鲁教五四新版七年级数学上册《第3章+勾股定理》2015年单元测试卷（河南省濮阳六中）
文档属性
| 名称 | 鲁教五四新版七年级数学上册《第3章+勾股定理》2015年单元测试卷（河南省濮阳六中） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 377.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-17 18:33:52 | ||
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文档简介
鲁教五四新版七年级数学上册《第3章 勾股定理》2015年单元测试卷（河南省濮阳六中）
一．填空题（每题3分，共24分）
1．如图，正方形内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A，B，C所代表的正方形面积是__________．
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2．如图，半圆内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的半圆面积是__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．已知直角三角形的两直角边长为6cm和8cm，则斜边上的中线长是__________；斜边上的高为__________．
4．如图，台风过后，琼岛小学的旗杆在B处 ( http: / / www.21cnjy.com )折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部__________米处断裂．
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5．长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体纸盒内可完全放入的棍子最长是__________cm．
6．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=__________．
7．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为__________cm．
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．
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二、选择题（每题3分，共24分）
9．在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C、的对边，若∠A=90°，则( )
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C．c2+a2=b2 D．b+a=c
10．观察下列几组数据：①3，4，5；②4，5，6；③6，8，10；④7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
11．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的( )
A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍
12．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )
A．斜边长为5 B．三角形的周长为25
C．斜边长为25 D．三角形的面积为20
13．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
14．如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）( )
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A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
15．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ( http: / / www.21cnjy.com )AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )
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A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
16．放学以后，小红和小颖 ( http: / / www.21cnjy.com )从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
三、解答题（共52分）
17．如图，等腰三角形腰长为5cm，底边长为6cm，求三角形的面积．
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18．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）已知c=25，b=15，求a的值；
（2）已知a=12，∠A=60°，求b、c的值．
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19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，c=15，求a、b的值．
20．在平静的湖面上，有一支红莲，高出 ( http: / / www.21cnjy.com )水面1m，﹣阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深为__________米．
21．如图所示，一架长为2.5米的 ( http: / / www.21cnjy.com )梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？
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22．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．
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（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
（2）求这个零件的面积．
23．如图，A、B两个小集镇在河流 ( http: / / www.21cnjy.com )CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
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24．如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽 ( http: / / www.21cnjy.com )BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
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鲁教五四新版七年级数学上册《第3章 勾股定理》2015年单元测试卷（河南省濮阳六中）
一．填空题（每题3分，共24分）
1．如图，正方形内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A，B，C所代表的正方形面积是81，64，100．
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【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理，即可求出A，B，C所代表的正方形的面积．
【解答】解：如图1所示：∵∠DEF=90°，
∴DE2=DF2﹣EF2=162﹣81=81，
∴字母A所代表的正方形面积是81；
同理：字母B所代表的正方形面积=172﹣152=64；
字母C所代表的正方形面积=64+36=100；
故答案为：81，64，100．
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【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
2．如图，半圆内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的半圆面积是π．
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【考点】勾股定理．
【分析】由于正方形的面积等于边长的平方，根据勾股定理求出面积是A的半圆的直径的平方，进而即可求得半圆的面积A．
【解答】解：∵以EG为边正方形的面积等于400，即EG2=400，
∵以FG为边正方形的面积为300，
∴FG2=300，
又∵△EFG为直角三角形，根据勾股定理得：
EG2=EF2+FG2，
∴EF2=EG2﹣FG2=400﹣300=100，
∴EF=10，
则半圆的面积为：A=π（）2=π．
故答案为π．
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【点评】此题考查了正方形的面积公式、圆的面积公式以及勾股定理，熟记正方形、圆的面积和勾股定理是解题的关键．
3．已知直角三角形的两直角边长为6cm和8cm，则斜边上的中线长是5cm；斜边上的高为4.8cm．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【专题】计算题．
【分析】根据勾股定理先求出斜边，依据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出中线长，再根据面积相等求出斜边上的高．
【解答】解：直角三角形中两直角边长为6、8，
则根据勾股定理可得斜边长的平方等于两直角边的平方和，
∴斜边长==10，
∴斜边中线长=×10=5；
根据面积相等，设斜边上的高为xcm，
列方程得：×6×8=×10x，
解得x=4.8cm．
故答案为：5cm，4.8cm．
【点评】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质，利用面积相等来解题，是解决直角三角形问题的常用的方法，可有效简化计算．
4．如图，台风过后，琼岛小学的旗杆在B处折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部6米处断裂．
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【考点】勾股定理的应用．
【分析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的未知求出．
【解答】解：设旗杆未折断部分长为x米，则折断部分的长为（16﹣x）m，
根据勾股定理得：x2+82=（16﹣x）2，
可得：x=6m，即距离地面6米处断裂，
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是建立数学模型，将实际问题运用数学思想进行求解．
