25.1 一元二次方程 教学设计
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1新设计
已学习过一元一次方程、二元一次方程组一样 ( http: / / www.21cnjy.com )，一元二次方程也可以表达许多实际问题中的数量关系，它是分析和解决许多实际问题的重要的数学模型之一。一元二次方程的学习是一元一次方程、方程组、不等式知识的延续和深化，也是二次函数等知识的基础。下面从以下几方面对教材作肤浅的分析。一元二次方程这一内容的地位较为特殊，从《数学课程标准》上看，本章内容与过去的大纲相比，不仅在知识内容上有所删减，在教学要求上也有所调整。 《数学课程标准》特别提出“能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理”。一元二次方程的知识在我们日常生活中随处可见，并与许多实际问题都有联系。本章从引言到小结始终保持贴近实际生活。教学中，要让学生能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，同时应把重点放在分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示这一层面上，应通过丰富的实际问题，引导学生正确理解实际问题情境，在分析问题解决问题的过程中感受数学建模思想，增强用数学的思维方式思考问题解决摁他的能力，可提供图像表格等不同的形式引导学生分析题意，提炼数学信息，并将相关语言翻译为数学语言，进而确定相关量之间的数量关系，最终建立一元二次方程的数学模型。www.21-cn-jy.com
2教学目标
教学目标:1了解一元二次方程的概念；
2 一般式及其派生的概念；
3应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
3学情分析
1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性 ( http: / / www.21cnjy.com )质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。21教育网
2、学生学习本节课的知识障碍，本节课的主 ( http: / / www.21cnjy.com )要目的在于建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想，而不仅仅是利用函数的图象求一元二次方程的近似解。
3、心理上，老师应抓住一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程的求解方法很多，在学习了因式分解法、配方法、求根公式法等的基础上，激发学生对一元二次方程的其它解法的探求兴趣，进而由一次函数与一元一次方程的关系类比到二次函数的图象与一元二次方程的根的情况上来，顺着学生的思维逐步引导加以激发。2·1·c·n·j·y
4重点难点
1重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
5教学过程
5.1 第一学时
教学活动
活动1【导入】教学过程
一、情境引入
问题一
如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽 ( http: / / www.21cnjy.com )50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600,则铁皮各角应切去多大的正方形？分 析：设正方形绿地的长为xcm，不难列出方程
(100-2x)(50-2x)=3600.
整理，得x2-75x+350=0
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个 ( http: / / www.21cnjy.com )队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分 析：全部比赛共4×7=28场.
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他 ( http: / / www.21cnjy.com )(x-1)个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x-1)场.【来源：21·世纪·教育·网】
列方程x(x-1)=28
整理，得x2-x=28
化简，得x2-x=56（2）
由方程（1）可以得出参赛队数.
活动2【讲授】教学过程
二、探索新知
思考、讨论：
这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.
显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？21cnjy.com
（学生分组讨论，然后各组交流）
共同特点：
（1）都是整式方程，（2）只含有一个未知数，（3）未知数的最高次数是2.。
归纳概念
上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式：www-2-1-cnjy-com
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a ( http: / / www.21cnjy.com )≠0)。其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。.2-1-c-n-j-y
（引导学生关注二次项系数a的取值范围并回答为什么？）
活动3【活动】教学过程
学生分组讨论
活动4【练习】教学过程
下列方程是一元二次方程的是_____（填序号）.
①3x2+7=0 ②3x-4=5x+6 ③(x-2)(x+5)=x2-1 ④3x2=0
根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
（1)4个完全相同的正方形的面积之和是25， 求正方形的边长x；
解：所列方程为：______,化成一元二次方程的一般形式为： .
（2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x
解：所列方程为：__________ 化成一元二次方程的一般形式为： ______________.
（3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
解：所列方程为：_______, 化成一元二次方程的一般形式为：___________.
活动5【讲授】教学过程
一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项,a是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项．三、例题讲解21世纪教育网版权所有
例将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．21·cn·jy·com
本题先由同学讨论，再由教师 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳.此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。解：去括号，得：3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得：3x2-8x-10=0其中二次项系数为3x2 ，一次项系数为-8，常数项为-10 .
