18.3 等腰三角形 配套教学设计
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文档简介
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1教学目标
1、知识与技能：掌握与等腰三角形有关的二倍角问题的基本结论及其推理过程，并会利用此基本图形解决相关问题。【来源：21·世纪·教育·网】
2、过程与方法：通过对等腰三角形有关的二 ( http: / / www.21cnjy.com )倍角基本图形的研究会进行思维迁移解决相关问题，渗透转化的数学思想，并形成分析此类图形问题的基本方法。21教育名师原创作品
3、情感态度价值观：创设民主和谐的课堂氛围，调动学生主动思考、积极参与，激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的自信心。【来源：21cnj*y.co*m】
2学情分析
本节课的内容是在学生学习了等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )和判定方法的基础上进行研究的。八年级的学生已经具备了一定的“空间与图形”的观念和进一步说理和简单推理的能力，对于基本图形具有一定的敏感度，具有一定的总结概括的能力，本节课的设计力求学生体会基本图形在几何证明问题中的灵活运用，培养学生的图形观念和基本的解题技巧，学会转化和迁移，进一步培养学生的几何素养。【版权所有：21教育】
3重点难点
【教学重点】掌握与等腰三角形有关的二倍角问题的基本结论及其推理过程；
【教学难点】通过习题的训练、变式掌握不同问题间共性的的内在的知识和方法的联系。
4教学过程
4.1 习题课教学目标
1、知识与技能：掌握与等腰三角形有关的二倍角问题的基本结论及其推理过程，并会利用此基本图形解决相关问题。21世纪教育网版权所有
2、过程与方法：通过对等腰三角形有关的二倍 ( http: / / www.21cnjy.com )角基本图形的研究会进行思维迁移解决相关问题，渗透转化的数学思想，并形成分析此类图形问题的基本方法。www-2-1-cnjy-com
3、情感态度价值观：创设民主和谐的课堂氛围，调动学生主动思考、积极参与，激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的自信心。学时重点
掌握与等腰三角形有关的二倍角问题的基本结论及其推理过程；学时难点
通过习题的训练、变式掌握不同问题间共性的的内在的知识和方法的联系。
教学活动
活动1【导入】初步感知
问题一：如图，在⊿ABC 中，D是CA延长线上的点,（1）若AB=AC，你能得出什么结论？
此问题采用发散式的提问方式 ( http: / / www.21cnjy.com )，考虑到不同层次的学生对此问题有不同层次的思考，所以采用学生先独立思考给同学们更多思考的空间，鼓励同学们说出所得出的不同层次的结论，经过全班交流，互相补充，学生得出∠BAD=2∠B的结论。为培养学生的逻辑思维、语言表达能力，由学生代表表达推理过程和总结所用到的知识点。
（设计意图）此处直接给出基本图形，是基 ( http: / / www.21cnjy.com )于学生对于等腰三角形的性质和判定方法已经掌握的基础上，具有一定的抽象概括能力，能通过一般图形直接概括出规律，直截了当，开门见山。
考虑到不同层次的同学对问题的掌握程 ( http: / / www.21cnjy.com )度内和扎实双基的需要，在进行全班交流推理过程后，学生们在练习本上完成此题的推理过程的书写。为了让学生所学的知识由感性上升到理性，并训练学生的语言的表达能力，请同学尝试用文字语言概括这一规律，经过同学们的互相补充和完善得出如下结论：等腰三角形顶角的外角是底角的二倍。在此问题的推理过程中，体会等腰三角形性质的运用。www.21-cn-jy.com
此问题的解决，通过调动学生的多种感官，强化对基础知识和基本图形的掌握和认识，为后面问题的研究奠定基础。2-1-c-n-j-y
接着提出（2）若∠BAD=2∠B, 则AB=AC吗？
此问题将（1）中的条件和结论互换， ( http: / / www.21cnjy.com )有了前面问题的深入解决，学生会运用逆向思维分析并解决此问题，在此过程中强调让学生总结运用的知识点，体会等腰三角形的性质和判定方法的运用的区别并总结概括出一般的结论：如果三角形的外角是它不相邻内角的二倍，则这个三角形是等腰三角形.【出处：21教育名师】
活动2【讲授】提升认知
引导学生对比两个问题，提出问题二：以上两个问题有什么联系？
此问题让学生的认识进一步升华，体会在这两个互 ( http: / / www.21cnjy.com )逆的问题中，实际上是借助图形特征实现了边角关系的转化。进而得出此二倍角基本图形的本质特征。进而引出本节课的课题——与等腰三角形有关的二倍角问题，本节课就来学习如何运用此基本形。
活动3【活动】灵活运用
探究活动——问题三：⊿ABC 中，∠B =2 ∠C ，AD为BC边上的高，试说明AB+BD=CD.