5．长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体纸盒内可完全放入的棍子最长是13cm．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意画出图形，两次运用勾股定理即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，
连接BD、AD，
在Rt△BCD中，BD===5（cm），
在Rt△ABD中，AD===13（cm）．
故这个盒子最长能放13cm的棍子．
故答案为：13．
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【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=8．
【考点】勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】由三角形ABC为直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2=AB2，又AB=2，
∴AC2+BC2=AB2=4，
则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．
故答案为：8
【点评】此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
7．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为24cm．
【考点】勾股定理．
【分析】设直角三角形的三 ( http: / / www.21cnjy.com )边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．
【解答】解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：
（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，
解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），
即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．
所以，其周长为6+8+10=24cm．
【点评】本题主要考查了运用直角三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质的能力，关键在于运用勾股定理得出三边之间的关系，根据题意求出三边的边长．周长=三边之和，求出周长．
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有 ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2．
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【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．
故答案为：49cm2．
【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．
二、选择题（每题3分，共24分）
9．在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C、的对边，若∠A=90°，则( )
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C．c2+a2=b2 D．b+a=c
【考点】勾股定理．
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，
∵∠A=90°，
∴b2+c2=a2．
故选B．
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【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
10．观察下列几组数据：①3，4，5；②4，5，6；③6，8，10；④7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】由勾股定理的逆定理得出①③④能构成直角三角形，②不能构成直角三角形；即可得出结论．
【解答】解：∵32+42=52，
∴3，4，5能构成直角三角形，
∴①能作为直角三角形三边长；
∵42+52≠62，
∴4，5，6不能构成直角三角形，
∴②不能作为直角三角形三边长；
∵62+82=102，
∴6，8，10能构成直角三角形，
∴③能作为直角三角形三边长；
∵72+242=252，
∴7，24，25能构成直角三角形，
∴④能作为直角三角形三边长；
∴能作为直角三角形三边长的有3组，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
11．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的( )
A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．
【解答】解：设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2；
另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为=2c．
即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．
故选A．
【点评】熟练运用勾股定理对式子进行变形．
12．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )
A．斜边长为5 B．三角形的周长为25
C．斜边长为25 D．三角形的面积为20
【考点】勾股定理．
【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案．
【解答】解：两直角边长分别为3和4，
∴斜边==5；
故选A．
【点评】此题较简单关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．
13．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．
【解答】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．
故选C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定以及性质．
14．如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）( )
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A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．
【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．
由题意，得AC=3×16÷2=24，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB===30cm．
故选B．
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【点评】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．
15．如图，有一块直角三角形纸片， ( http: / / www.21cnjy.com )两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )
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A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【考点】勾股定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【解答】解：∵AC=6cm，BC=8cm，∠C=90°
∴AB=10cm，
∵AE=6cm（折叠的性质），
∴BE=4cm，
设CD=x，
则在Rt△DEB中，
42+x2=（8﹣x）2，
∴x=3cm．
故选：B．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
16．放学以后，小红和小颖从学校分手，分 ( http: / / www.21cnjy.com )别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
【考点】勾股定理的应用．
【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：根据题意得：如图：
OA=40×20=800m．
OB=40×15=600m．
在直角△OAB中，AB==1000米．
故选C．
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【点评】本题考查正确运用勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题的关键．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
三、解答题（共52分）
17．如图，等腰三角形腰长为5cm，底边长为6cm，求三角形的面积．
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【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，AD=AB=3cm，由勾股定理求出CD，△ABC的面积=AB CD，即可得出结果．
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图所示：
则∠ADC=90°，AD=AB=3cm，
∴CD===4（cm），
∴△ABC的面积=AB CD=×6×4=12（cm2）．
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【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
18．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）已知c=25，b=15，求a的值；
（2）已知a=12，∠A=60°，求b、c的值．
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【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）直接根据勾股定理即可得出a的值；
（2）根据锐角三角函数的定义即可得出b、c的值．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15，
∴a===20；
（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，∠A=60°，