活动6【讲授】教学过程
一元二次方程的解（根）:使方程____________的未知数的值，
叫做一元二次方程的解，也 ( http: / / www.21cnjy.com )叫做________________ 下面那些数是方程.－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：因为-2和3能使方程x2-x-6=0的左右两边相等，所以-2和3是方程x2-x-6=0的根.21·世纪*教育网
活动7【测试】教学过程
将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：见课本第4页第1题1~3
活动8【作业】教学过程
教科书第4页习题21.1第1、2题
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1新设计
已学习过一元一次方程、二元一次方程组一样 ( http: / / www.21cnjy.com )，一元二次方程也可以表达许多实际问题中的数量关系，它是分析和解决许多实际问题的重要的数学模型之一。一元二次方程的学习是一元一次方程、方程组、不等式知识的延续和深化，也是二次函数等知识的基础。下面从以下几方面对教材作肤浅的分析。一元二次方程这一内容的地位较为特殊，从《数学课程标准》上看，本章内容与过去的大纲相比，不仅在知识内容上有所删减，在教学要求上也有所调整。 《数学课程标准》特别提出“能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理”。一元二次方程的知识在我们日常生活中随处可见，并与许多实际问题都有联系。本章从引言到小结始终保持贴近实际生活。教学中，要让学生能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，同时应把重点放在分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示这一层面上，应通过丰富的实际问题，引导学生正确理解实际问题情境，在分析问题解决问题的过程中感受数学建模思想，增强用数学的思维方式思考问题解决摁他的能力，可提供图像表格等不同的形式引导学生分析题意，提炼数学信息，并将相关语言翻译为数学语言，进而确定相关量之间的数量关系，最终建立一元二次方程的数学模型。www.21-cn-jy.com
2教学目标
教学目标:1了解一元二次方程的概念；
2 一般式及其派生的概念；
3应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
3学情分析
1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性 ( http: / / www.21cnjy.com )质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。21教育网
2、学生学习本节课的知识障碍，本节课的主 ( http: / / www.21cnjy.com )要目的在于建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想，而不仅仅是利用函数的图象求一元二次方程的近似解。
3、心理上，老师应抓住一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程的求解方法很多，在学习了因式分解法、配方法、求根公式法等的基础上，激发学生对一元二次方程的其它解法的探求兴趣，进而由一次函数与一元一次方程的关系类比到二次函数的图象与一元二次方程的根的情况上来，顺着学生的思维逐步引导加以激发。2·1·c·n·j·y
4重点难点
1重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
5教学过程
5.1 第一学时
教学活动
活动1【导入】教学过程
一、情境引入
问题一
如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽 ( http: / / www.21cnjy.com )50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600,则铁皮各角应切去多大的正方形？分 析：设正方形绿地的长为xcm，不难列出方程
(100-2x)(50-2x)=3600.
整理，得x2-75x+350=0
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个 ( http: / / www.21cnjy.com )队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分 析：全部比赛共4×7=28场.
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他 ( http: / / www.21cnjy.com )(x-1)个队各赛1场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x-1)场.【来源：21·世纪·教育·网】
列方程x(x-1)=28
整理，得x2-x=28
化简，得x2-x=56（2）
由方程（1）可以得出参赛队数.
活动2【讲授】教学过程
二、探索新知
思考、讨论：
这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.
显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？21cnjy.com
（学生分组讨论，然后各组交流）
共同特点：
（1）都是整式方程，（2）只含有一个未知数，（3）未知数的最高次数是2.。
归纳概念
上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。通常可写成如下的一般形式：www-2-1-cnjy-com
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a ( http: / / www.21cnjy.com )≠0)。其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。.2-1-c-n-j-y
（引导学生关注二次项系数a的取值范围并回答为什么？）
活动3【活动】教学过程
学生分组讨论
活动4【练习】教学过程
下列方程是一元二次方程的是_____（填序号）.
①3x2+7=0 ②3x-4=5x+6 ③(x-2)(x+5)=x2-1 ④3x2=0
根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
（1)4个完全相同的正方形的面积之和是25， 求正方形的边长x；
解：所列方程为：______,化成一元二次方程的一般形式为： .
（2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x
解：所列方程为：__________ 化成一元二次方程的一般形式为： ______________.
（3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
解：所列方程为：_______, 化成一元二次方程的一般形式为：___________.
活动5【讲授】教学过程
一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项,a是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项．三、例题讲解21世纪教育网版权所有
例将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．21·cn·jy·com
本题先由同学讨论，再由教师 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳.此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。解：去括号，得：3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得：3x2-8x-10=0其中二次项系数为3x2 ，一次项系数为-8，常数项为-10 .
活动6【讲授】教学过程
一元二次方程的解（根）:使方程____________的未知数的值，
叫做一元二次方程的解，也 ( http: / / www.21cnjy.com )叫做________________ 下面那些数是方程.－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：因为-2和3能使方程x2-x-6=0的左右两边相等，所以-2和3是方程x2-x-6=0的根.21·世纪*教育网
活动7【测试】教学过程
将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：见课本第4页第1题1~3
活动8【作业】教学过程
教科书第4页习题21.1第1、2题
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