活动要求：先画图，独立思考，再与同伴交流方法.
温馨提示：此题解题方法不唯一！
此问题具有一定的难度，需要 ( http: / / www.21cnjy.com )学生将问题转化，构造基本形，因此我留给学生足够的时间与空间，放慢课堂节奏，让他们针对已知条件和求证的结论以及图形特点，充分的讨论和交流，力求通过生生互动，进行思维的有效碰撞，得出解决问题的方法，让学生更好的体会基本形的运用方法。考虑到学生的不同层次性，此问题的解决分以下几个步骤：（1）留给学生足够的时间独立思考，鼓励同学们大胆尝试不同的辅助线的做法，培养学生的发散思维。（2）考虑到问题的难度，会有一部分同学没有思路，我会请想出解法的同学，把正确的辅助线做法画在黑板上，但并不讲解。想以此给其他同学思路的指引，在此基础上再展开交流会更加有效。在此过程中教师关注学生的探究进程，发现在探究过程中，由不会到会的同学，鼓励这样的同学到前面展示证明方法。（3）汇报展示，选派学生代表，分别讲解两种方法的证明过程。（如图）21教育网
方法一： 方法二：
在交流方法的过程中，教师注意引导学生总结优化后的方法。并强调两种解法的基本形是如何运用的。进一步强化基本形的运用。21·cn·jy·com
教师通过如下问题，引导学生总结:
此题是如何想到这样做辅助线的？截长补短的目的是什么？为什么在此处截或接？
通过以上三个追问，会让学生逐步体会、感悟、思考解决问题的方法，即利用已知条件构造轴对称全等图形，实现边、角的转移，形成二倍角基本形。2·1·c·n·j·y
教师出示如下框图：此环节的设计，目的是引导学生总结归纳，发现问题的本质特征，达到触类旁通的目的。
为了让学生进一步巩固方法，对以上问题进一步变式，把高线的条件，改成角平分线，并设计成结论开放的问题，以提高学生的解题能力。21·世纪*教育网
问题四：⊿ABC 中,AD平分∠BAC,∠B =2∠C， 请你探究图中AB, BD, AC三条线段的关系？
有了前面问题三的深入探究 ( http: / / www.21cnjy.com )和解决，为培养锻炼学生们的能力，此问题完全放手给学生，根据不同层次的学生对问题理解的深度不同，采用小组交流的方式，互相帮助，鼓励多种方法解决问题，在此过程中，教师深入到小组中，与学生交流，适当的加以点拨和引导，相信学生会很好的完成此问题的证明。由学生完成此题两种方法的讲解： 21*cnjy*com
方法一： 方法二：
让学生体会方法的迁移，并进一步巩固基本形在解决问题中的运用。
为让此方法的体会延伸到课下，将以上两问题条件结论互换，发展逆向思维，培养学生灵活解决问题的能力。布置如下巩固作业：21*cnjy*com
1.⊿ABC 中，AD为BC边上的高， AB+BD=CD， 求证：∠B =2 ∠C.
2.⊿ABC 中, AD平分∠BAC, AB+BD=AC, 求证：∠B =2∠C.
