最大值为|CP1|+1=+1=+1,最小值为|CP1|-1=-1,故C正确,D不正确.故选ABC.
10.5+3i　[解析] (1+2i)+(i+i2)+|3+4i|=(1+2i)+(i-1)+=(1+2i)+(i-1)+5=(1-1+5)+(2+1)i=5+3i.
11.4+3i或4-3i　[解析] 设z=a+bi(a,b∈R),因为|z|=5,所以a2+b2=25.因为z1-z2=(2+i)-(2-3i)=4i,所以复数z1-z2的虚部为4.因为复数z的实部为复数z1-z2的虚部,所以a=4,又由a2+b2=25,解得b=±3,所以z=4+3i或4-3i.
12.2　[解析] 方法一:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.∵z1+z2=(a+c)+(b+d)i=-i,∴a+c=,b+d=-,∴a2+c2+2ac+b2+d2+2bd=4,∴ac+bd=-2,∴|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|====2.
方法二:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵z1+z2=(a+c)+(b+d)i=-i,∴|z1+z2|=2,即|z1|=|z2|=|z1+z2|=2,设O为坐标原点,z1,z2,z1+z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,连接OA,OB,OC,AC,BC,AB.∵|z1|=|z2|=|z1+z2|=2,∴△OAC是边长为2的正三角形,∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为2的菱形,且|z1-z2|是菱形的较长的对角线AB的长,∴|z1-z2|=|AB|==2.
13.解:(1)+(2-i)-=+i=1+i.
(2)∵z1=2+3i,z2=-1+2i,∴z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
14.解:(1)∵在复平面内,向量对应的复数为1+2i,
向量对应的复数为3-i,∴=(1,2),=(3,-1),
∴=+=(1,2)+(3,-1)=(4,1),
易知点A的坐标为(2,1),则设O为坐标原点,
则=-=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
∴=+=(1,-1)+(4,1)=(5,0),
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·=||||cos B,
∴cos B===.
∵B∈(0,π),∴sin B=,∴平行四边形ABCD的面积为||||sin B=××=7.
15.　[解析] 设复数z=a+bi(a,b∈R),则Z(a,b),z-1=a-1+bi,z+i=a+(b+1)i,∵|z-1|=|z+i|,∴=,整理得a+b=0,又z0=2+i在复平面内对应的点为Z0(2,1),∴点Z0与点Z之间的距离d==,∴dmin=.
16.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),因为(3,)=3z+4=3(a+bi)+4(a-bi)=7a-bi=7-3i,
所以即
则z=1+3i,故|z|==.
(2)(y+sin 2x,2)-(1,sin2x)=(2y-sin x)+(y+sin 2x-2sin2x)i为实数,则y+sin 2x-2sin2x=0,所以y=-sin 2x+2sin2x=-sin 2x+2×=-(sin 2x+cos 2x)+=-2sin+.