∴b=a cot60°=12×=4，c===8．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，c=15，求a、b的值．
【考点】勾股定理．
【分析】首先设出a=3k，b=4k，然后运用勾股定理列出关于k的方程，求出k的值即可解决问题．
【解答】解：∵a：b=3：4，
∴设a=3k，b=4k；
由勾股定理得：
（3k）2+（4k）2=152，
解得：k=3，
∴a=9，b=12．
【点评】该题以直角三角形为载体，考查了勾股定理及其应用问题；灵活运用勾股定理来分析、判断是解题的关键．
20．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，﹣阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深为米．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】应用题．
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用勾股定理解答．
【解答】解：如图，AD是红莲高出水面部分，即AD=1，B是红莲入泥处（根部）．
设BD=x，则BA=1+x，
所以BC=AB=1+x，
在Rt△BCD中，CD2+BD2=BC2，
即22+x2=（1+x）2，
4+x2=1+2x+x2，
2x=3
∴x=．
故这里的水深m．
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【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
21．如图所示，一架长为2.5米的梯 ( http: / / www.21cnjy.com )子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？
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【考点】勾股定理的应用．
【分析】首先利用勾股定理得出BO的长，进而求出CO的长，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：AB=2.5m，AO=0.7m，
故BO==2.4（m），
∵梯子顶端沿墙下滑0.4m，
∴DO=2m，CD=2.5m，
∴CO=1.5m，
∴AC=CO﹣AO=1.5﹣0.7=0.8（m）．
答：梯子底端将向左滑动0.8m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．
22．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．
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（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
（2）求这个零件的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD、△BDC的形状，从而判断这个零件是否符合要求；
（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，
∴AB2+AD2=BD2，
BD2+BC2=DC2，
∴△ABD、△BDC是直角三角形，
∴∠A=90°，∠DBC=90°，
故这个零件符合要求．
（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积
=3×4÷2+5×12÷2
=6+30
=36．
故这个零件的面积是36．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是根据勾股定理的逆定理判断△ABD、△BDC的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
23．如图，A、B两个小集镇在 ( http: / / www.21cnjy.com )河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
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【考点】轴对称-最短路线问题．
【专题】计算题；作图题．
【分析】此题的关键是确定点M的位置，需 ( http: / / www.21cnjy.com )要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．
【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，
则可得：DK=A′C=AC=10千米，
∴BK=BD+DK=40千米，
∴AM+BM=A′B==50千米，
总费用为50×3=150万元．
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【点评】此类题的重点在于能够确定点M的位置，再运用勾股定理即可求解．
24．如图，已知长方体的长为AC=2cm， ( http: / / www.21cnjy.com )宽BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
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【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：如图：
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根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；
（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．
【点评】将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．
一．填空题（每题3分，共24分）
1．如图，正方形内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A，B，C所代表的正方形面积是__________．
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2．如图，半圆内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的半圆面积是__________．
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3．已知直角三角形的两直角边长为6cm和8cm，则斜边上的中线长是__________；斜边上的高为__________．
4．如图，台风过后，琼岛小学的旗杆在B处 ( http: / / www.21cnjy.com )折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部__________米处断裂．
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5．长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体纸盒内可完全放入的棍子最长是__________cm．
6．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=__________．
7．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为__________cm．
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．
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二、选择题（每题3分，共24分）
9．在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C、的对边，若∠A=90°，则( )
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C．c2+a2=b2 D．b+a=c
10．观察下列几组数据：①3，4，5；②4，5，6；③6，8，10；④7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
11．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的( )
A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍
12．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )
A．斜边长为5 B．三角形的周长为25
C．斜边长为25 D．三角形的面积为20
13．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
14．如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）( )
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A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
15．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ( http: / / www.21cnjy.com )AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )
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A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
16．放学以后，小红和小颖 ( http: / / www.21cnjy.com )从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
三、解答题（共52分）
17．如图，等腰三角形腰长为5cm，底边长为6cm，求三角形的面积．
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18．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）已知c=25，b=15，求a的值；
（2）已知a=12，∠A=60°，求b、c的值．
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19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，c=15，求a、b的值．
20．在平静的湖面上，有一支红莲，高出 ( http: / / www.21cnjy.com )水面1m，﹣阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深为__________米．
21．如图所示，一架长为2.5米的 ( http: / / www.21cnjy.com )梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？