活动4【讲授】总结提升
人的认知能力的发展和认知水平的提高在很大程度上得益于深刻的反思活动，此环节采用师生互动，共同反思、总结、补充的方式进行。21cnjy.com
小结如下——
1．二倍角基本形的特征；
2．思想方法：转化、类比、抽象、概括；
3. 评价学生的学习表现
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1教学目标
1、知识与技能：掌握与等腰三角形有关的二倍角问题的基本结论及其推理过程，并会利用此基本图形解决相关问题。【来源：21·世纪·教育·网】
2、过程与方法：通过对等腰三角形有关的二 ( http: / / www.21cnjy.com )倍角基本图形的研究会进行思维迁移解决相关问题，渗透转化的数学思想，并形成分析此类图形问题的基本方法。21教育名师原创作品
3、情感态度价值观：创设民主和谐的课堂氛围，调动学生主动思考、积极参与，激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的自信心。【来源：21cnj*y.co*m】
2学情分析
本节课的内容是在学生学习了等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )和判定方法的基础上进行研究的。八年级的学生已经具备了一定的“空间与图形”的观念和进一步说理和简单推理的能力，对于基本图形具有一定的敏感度，具有一定的总结概括的能力，本节课的设计力求学生体会基本图形在几何证明问题中的灵活运用，培养学生的图形观念和基本的解题技巧，学会转化和迁移，进一步培养学生的几何素养。【版权所有：21教育】
3重点难点
【教学重点】掌握与等腰三角形有关的二倍角问题的基本结论及其推理过程；
【教学难点】通过习题的训练、变式掌握不同问题间共性的的内在的知识和方法的联系。
4教学过程
4.1 习题课教学目标
1、知识与技能：掌握与等腰三角形有关的二倍角问题的基本结论及其推理过程，并会利用此基本图形解决相关问题。21世纪教育网版权所有
2、过程与方法：通过对等腰三角形有关的二倍 ( http: / / www.21cnjy.com )角基本图形的研究会进行思维迁移解决相关问题，渗透转化的数学思想，并形成分析此类图形问题的基本方法。www-2-1-cnjy-com
3、情感态度价值观：创设民主和谐的课堂氛围，调动学生主动思考、积极参与，激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的自信心。学时重点
掌握与等腰三角形有关的二倍角问题的基本结论及其推理过程；学时难点
通过习题的训练、变式掌握不同问题间共性的的内在的知识和方法的联系。
教学活动
活动1【导入】初步感知
问题一：如图，在⊿ABC 中，D是CA延长线上的点,（1）若AB=AC，你能得出什么结论？
此问题采用发散式的提问方式 ( http: / / www.21cnjy.com )，考虑到不同层次的学生对此问题有不同层次的思考，所以采用学生先独立思考给同学们更多思考的空间，鼓励同学们说出所得出的不同层次的结论，经过全班交流，互相补充，学生得出∠BAD=2∠B的结论。为培养学生的逻辑思维、语言表达能力，由学生代表表达推理过程和总结所用到的知识点。
（设计意图）此处直接给出基本图形，是基 ( http: / / www.21cnjy.com )于学生对于等腰三角形的性质和判定方法已经掌握的基础上，具有一定的抽象概括能力，能通过一般图形直接概括出规律，直截了当，开门见山。
考虑到不同层次的同学对问题的掌握程 ( http: / / www.21cnjy.com )度内和扎实双基的需要，在进行全班交流推理过程后，学生们在练习本上完成此题的推理过程的书写。为了让学生所学的知识由感性上升到理性，并训练学生的语言的表达能力，请同学尝试用文字语言概括这一规律，经过同学们的互相补充和完善得出如下结论：等腰三角形顶角的外角是底角的二倍。在此问题的推理过程中，体会等腰三角形性质的运用。www.21-cn-jy.com
此问题的解决，通过调动学生的多种感官，强化对基础知识和基本图形的掌握和认识，为后面问题的研究奠定基础。2-1-c-n-j-y
接着提出（2）若∠BAD=2∠B, 则AB=AC吗？
此问题将（1）中的条件和结论互换， ( http: / / www.21cnjy.com )有了前面问题的深入解决，学生会运用逆向思维分析并解决此问题，在此过程中强调让学生总结运用的知识点，体会等腰三角形的性质和判定方法的运用的区别并总结概括出一般的结论：如果三角形的外角是它不相邻内角的二倍，则这个三角形是等腰三角形.【出处：21教育名师】
活动2【讲授】提升认知
引导学生对比两个问题，提出问题二：以上两个问题有什么联系？
此问题让学生的认识进一步升华，体会在这两个互 ( http: / / www.21cnjy.com )逆的问题中，实际上是借助图形特征实现了边角关系的转化。进而得出此二倍角基本图形的本质特征。进而引出本节课的课题——与等腰三角形有关的二倍角问题，本节课就来学习如何运用此基本形。
活动3【活动】灵活运用
探究活动——问题三：⊿ABC 中，∠B =2 ∠C ，AD为BC边上的高，试说明AB+BD=CD.
