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人教版《义务教育教科书·数学》五年级上册
植
题
问
树
一、复习旧知，意义铺垫
5m
5m
15米
5m
全长15m的小路，每5m分一段，一共可以分成几段？
15÷5=3（段）
同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。
一共要栽多少棵树？
小路一边
二、化繁为简，数形结合
同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。
一共要栽多少棵树？
起点
终点
二、化繁为简，数形结合
同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。
一共要栽多少棵树？
起点
终点
······
5m
5m
二、化繁为简，数形结合
100米
同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。
一共要栽多少棵树？
5m
5m
5m
······
二、化繁为简，数形结合
二、化繁为简，数形结合
同学们在全长 20 m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。
一共要栽多少棵树？
把小路平均分成4段，不是栽
4棵树吗？怎么栽了5棵树？
所有两端都栽的情况都是这样吗？
三、验证猜想，建构模型
小路总长 每 隔 5m 栽 一 棵 段数 （列式计算） 线段图 植树
棵数
【小组合作要求】
1.分工：每人选择1个长度，要求两端都栽，画一画，填一填。
2.交流：（1）说说你的想法。
（2）四人合作，观察对比，我们发现了（ ）。
25米
30米
40米
55米
三、验证猜想，建构模型
为什么都会多1？
1都多在哪里？
解决两端要栽的植树问题，先求什么？再求什么？
间隔
间隔长
5m
段
间隔
间隔长
5m
段
······
三、验证猜想，建构模型
先求段数，段数+1=棵数。
①总长÷间隔长=间隔数
②间隔数+1=棵树
……
1
2
3
4
5
19
20
21
……
100米
同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。
一共要栽多少棵树？
三、验证猜想，建构模型
四、联系生活，内化模型
四、联系生活，内化模型
如果小路栽树（只栽一端或
两端不栽），应该怎么解决？《数学广角——植树问题（两端要栽）》教学设计
【教学内容】
人教版小学数学教材五年级上册《数学广角——植树问题（两端要栽）》
【教材分析】
“数学广角”是渗透数学思想的重要内容。《植树问题》分为两端要栽、两端不栽、只栽一端三种情况，它们都有一个共同点，不仅引导学生发现规律，更要让他们感悟化繁为简的思想，经历数学模型的建构过程。本课研究的是生活中常见的两端要栽的情况，突出线段图和一一对应思想，使学生能用本课的数学思想和探究经验学习例2、例3。
【学生起点】
1.学生以形象思维为主，缺乏植树经验，很难理解“小路一边”等关键词，容易混淆：“间隔”、“间隔数”和“间隔长”。
2.学生从直观到抽象的过渡中会有这些情况，以20米小路为例：
（1）画图前：认为几段就是几棵树； 20÷5=4（棵）
极少学生因两端要栽再加2棵。 4+2=6（棵）
（2）画图后：大部分学生会通过画图列出正确算式20÷5=4 ，4+1=5（棵），却不理解为什么要加1。
【教学目标】
1.探究段数与棵数的规律，理解“一一对应”思想，构建数学模型；
2.通过化繁为简、画线段图培养学生解决问题的能力；
3.通过植树、路灯等问题，让学生感受到数学与生活的联系。
【教学重点】探索段数与棵数的规律
【教学难点】渗透“一一对应”思想，构建植树问题两端要栽数学模型
【教学过程】
（一）复习旧知，意义铺垫
师：同学们，全长15m的小路，每5m分一段，一共可以分成几段？
生：15÷3=5（段）
【设计意图】学生回忆除法意义，为植树问题求“段数”作铺垫。呈现线段图，为研究植树问题提供方法。
（二）化繁为简，数形结合
出示例题：在100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽），一共要栽多少棵树？
借助课件直观理解关键词：“小路一边”、“两端要栽”、“每隔5m栽一棵”。