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22．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．
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（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
（2）求这个零件的面积．
23．如图，A、B两个小集镇在河流 ( http: / / www.21cnjy.com )CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
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24．如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽 ( http: / / www.21cnjy.com )BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
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鲁教五四新版七年级数学上册《第3章 勾股定理》2015年单元测试卷（河南省濮阳六中）
一．填空题（每题3分，共24分）
1．如图，正方形内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A，B，C所代表的正方形面积是81，64，100．
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【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理，即可求出A，B，C所代表的正方形的面积．
【解答】解：如图1所示：∵∠DEF=90°，
∴DE2=DF2﹣EF2=162﹣81=81，
∴字母A所代表的正方形面积是81；
同理：字母B所代表的正方形面积=172﹣152=64；
字母C所代表的正方形面积=64+36=100；
故答案为：81，64，100．
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【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
2．如图，半圆内数字分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的半圆面积是π．
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【考点】勾股定理．
【分析】由于正方形的面积等于边长的平方，根据勾股定理求出面积是A的半圆的直径的平方，进而即可求得半圆的面积A．
【解答】解：∵以EG为边正方形的面积等于400，即EG2=400，
∵以FG为边正方形的面积为300，
∴FG2=300，
又∵△EFG为直角三角形，根据勾股定理得：
EG2=EF2+FG2，
∴EF2=EG2﹣FG2=400﹣300=100，
∴EF=10，
则半圆的面积为：A=π（）2=π．
故答案为π．
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【点评】此题考查了正方形的面积公式、圆的面积公式以及勾股定理，熟记正方形、圆的面积和勾股定理是解题的关键．
3．已知直角三角形的两直角边长为6cm和8cm，则斜边上的中线长是5cm；斜边上的高为4.8cm．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【专题】计算题．
【分析】根据勾股定理先求出斜边，依据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出中线长，再根据面积相等求出斜边上的高．
【解答】解：直角三角形中两直角边长为6、8，
则根据勾股定理可得斜边长的平方等于两直角边的平方和，
∴斜边长==10，
∴斜边中线长=×10=5；
根据面积相等，设斜边上的高为xcm，
列方程得：×6×8=×10x，
解得x=4.8cm．
故答案为：5cm，4.8cm．
【点评】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质，利用面积相等来解题，是解决直角三角形问题的常用的方法，可有效简化计算．
4．如图，台风过后，琼岛小学的旗杆在B处折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部6米处断裂．
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【考点】勾股定理的应用．
【分析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的未知求出．
【解答】解：设旗杆未折断部分长为x米，则折断部分的长为（16﹣x）m，
根据勾股定理得：x2+82=（16﹣x）2，
可得：x=6m，即距离地面6米处断裂，
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是建立数学模型，将实际问题运用数学思想进行求解．
5．长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体纸盒内可完全放入的棍子最长是13cm．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意画出图形，两次运用勾股定理即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，
连接BD、AD，
在Rt△BCD中，BD===5（cm），
在Rt△ABD中，AD===13（cm）．
故这个盒子最长能放13cm的棍子．
故答案为：13．
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【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=8．
【考点】勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】由三角形ABC为直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2=AB2，又AB=2，
∴AC2+BC2=AB2=4，
则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．
故答案为：8
【点评】此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
7．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为24cm．
【考点】勾股定理．
【分析】设直角三角形的三 ( http: / / www.21cnjy.com )边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．
【解答】解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：
（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，
解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），
即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．
所以，其周长为6+8+10=24cm．
【点评】本题主要考查了运用直角三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质的能力，关键在于运用勾股定理得出三边之间的关系，根据题意求出三边的边长．周长=三边之和，求出周长．
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有 ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2．
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【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．
故答案为：49cm2．
【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．
二、选择题（每题3分，共24分）
9．在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C、的对边，若∠A=90°，则( )
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C．c2+a2=b2 D．b+a=c
【考点】勾股定理．
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，
∵∠A=90°，
∴b2+c2=a2．
故选B．
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【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
10．观察下列几组数据：①3，4，5；②4，5，6；③6，8，10；④7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】由勾股定理的逆定理得出①③④能构成直角三角形，②不能构成直角三角形；即可得出结论．
【解答】解：∵32+42=52，
∴3，4，5能构成直角三角形，
∴①能作为直角三角形三边长；
∵42+52≠62，
∴4，5，6不能构成直角三角形，
∴②不能作为直角三角形三边长；
∵62+82=102，
∴6，8，10能构成直角三角形，
∴③能作为直角三角形三边长；
∵72+242=252，
∴7，24，25能构成直角三角形，
∴④能作为直角三角形三边长；
∴能作为直角三角形三边长的有3组，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
11．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的( )
A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．
【解答】解：设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2；
另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为=2c．
即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．
故选A．
【点评】熟练运用勾股定理对式子进行变形．
12．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )
A．斜边长为5 B．三角形的周长为25
C．斜边长为25 D．三角形的面积为20
【考点】勾股定理．
【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案．