活动要求：先画图，独立思考，再与同伴交流方法.
温馨提示：此题解题方法不唯一！
此问题具有一定的难度，需要 ( http: / / www.21cnjy.com )学生将问题转化，构造基本形，因此我留给学生足够的时间与空间，放慢课堂节奏，让他们针对已知条件和求证的结论以及图形特点，充分的讨论和交流，力求通过生生互动，进行思维的有效碰撞，得出解决问题的方法，让学生更好的体会基本形的运用方法。考虑到学生的不同层次性，此问题的解决分以下几个步骤：（1）留给学生足够的时间独立思考，鼓励同学们大胆尝试不同的辅助线的做法，培养学生的发散思维。（2）考虑到问题的难度，会有一部分同学没有思路，我会请想出解法的同学，把正确的辅助线做法画在黑板上，但并不讲解。想以此给其他同学思路的指引，在此基础上再展开交流会更加有效。在此过程中教师关注学生的探究进程，发现在探究过程中，由不会到会的同学，鼓励这样的同学到前面展示证明方法。（3）汇报展示，选派学生代表，分别讲解两种方法的证明过程。（如图）21教育网
方法一： 方法二：
在交流方法的过程中，教师注意引导学生总结优化后的方法。并强调两种解法的基本形是如何运用的。进一步强化基本形的运用。21·cn·jy·com
教师通过如下问题，引导学生总结:
此题是如何想到这样做辅助线的？截长补短的目的是什么？为什么在此处截或接？
通过以上三个追问，会让学生逐步体会、感悟、思考解决问题的方法，即利用已知条件构造轴对称全等图形，实现边、角的转移，形成二倍角基本形。2·1·c·n·j·y
教师出示如下框图：此环节的设计，目的是引导学生总结归纳，发现问题的本质特征，达到触类旁通的目的。
为了让学生进一步巩固方法，对以上问题进一步变式，把高线的条件，改成角平分线，并设计成结论开放的问题，以提高学生的解题能力。21·世纪*教育网
问题四：⊿ABC 中,AD平分∠BAC,∠B =2∠C， 请你探究图中AB, BD, AC三条线段的关系？
有了前面问题三的深入探究 ( http: / / www.21cnjy.com )和解决，为培养锻炼学生们的能力，此问题完全放手给学生，根据不同层次的学生对问题理解的深度不同，采用小组交流的方式，互相帮助，鼓励多种方法解决问题，在此过程中，教师深入到小组中，与学生交流，适当的加以点拨和引导，相信学生会很好的完成此问题的证明。由学生完成此题两种方法的讲解： 21*cnjy*com
方法一： 方法二：
让学生体会方法的迁移，并进一步巩固基本形在解决问题中的运用。
为让此方法的体会延伸到课下，将以上两问题条件结论互换，发展逆向思维，培养学生灵活解决问题的能力。布置如下巩固作业：21*cnjy*com
1.⊿ABC 中，AD为BC边上的高， AB+BD=CD， 求证：∠B =2 ∠C.
2.⊿ABC 中, AD平分∠BAC, AB+BD=AC, 求证：∠B =2∠C.
活动4【讲授】总结提升
人的认知能力的发展和认知水平的提高在很大程度上得益于深刻的反思活动，此环节采用师生互动，共同反思、总结、补充的方式进行。21cnjy.com
小结如下——
1．二倍角基本形的特征；
2．思想方法：转化、类比、抽象、概括；
3. 评价学生的学习表现
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