师：我们今天研究《植树问题》两端要栽的情况。你觉得一共要栽多少棵树？
生1：100÷5=20（棵）。
生2：100÷5=20（段），两端要栽，所以还要20+1=21（棵）。
生3：100÷5=20（段），两端要栽，应该要20+2=22（棵）。
师：究竟是20、21还是22棵？有什么方法验证吗？
生：可以画图。用线段表示100米小路。
师：是这样吗？如果这样画，你感觉怎么样？
生：哎呀，太麻烦了。
师：我们可以把复杂的问题转化成简单的问题，在简单问题中找到规律后，再运用规律来解决复杂问题。在数学中，这叫做“化繁为简”。我们可以把小路的长度改成20米来研究。
学生尝试列式画图解答，在充分独立思考后，汇报如下：
生1：我画一条线段表示20米小路，20÷5=4，我把小路分成了4段，栽了5棵树。
生2：我也是画一条线段表示20米小路，但我是用一条短线段来表示树。
师：这两幅图有什么相同和不同吗？
生：虽然两幅图画法不同，但都是把20米平均分成了4段，栽5棵树。
师：把小路平均分成4段，不是栽4棵树吗？怎么栽了5棵树？
生：老师，树不是栽在段上，是在段两端的点上。
师：我还是不明白。你可以结合线段图来说明吗？
生：像这样，先种一棵树，隔一段，种一棵，隔一段，以此类推，最后还有终点，就多出了一棵树。
师：所有两端都栽的情况都是这样的吗？
生：我们可以画图看看其他长度的小路是不是也这样。
【设计意图】这一环节，学生体会“化繁为简”的思想，并通过画图初步感悟“一一对应”思想。
（三）验证猜想，建构模型
小路总长 每隔 5m 栽 一 棵 段数（列式计算） 线段图 植树棵数
25米
30米
40米
55米
小组合作要求：1.分工：每人选择1个长度，要求两端都栽，画一画，填一填。
2.交流：（1）说说你的想法。
（2）四人合作，观察对比，我们发现了（ ）。
经过小组的充分合作、热烈讨论之后，学生汇报如下：
生：我们发现了两端要栽的棵数总比段数多1。
师：为什么都会多1？1都多在哪里？
生：像这样，一棵树对应一段，一棵树对应一段，以此类推，最后就多出了一棵。如果反过来看，就会多出起点的一棵树。
师：你们真会合作和思考。在数学中这称为“一一对应”思想。要解决两端要栽的植树问题，要先求什么？再求什么？”。
生：先求段数，再用段数+1求棵数。
借助课件帮助学生直观理解“段就是间隔” “段数就是间隔数”“每隔5m就是间隔长”。同时，小结两端要栽的植树问题解题过程：
总长÷间隔长=间隔数
间隔数+1=棵数
师：同学们，现在回头来看100米的问题，还需要用画图来解决吗？
生：不用画图，我们已经找到规律了，先用100÷5求出20个间隔数，两端都栽的棵树比间隔数多1，所以栽了20+1=21棵。
【设计意图】学生在自主画图验证猜想的基础上，通过充分的小组合作、自由的展示交流，已深刻理解了“一一对应”思想，初步建构起植树问题两端要栽的数学模型，也解决了算式4+1=5（棵）为什么要加1这一难点，并能即时运用规律解决100米的问题，达到由浅入深的学习效果。他们即使以后忘记了规律，也能在头脑中形成线段图以及运用一一对应的思想方法，为后面例2、例3的学习作好了铺垫。
（四）联系生活，内化模型
师：生活中的很多现象都属于两端都栽的植树问题。你能运用今天学到的知识来解决下面的问题吗？
下面三幅图的间隔数分别是（ ），“植树棵数”分别是（ ）。
5路公共汽车行驶路线全长12km。相邻两站之间的路程都是1km。间隔数是（ ），一共设有（ ）个车站。
A.11 B.12 C.13 D.14
3.在一条全长2km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？
4.多米诺骨牌每隔6cm放一个，一共放了36个，从第一个到最后一个的距离有多远？
（五）回顾总结，设疑思考
师：今天你收获了什么？
师：如果小路栽树（只栽一端或两端不栽），应该怎么解决？
【板书设计】
化繁为简 在20m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽），
一共要栽多少棵树？
一一对应
总长÷间隔长=间隔数
20÷5=4 100÷5=20
间隔数+1=棵数
4+1=5（棵） 20+1=21（棵）
答：一共要栽21棵树。
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