【解答】解：两直角边长分别为3和4，
∴斜边==5；
故选A．
【点评】此题较简单关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．
13．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．
【解答】解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．
故选C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定以及性质．
14．如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）( )
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A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．
【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．
由题意，得AC=3×16÷2=24，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB===30cm．
故选B．
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【点评】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．
15．如图，有一块直角三角形纸片， ( http: / / www.21cnjy.com )两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( )
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A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【考点】勾股定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【解答】解：∵AC=6cm，BC=8cm，∠C=90°
∴AB=10cm，
∵AE=6cm（折叠的性质），
∴BE=4cm，
设CD=x，
则在Rt△DEB中，
42+x2=（8﹣x）2，
∴x=3cm．
故选：B．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
16．放学以后，小红和小颖从学校分手，分 ( http: / / www.21cnjy.com )别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
【考点】勾股定理的应用．
【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：根据题意得：如图：
OA=40×20=800m．
OB=40×15=600m．
在直角△OAB中，AB==1000米．
故选C．
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【点评】本题考查正确运用勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题的关键．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
三、解答题（共52分）
17．如图，等腰三角形腰长为5cm，底边长为6cm，求三角形的面积．
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【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，AD=AB=3cm，由勾股定理求出CD，△ABC的面积=AB CD，即可得出结果．
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图所示：
则∠ADC=90°，AD=AB=3cm，
∴CD===4（cm），
∴△ABC的面积=AB CD=×6×4=12（cm2）．
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【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
18．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）已知c=25，b=15，求a的值；
（2）已知a=12，∠A=60°，求b、c的值．
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【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）直接根据勾股定理即可得出a的值；
（2）根据锐角三角函数的定义即可得出b、c的值．
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15，
∴a===20；
（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，∠A=60°，
∴b=a cot60°=12×=4，c===8．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，c=15，求a、b的值．
【考点】勾股定理．
【分析】首先设出a=3k，b=4k，然后运用勾股定理列出关于k的方程，求出k的值即可解决问题．
【解答】解：∵a：b=3：4，
∴设a=3k，b=4k；
由勾股定理得：
（3k）2+（4k）2=152，
解得：k=3，
∴a=9，b=12．
【点评】该题以直角三角形为载体，考查了勾股定理及其应用问题；灵活运用勾股定理来分析、判断是解题的关键．
20．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，﹣阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深为米．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】应用题．
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用勾股定理解答．
【解答】解：如图，AD是红莲高出水面部分，即AD=1，B是红莲入泥处（根部）．
设BD=x，则BA=1+x，
所以BC=AB=1+x，
在Rt△BCD中，CD2+BD2=BC2，
即22+x2=（1+x）2，
4+x2=1+2x+x2，
2x=3
∴x=．
故这里的水深m．
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【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
21．如图所示，一架长为2.5米的梯 ( http: / / www.21cnjy.com )子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？
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【考点】勾股定理的应用．
【分析】首先利用勾股定理得出BO的长，进而求出CO的长，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：AB=2.5m，AO=0.7m，
故BO==2.4（m），
∵梯子顶端沿墙下滑0.4m，
∴DO=2m，CD=2.5m，
∴CO=1.5m，
∴AC=CO﹣AO=1.5﹣0.7=0.8（m）．
答：梯子底端将向左滑动0.8m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．
22．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示．
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（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
（2）求这个零件的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD、△BDC的形状，从而判断这个零件是否符合要求；
（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，
∴AB2+AD2=BD2，
BD2+BC2=DC2，
∴△ABD、△BDC是直角三角形，
∴∠A=90°，∠DBC=90°，
故这个零件符合要求．
（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积
=3×4÷2+5×12÷2
=6+30
=36．
故这个零件的面积是36．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是根据勾股定理的逆定理判断△ABD、△BDC的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
23．如图，A、B两个小集镇在 ( http: / / www.21cnjy.com )河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
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【考点】轴对称-最短路线问题．
【专题】计算题；作图题．
【分析】此题的关键是确定点M的位置，需 ( http: / / www.21cnjy.com )要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．
【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，
则可得：DK=A′C=AC=10千米，
∴BK=BD+DK=40千米，
∴AM+BM=A′B==50千米，
总费用为50×3=150万元．
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【点评】此类题的重点在于能够确定点M的位置，再运用勾股定理即可求解．
24．如图，已知长方体的长为AC=2cm， ( http: / / www.21cnjy.com )宽BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
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【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：如图：
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根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；
（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．
【点评】将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．